七年级下册等腰三角形中的求角技巧题型归纳

1、专题12 等腰三角形中的求角技巧题型一方程思想【典例1】（2019?南岗区校级月考）如图，在 ABC中，AB = AC, /EDC=20° , AD = AE,则/ BAD的度数为 40°.【点睛】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，/AED = /EDC + /C, /ADC = /B+/BAD,再根据等边对等角的性质/B = /C, / ADE = / AED,代入数据计算即可求出/BAD的度数.【详解】 解：如图，/ AED = /EDC+/C, Z ADC=Z B+Z BAD , AD=AE, ./ AED = Z ADE, AB= AC, ，/B =

2、 /C, ./ B+ZBAD = Z EDC + ZC+Z EDC,即/BAD = 2/EDC, /EDC = 20° ,BAD = 40° .故答案为 40° .2. （2019?滑县期末）如图，在 ABC中，AB=AC, D、E分别在 AC、AB边上，且 BC=BD, AD=DE =EB,求/ A的度数.【点睛】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设/ ABD = x,结合三角形外角的性质，则可用 x的代数式表示/ A、/ ABC、/C,再在 ABC中，运用三角形的内角和为180。，可求/ A的度数.【详解】 解：DE= EB.设/ BDE =/ABD = x

3、, . . / AED = / BDE +/ ABD = 2x, AD = DE, .AED = /A = 2x, / BDC = Z A+Z ABD=3x, BD = BC, .C=Z BDC=3x, AB= AC, ./ ABC = Z C=3x,在ABC 中，3x+3x+2x= 180° ,解得 x=22.5 ,/ A= 2x= 22.5° X 2 = 45°【典例3】如图，C为 ABE的边BE上，且AB = AC, AB的垂直平分线交 AC于D,且AD = BC, CE = CD .(1)求/ BAC的度数;(2)求/ CAE的度数.【点睛】(1)根据线段

4、垂直平分线的性质得到DA = DB,根据题意得到/ ABC=/ACB,设/ BAC = x,根据三角形内角和定理列出方程，解方程得到答案；(2)连接DE,根据三角形的外角的性质求出/CDE = Z CED= g/ACB=36° ,证明DA=DE,得到答案.【详解】 解：(1) .AB的垂直平分线交 AC于D, DA=DB, ./ DAB = Z DBA, AD = BC, DA=DB,BC=DB, . . / BDC = / BCD , AB= AC, ./ ABC = Z ACB,设/ BAC = x,则/ ABC = Z ACB=2x,则 x+2x+2x= 180° ,

5、解得，x= 36 ,即/ BAC 为 36° ,(2)连接DE, CE= CD, .CDE = / CED= 1/ACB=36° ,2DB = DE,又 DA=DB,DA = DE ,，一1 一c./ CAE= 1/CDE = 18 .2题型二整体思想【典例4】如图， ABC中，CA=CB, D为 ABC内一点，/ 1 = 7 2,若/C = 40° ,求/ ADB的度数.180 -40一【详解】 解：CA=CB, ./ CAB = Z CBA, / C= 40 , . . / CAB= / CBA=2=70 ，./ADB=180° - (/ 1 + /

6、ABD), /1 = /2, ./ADB =180° (/ 2+/ABD) =180° -Z CBA=180° 70° =110° .【典例5】(2019?雨花区校级月考) 如图，在4ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且 BE=CF, BD=CE.(1)求证： DEF是等腰三角形；(2)当/ A=50°时，求/ DEF的度数；(3)当/ A为多少度时，/ EDF+Z EFD = 110° ?请说明理由.【详解】 解：(1)AB = AC,B=/ C,在 BDE 和 CEF 中，?= ?./?= /

7、? ?. BDEA CEF (SAS),，DE = EF,.DEF 是等腰三角形; ?= ?(2)/ DEC = Z B+Z BDE,即/ DEF + ZCEF = Z B+Z BDE,-/BDEA CEF, CEF = Z BDE ,，/DEF=/B,又.在 ABC 中，AB = AC, / A= 50° ,/ B=65° ,/ DEF =65° ;(3)由(1)知： DEF是等腰三角形，即 DE = EF,由(2)知，/ DEF =/ B,/ EDF + Z EFD= 110° , . . / DEF =70° , ./ B=Z DEF =

8、70° , B=Z C=70° ,/ A= 180° - 70° - 70° = 40巩固练习1. （2019?南昌期末）有一个三角形纸片ABC, /C=36° ,点D是AC边上一点，沿 BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则/A的度数可以是18。或36。或54。或72。.【详解】解：由题意知 ABD与4DBC均为等腰三角形， BC=CD,此时/ CDB = Z DBC= (180° - / C) + 2=72° ,，/BDA=180° - Z CDB= 180° -72&

9、#176; =108° ,AB=AD 时，/ ABD = 108° (舍去)；或 AB = BD, /A=108° (舍去)；或 AD = BD, / A= (180° /ADB) +2=36° ; BC=BD,此时/ CDB = /C=36° ,/ BDA= 180° -Z CDB = 180° 36° =144° ,AB=AD 时，/ ABD = 144° (舍去)；或 AB = BD, Z A= 144° (舍去)；或 AD= BD, / A= ( 180°

10、- / ADB) + 2= 18° ; CD = BD,此时/ CDB= 180° - 2ZC= 108° ,，/BDA = 180° -Z CDB=180° -108° =72° ,AB=AD 时，/A=180° 2/ADB =36° ;或 AB= BD , /A=72° (舍去)；或 AD = BD, / A= (180° -/ADB) +2=54° .综上所述，/ A的度数可以是18°或36°或54°或72° .故答案为：18&#

11、176;或36°或54°或72° .2. (2019?蜀山区期末)在 ABC中，D、E是边BC上的两点，DC=DA, EA=EB, / DAE = 40° ,则/BAC的度数是 110°或70°.【点睛】根据等腰三角形的性质得到/EAB = /B, / DAC = /C,根据三角形内角和定理计算即可.【详解】 解：如图 1, .DC = DA, EA=EB,，/EAB = /B, /DAC = /C,Z EAB+ZB+ZDAC + Z C+Z DAE= 180° ,则 2 (/B+/C) =140° ,解得，/ B

12、+ZC=70° ,BAC = 110° ;如图 2, DC = DA, EA=EB, Z DAE = 40° ,/ EAB=/B, /DAC = /C,/ EAB+ZB+ZDAC + Z C- / DAE= 180°，则 2 (/ B+/C) = 220° ,解得，/ B+Z C= 110° , ./ BAC = 70 ° ,故答案为：70°或110° .3. （2019?河北区期中）如图， AD± BC, BD = CD,点C在AE的垂直平分线上，若 AB=5cm, BD = 3cm,求BE的

13、长.【详解】 解：AD± BC, BD = DC,，AB=AC;又,点C在AE的垂直平分线上， AC=EC,AB = AC= CE=5; BD = CD=3,BE = BD+CD+CE=3+3+5= 11cm.4. (2019?大安市期末)如图，在 ABC中，/ C=Z ABC=2Z A, BD是AC边上的高，求/ DBC的度数.【详解】 解：C=/ABC=2/A,C+ZABC + Z A=5Z A=180° , / A=36° .则/ C=/ABC= 2/A=72° .又BD是AC边上的高，则/ DBC = 90° - Z C= 18

14、6; .5. 如图，在ABC中，AB= AC, ZBAC=120° , AB的垂直平分线交 AB于点E,交BC于点F,连接AF, 求/AFC的度数.【详解】 解：AB=AC, Z BAC=120° ,. B= (180° - 120° ) + 2 = 30° ,.EF垂直平分AB,BF= AF, ./ BAF = Z B=30° , ./ AFC = / BAF + /B=606. (2019?普宁市期末)某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量 关系”进行了探究.(1)如图1,在 ABC中，/ ABC

15、与/ ACB的平分线交于点 P, / A= 64° ,则/ BPC= 122°(2)如图2, 4ABC的内角/ ACB的平分线与 ABC的外角/ ABD的平分线交于点 E.其中/ A= a, 求/ BEC.(用 a 表示/ BEC);(3)如图3, / CBM、/ BCN为 ABC的外角，/ CBM、/ BCN的平分线交于点 Q,请你写出/ BQC 与/ A的数量关系，并证明.图1图2图3【点睛】(1)根据三角形的内角和化为角平分线的定义；(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用/ A与/ 1表示出/ 2,再利用/ E与/1表示出/ 2,于是得到结论；(3

16、)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出/EBC与/ ECB ,然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解.【详解】 解：(1) BP、CP分别平分/ ABC和/ACB,11 ./ PBC= 2/ABC, / PCB= 2/ACB,./BPC=180° - (/ PBC+/PCB)11= 180 - ( -Z ABC+、ACB),= 180。- 2 (/ABC+/ACB), 1=180 - 2 (180 - / A), cc 1=180 - 90 + 2/A,= 90° +32= 122° ,故答案为：122° ;(2) CE和BE分别是/ ACB和/ ABD的角平分线，/ 1= 1/ACB, / 2=1/ ABD,2，2，又一/ ABD是4ABC的一外角， ./ ABD = / A+ Z ACB,，一 1., 1, / 2=