三角函数知识点归纳与题型总结

1、三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫 正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为 始边，终止位置称为 终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 X轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作 轴线角。3、终边相同的角的表示：(1) 终边与 终边相同(的终边在 终边所在射线上)2k (k Z),注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等【例1

2、】与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是(2) 终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)k (k Z).(3) 终边与 终边关于x轴对称2k (k Z).(4) 终边与 终边关于y轴对称2k (k Z).(5) 终边与 终边关于原点对称2k (k Z).(6) 终边在x轴上的角可表示为：k ,k Z;终边在y轴上的角可表示为：k ,k Z；2k终边在坐标轴上的角可表不为：,k Z.2【例2】的终边与至的终边关于直线 yx对称，则=4 、与2的终边关系：由 两等分各象限、一二三四 ”确定.【例3】若 是第二象限角，则 一是第 象限角。25 .弧长公式：l | |R,扇形面积公式：S 2

3、-lR 2 | | R2, 1弧度(1rad) 57.3：.【例4】已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是 1弧度，求该扇形的面积。6、任意角的三角函数的定义设是任意一个角,P(x,y)是的终边上的任意一点（异于原点）它与原点的距离是r那么siny,cos ry八x,-,x0, cot-(y0),xy【例5】（1）已知角的终边经过点P(5, 12),则 sin cos 的值为(2)设是第三、四像限角，sin2m 34 m则m的取值范围是(3)若回n_|cos 0，试判断 cot(sinsin| cos |tan(cos )的符号:正弦线MP“站在X轴上（起点在X轴上）余弦线OM“躺在X

4、轴上（起点是原点）”；7.三角函数线的特征是:正切线AT'站在点A（1,0）处（起点是A）” .三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式【例6】（1）若一80 ,则sin ,cos ,tan 的大小关系为 （2）若为锐角，则 ,sin ,tan 的大小关系为 (3)函数y <12cosx lg(2sinxd3)的定义域是 8.特殊角的三角函数值30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin1V2y；32010-1娓V266衣2244cos氏V211010V66

5、6V222244tan.31<30/0r2-石2+v；3(1)平方关系：sin2cos21,1 tan2sec ,1 cot2csc2(2) 倒数关系： sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,/c、声夹小乎方,sin . cos(3)商数关系：tan,cot cossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据Hf口鱼典建周邳二地I数网桌里,尽叫暇也生缱鱼幽也围，以便进行定号；r I， - 4- - 在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数

6、值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。【例7】(1)函数y sntaL 的值的符号为 cos cot(2)若 0 2x2 ,则使V1 sin2 2x cos2x成立的x的取值范围是(3)已知sincos4 2m(一m 5 2(4)已知tantan 1则sn sin3cossin2sin cos 2 =(5)已知sin 200a ,则 tan160A、B、a1 a2cosC、1 a2D、1 a2(6)已知 f(cosx) cos3x ,贝U f (sin 30 )的值为k10.三角函数诱导公式（一2）的本质是:奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看像限（看原函数，同时可

7、把成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+ ,02 ; （2）转化为锐角三角函数。9【例8】(1) costan( 4(2)已知 sin(540)sin2164,贝U cos(5的值为270 )若为第二像限角，则sin(180)cos( 360 )211、两角和与差的正弦、余弦、sincostantan 2【例9】（1）tan(180sincoscossin令sin 22sincoscos -sinsin令cos2cos正切公式及倍角公式cos2. 2sinc2/ / c . 22cos1 1 2sintan tan1 -Ltan tan2

8、tan1 tan2卜列各式中，值为1 ,-的是22 cos. 2 sin1+cos22_ 1 cos22A、sin15* cos15”B、22cos sin C、1212tan 2252hD、1 tan 22.5'1 cos3O(2)命题 P： tan( AB)0 ,命题 Q ： tan AtanB 0,则P是Q的（A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件(3)已知 sin()coscos()sin 3 ,那么cos 2 的值为 5(4)sin10；r的值是sin80-nn a .3 一一(5)已知tan1100 a ,求tan500的值(用a表示)甲求

9、得的结果是 一二，乙求得1 ,3a的结果是L_a_，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是2a12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常 切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：(1)1角的拆与并 一变角技巧】巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.例如： ()2()(),2 万 万【例10(1)已知tan(),2()(),等)，、2,、 1,、)-,tan( -)-,那么 tan( -)的值是(

10、2)已知02,且 cos( 一)1. ,、 2一 ,sin(一 ) 一923求 cos( )的值为(3)已知， 为锐角，sin x,cos y, cos( )则y与x的函数关系为 (2)三角函数名互化(切割化弦)，【例 11(1)求值 sin50：(1 J3tan10b=(2)已知 sin 8s1,tan( )2,求 tan( 2 )的值?1 cos23(3)(3)公式变形使用(tan tantan11 tan tan 。【例12(1)已知A、B为锐角,且满足 tanAtanB tan A tan B 1 ,则 cos(A B)(2)设 ABC 中，tan A tan BV3 /3tan At

11、an B , sin Acos A则此三角形是三角形。(4)三角函数次数的降升一一 .2(降帚公式：cos1 cos22 sin1 cos22；升哥公式：1 cos2【例13】(1)若 (),化简2cos2(2)函数 f(x) 5sin xcosx 5>/3cos2 x -5/3( x R)的单调递增区间为(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同【例 14(1) tan (cossin )tancot csc1 tan 2 .1 tan I”等),1 sin(2)求证：1 2sin2 22cos4 x 2cos2 x(3)化简：2 ,、2tan( x)sin ( x)(6)常值变

12、换主要指“1的变换/,222,2,(1 sin x cos x sec x tan x tan x cot x tan sin 二 42【例 15】已知 tan 2 ,求 sin2 sin cos 3cos2正余弦 上兄妹一sinx cosx、sinxcosx”的内存联系 知一求二”，【例 16(1)若 sin x cosx t ,贝U sinxcosx (2)若 (0, ),sin cos 2,求 tan 的值。sin 2 2sin 2(3) 已知 k (3),试用 k表示sin cos 的值13、(高考必考点，必须掌握)辅助角公式中辅助角的确定：asinx bcosx 4a_b2sin x

13、(其中 角所在的像限由a, b的符号确定， 角b的值由tan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a【例17(1)若方程sin x 73cosx c有实数解，则c的取值范围是 .(2)当函数y 2cosx 3sinx取得最大值时，tanx的值是(3)如果 f x sin x 2cos(x )是奇函数，则 tan =312(4) 求值： 2 2 64sin 20sin2 20cos2 2014、正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数y sin x和余弦函数y cosx图像的作图3万法：五点法：先取横坐标分别为 0,一,2 的五点，再用光滑的曲线把这五点22连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周

14、期内的图像。15、正弦函数y sin x(x R)、余弦函数y cosx(x R)的性质：(1)定义域：都是R。(2)值域：都是 1,1 ,【例18(1)若函数y一3 一,1a bsin(3x )的最大值为一，取小值为一，则a ,622b 、(2)函数 f (x) sin x J3cosx (x ,)的值域是 (3)若2，则y cos 6 sin 的最大值和最小值分别是(4)函数 f (x)2cosxsin(xV3sin2 x sin xcosx 的最/、值是此日x =一 .1(5)己知sin cos 一，求t sin cos 的变化范围为22222(6)右sin 2sin 2cos ，求y

15、sin sin的最大、最小值?特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?(3)周期性：ysin x、y cosx的最小正周期都是 2f(x) Asin( x ) f (x) Acos( x )的最小正周期都是 T I |幽若f(x) s呜，则f(1) ffIII f(2017)=(2)函数f(x) cos4 x 2sin xcosx sin4x的最小正周期为 (3)设函数f (x)2sin(x ),若对任意xR都有f(Xi)f (x)f(X2)成立,则| x1 x2 |的最小值为(4)奇偶性与对称性正弦函数 y sin x(x R)是奇函数，对称中心是k ,0 k

16、 Z ,对称轴是直线余弦函数y cosx(x R)是偶函数，对称中心是 k,0 k Z ,对称轴是直线2(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图像与x轴的交点)。5【例20(1)函数y sin 2x的奇偶性是23.一一(2)已知函数 f(x) ax bsin x 1(a,b 为常数)，且 f( 5) 7,贝Uf( 5) (3)函数y 2cosx(sin x cosx)的图像的对称中心和对称轴分别是 、(4)已知 f ( x) sin(x)J3 cos(x)为偶函数，求 的值为(3)函数y Asin( x )图像的画法(5)单调性：y sin x在 2k2k

17、k Z上单调递增; 2 '2.3在2k -,2k k Z单倜递减;22y cosx在 2k ,2kk Z上单调递减;在2k,2 k2 k Z上单调递增。特别提醒，别忘了 k Z !16、形如y Asin( x )的函数：1(1)物理量：A一振幅；f 一频率(周期的倒数)；x一相位；一初相；(2)函数y Asin( x )表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图像上的特殊点确定，【例21】f (x) Asin( x )(A 0,0, | | 3)的图像如图所示，则f (x)=，令 X =0, ,2求出相应的x值，计算得出22五点的坐标，描点后得出图像；图像变换法：这是作函数简图常用方

18、法。(4)函数y Asin( x ) k的图像与y sin x图像间的关系：函数y sin x的图像纵坐标不变，横坐标向左(>0)或向右(<0)平移| |个单位得y sin x的图像；1，一一函数y sin x 图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y sin x的图像；函数y sin x图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y Asin( x)的图像；函数y Asin( x )图像的横坐标不变，纵坐标向上( k 0)或向下(k 0),得到y Asin x k的图像。要特别注意，若由y sin x得到y sin x 的图像，则向左或向右平移应平移| 一|个单位，【例

19、22】(1)函数y 2sin(2x -) 1的图像经过怎样的变换才能得到y sinx的图像？(2)要得到函数y cos§ 7)的图像，只需把函数 y sin的图像向 平移个单位。(3)将函数y 2sin(2x ) 1图像，按向量2平移后得到的函数图像关于原点对称， 3这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量？(4)若函数f x cosx sinx x 0,2的图像与直线y k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是(5)研究函数 y Asin( xH生质的方法：类比于研究y sin x的性质，只需将y Asin( x )中的 x 看成y sin x中的x ,但

20、在 求y Asin( x单调区间时，要特别注意 A和 的符号，通过诱导公式先将化正。【例23】(1)函数y sin( 2x §)的递减区间是一 .x(2) y log 1 COS(- i)的递减区间是(3)设函数 f (x) Asin( x)(A 0,0，2_)的图像关于直线x2称， 它 的 周 期 是( )15 2. A、f (x)的图象过点(0,) B、f(x)在区间,上是减函数212 3C、f(x)的图象的一个对称中心 是(5-,0)D、f(x)的最大值是 A(4)对于函数f x 2sin 2x一给出下列结论:3图像关于原点成中心对称;图像关于直线x 一成轴对称；12图像可由函

21、数 y 2sin 2x的图像向左平移 一个单位得到；3图像向左平移 一个单位，即彳#到函数 y 2cos 2x的图像。12其中正确结论是(5)已知函数f (x) 2sin( x )图像与直线y 1的交点中，距离最近两点间的距离为一，那么此函数的周期是317、正切函数 y tanx的图像和性质：(1)定义域：x | x k ,k Z。2遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3)周期性：是周期函数且周期是，它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其

22、周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周 期性不变，其它不定。例如：y sin2x,y sin x的周期都是，但y sin x cosx的周期为 一，2.1 、而 y |2sin(3x ) -1,y |2sin(3x ) 2|, y |tanx|的周期不变；k(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ,0 k Z ,2特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图像与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5)单调性：正切函数在开区间-k , k k Z内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下

23、图:三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质sins in（x+x）x3y=AtAnan（x+x|）yxO茅岭嬴心品目静郃二4 4铲邻中心 |x3-x4|=T/2 邻轴 |xi-x2|=T/2无穷对称中心：由y=0确定无穷对称轴：由y=A或-A确定'.邻中心 |x3-x4|= T/2无穷对称中心：由y=0或y无意义确定x=xix=x2邻渐近冬|x1-x2|=T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交，且相邻两 交点的距离为一个周期！2218.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和 与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余.锐角三角形 二内角都是锐角三内兔町余范值为正值, 佳直角和都悬钝角一任 意两边的平方和大于第三边的平方 .(2)正弦定理：-a- -br- c；7 2R(R为三角形外接圆的半径).sin A sin B sin C注意：正弦定理的一些变式:i a b c sin A sin B sin C ；aii sin A ,sin B2R2R,sin Cc2Riii a 2RsinA,b 2RsinB,b 2RsinC；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解(3)余