分离变量法求解偏微分方程PPT课件

1、第一节第一节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt物理解释： 一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动第1页/共59页 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t本征值问题( )( )0(0)( )0XxX xXX lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：第2页/共59页第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达

2、式T(t)的表达式( )cossin1,2,3,nnnananT tAtBtlln本征值和本征函数2,( )sin,1,2,3,nnnlnXxxln第3页/共59页第三步：利用初始条件求得定解问题的解1( , )cossinsinnnnanannu x tAtBtxlll利用初始条件得02( )sinlnnAdll 02( )sinlnnBdanl 第4页/共59页 驻波( , )cossinsinsinsinnnnnnanannux tAtBtxlllnanNxtll其中22,arctannnnnnnANABB振 幅频 率初相位sinnnnaNxlnanln振动元素，本征振动驻波oln =

3、4第5页/共59页 其它边界条件的混合问题22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txxuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l2,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln两端自由的边界条件第6页/共59页22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端点

4、自由、右端点固定的边界条件第7页/共59页22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端点固定、右端点自有的边界条件第8页/共59页第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )(0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlututu l tt( )( )0(0)(0)( )0Xx

5、X xXXX ltanll第9页/共59页 举例-弦的敲击22222,(0, ),0( ,0)0,( ,0)(),0, , 0(0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xu xxcxlclutu l tt121( , )sinsinsinnn cannu x ttxanlll对不同的 c ，有界弦的自由振动第10页/共59页当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动第11页/共59页当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动第12页/共59页 再例-弦的拨动2222211,(0, ),0( ,0),( ,0)0,0, , 0()(0, )( , )0,0dtl duuaxl ttxxu xu

6、xxldllxutu l tt222121( , )sincossin()nln dannu x ttxd ldnlll对不同的 d ，有界弦的自由振动第13页/共59页当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动第14页/共59页当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动第15页/共59页第二节第二节 有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导222,(0, ),0( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxu xxxlutu l tt物理解释： 一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布第16页/共

7、59页 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t( )( )0(0)( )0XxX xXX l本征值问题X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：第17页/共59页第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式T(t)的表达式222122()( )exp0,1,2,3,nnanT tAtln本征值和本征函数21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln第18页/共59页第三步：利用初始条件求得定解问题的解222112220()()( , )expsinnnannu x tAtxl

8、l利用初始条件得120()2( )sinlnnAdll 第19页/共59页 举例2220,(0, ),0( ,0),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxuu xxxllutu l tt22211022222102()()2( 1)( , )expsin()nnannuu x ttxnll第20页/共59页当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化第21页/共59页第三节第三节 特殊区域上的位势方程特殊区域上的位势方程 矩形域上的边值问题22220,( , )(0, ) (0, )( ,0)0, ( , ),0, (0, )( , )0,0, uux yabxyu xu x bUx

9、auyu a yyb 散热片的横截面为一矩形0,a0,b，它的一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布第22页/共59页021sinh4121( , )sin2121sinhnnynau x yUxnnaba参数选取1121abU第23页/共59页 圆域内的边值问题22222222220,( , ),xyauuxyaxyuf x y 一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布第24页/共59页cossinxryr222110,0, 02( , )( ),( , )( ,2 ),(0, )uur

10、rarrrru afu ru ru有限值,ora+2隐含着的周期边值条件和原点约束条件第25页/共59页第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解( , )( ) ( )u rR r0( )(2 ) 20(0)r RrRRR有限值()： R(r)：周期本征值问题欧拉方程第26页/共59页第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnnnanbnn20(0)r RrRRR有限值( ),0,1,2,nnnR rc rn第27页/共59页第三步：利用边界条件01( , )cossinnnnnu raanbnr20020201(

11、)21( )cos1( )sinnnnnaf t dtaf tntdtabf tntdta利用边界条件第28页/共59页20122222011( , )( )cos()2( )12cos()nnru rf tntdtaf tardtarart解的约化-Poisson积分公式第29页/共59页 举例-观察法22222222220,xyauuxyaxyAuxa( , )Au x yxa第30页/共59页第四节第四节 高维定解问题的分离变量法高维定解问题的分离变量法 球域内Laplace方程的边值问题 球域内波动方程的初边混合问题 球域内热传导方程的初边混合问题第31页/共59页 球域内Laplac

12、e方程的边值问题222222222222220,( , , )xyzauuuxyzaxyzuf x y zcoscoscos sinsinxryrzr球面坐标变换0020ra第32页/共59页222222200,111sin0,sinsin( , )( , , )( , ,2 ),r aruuurrrrrrufuu ru ru 有限值,有限值,隐含着的周期边值条件和球内约束条件第33页/共59页第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解 , ,( ) ( )u rR r 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：220,sinsin(1)sin0ddl lmd

13、d 有限值()：()：20( )(2 )m 第34页/共59页2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：()：20( )(2 )m 11( )llllR rArBr( )llR rAr( )cossin0,1,2,mmCmDmm欧拉方程第二步：求R(r)，()和()的具体表达式第35页/共59页220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：2221(1)2(1)01xmxyxyl lyxy有限值()= (cos-1x)=y(x) ：缔合勒让德方程( )(cos )(cos )0,1,2,0,1,2,mlyPlml第36页/共59页00( , , )cossin

14、(cos )llmlmlmllmu rrCmDmP 第三步：利用边界条件求解200(21)()!( , )(cos )cossin2()!mlmllmllmCfPmd da lm 200(21)()!( , )(cos )sinsin2()!mlmllllmDfPmd da lm 2,01,0mmm第37页/共59页 举例20,sincossinr aurau 002222( , , )cossin(cos )sincos sin113sinsin2(cos )sin266llmlmlmllmu aaAmBmPP 22221( , , )(cos )sin26u rr Pa 半径为a的球形内部

15、没有电荷，球面上的电势为sin2cossin ，求球形区域内部的电势分布第38页/共59页 附记：球函数, ,( ) ( , )u rR r Y 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：,(cos )cossin,0,1,2,0,1,mmllmmYPCmDmlml 球函数球方程第39页/共59页 球域内波动方程的初边混合问题2222222222222222222220222200,0( , , ),( , , ),0,0tttxyzauuuuaxyza ttxyzux y zxy

16、zaux y zxyzaut第40页/共59页第一步：首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如 , , , ,u x y z tv x y z T t 022 tTaktTT(t)：2222200 xyzavk vv v(x,y,z)：其中 k 是待定常数第41页/共59页第二步：求解T(t) 0,0,sincoskDtCtTkkatDkatCtT第三步：求解v(x,y,z) 2222222200,111sin0sinsin0( , , )( , ,2 )r arvvvrk vrrrrrvvv rv rv 有限值有限值第42页/共59页求如下形式的解 ,YrRrv222(1)0( )0(0)

17、ddRrk rl lRdrdrR aR有限值R(r) ：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：球函数,mlY 球Bessel方程球Bessel函数122nlnAJk rk r第43页/共59页第四步：利用初始条件求解1200( , , , )(cos )(cossin)1cossinmllmlmnlmnnnnnlnu rtPAmBmJk rCak tDak tk r 第44页/共59页 球域内热传导方程的初边混合问题222222222222222222200,0( , , ),0,0txyzauuuuaxyza ttxyzux y z

18、xyzaut120022( , , , )(cos )(cossin)1expmllmnlmnnlmnnlnu rtPAmBmJk ra k tk r 第45页/共59页 附注对于其它特殊区域上的定解问题我们同样可以利用分离变量法进行求解例如：半球内或外、圆柱上的Laplace方程的边值问题半球内或外、圆柱上的波动方程和热传导的初边混合问题等第46页/共59页第五节第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理对非齐次边界条件和非齐次方程的处理 对非齐次边界条件的处理 叠加原理 对非齐次方程的处理第47页/共59页 对非齐次边界条件的处理2222212( , ),(0, ),0( ,0)( ),(

19、 ,0)( ),0, ,(0, )( ),( , )( ),0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutg tu l tg tt将非齐次边界条件化为齐次边界条件( , )( , )( , )u x tv x tw x t第48页/共59页2111( , )( )( )( )w x tg tg txg tl其中w可以取22122211( , )( )()( )w x tg t lxg t xll或第49页/共59页 叠加原理22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlu

20、tu l tt22222( , )( ,0)0,( ,0)0(0, )0,( , )0tuuaf x ttxu xu xutu l t22222( ,0)( ),( ,0)( )(0, )0,( , )0tuuatxu xxu xxutu l t第50页/共59页 对非齐次方程的处理22222( , ),(0, ),0( ,0)0,( ,0)0,0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xu xxlutu l tt冲量定理法Fourier级数法第51页/共59页 Fourier级数法22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt满足齐次边界条件正交完备系( )sin,1,2,3,nnXxxln第52页/共59页预设1( , )( )sinnnnu x tT txl0101012( , )( )s