曲面拟合的研究与应用

1、曲面拟合的研究与应用Research and Application of surface fitting摘 要随着科学的发展，数学对世界的影响和改变能力日益突出。目前，曲面拟合作为数据处理与分析的一种数值方法，已被逐步推广到多个领域，并得到了越来越重要的应用，已经成为数学领域中的一个新的分支。曲面拟合是一种古老而常用的技术，在工程实验统计和计算机图形等方面有着广泛的应用。在实际问题中，通常我们通过测量或者实验得到一组离散的数据，我们需要从这组离散数据出发去构作曲线曲面或者求解拟合函数的参数。这里，我们首先研究曲线拟合的常用方法，包括曲线拟合的插值法和解析法。插值法这里主要研究的是牛顿插值法，

2、解析法主要研究的是最小二乘法，通过最小二乘法做曲线拟合函数。然后再从二维的曲线拟合过渡到三维的曲面拟合。在曲面拟合过程中，通过最小二乘法得到一个一个非线性方程组，然后利用牛顿法求解，便得到拟合函数或者拟合参数的参数。最后我们通过一个现实中实例来说明曲面拟合的全部过程及其有点。通过对有曲面拟合的研究与学习，初步了掌握曲面拟合的最小二乘方法及其应用。在科学技术日新月异的发展过程中，曲线曲面拟合已应用在各个领域中，尤其在数据处理方面，发挥着越来越重要的作用，为科学技术的进步作出了重大的贡献，曲线曲面拟合作为一种方法也得到了巨大的发展。关键词：曲线拟合；最小二乘法；牛顿法；曲面拟合II Abstrac

3、tWith the development of science, the maths impact and the ability of change to the world has been prominent day after day. Nowadays, Surface fitting, which as a numerical method of data processing and analysis has been extended to other fields, and it has been a new branch in math.Surface fitting i

4、s an old and common technology which is widely used in engineering experiment statistics and computer graphics. In practical problems, Usually, we get a group of discrete data by measurement and experimental. We need to construct curves and surfaces or to solve the parameters of the fitting function

5、.Here, we firstly study the common method of curve fitting. It includes the interpolation method and the analytical method. We mainly study the Newton interpolation for interpolation method and the least squares for the analytical method. We construct the fitting function by the least squares and po

6、pularize the two-dimensional curve fitting to three-dimensional. During the process we can get a non-linear equations. By the Newton we can get the fitting function or the parameters of it. Finally, we will give a real example to illustrate the whole process of surface fitting and its advantages. By

7、 research and studying of surface fitting, basically, I grasp the least squares method of surface fitting and its application. In the rapid development process of science and technology ,curve and surface fitting has been applied in various fields ,especially in data processing ,and play an increasi

8、ng important role .It has made a significant contribution to the progress of science and technology ,and ,as a method, has also made a huge development.Keywords: Curve fitting; Least squares method; Newton method; surface fittingI 目 录摘 要IAbstractII第1章 绪论- 1 -1.1论文研究的目的和意义- 1 -1.2曲面拟合的最小二乘法- 2 -1.3设计

9、的思想和采用的方法- 2 -第2章 曲面拟合的基本知识- 4 -2.1 曲线拟合- 4 -2.1.1 问题的提出- 4 -2.1.2 曲面拟合的牛顿插值法- 4 -2.1.3曲线拟合的最小二乘法- 8 -2.2 解非线性方程组的牛顿迭代法- 11 -2.3 曲面拟合- 13 -2.3.1 方法的概述- 13 -2.3.2 曲面拟合的最小二乘法- 16 -第3章 实例计算- 18 -3.1 问题- 18 -3.2 求解过程- 19 -第4章 结论- 22 -参 考 文 献- 23 -致 谢- 24 -第1章 绪论1.1论文研究的目的和意义曲线曲面的拟合问题在理论研究和实际应用中常常遇到。在模式识

10、别和计算机视觉中,图像数据的模型拟合是一项基本的工作。在工程、统计和计算机图形等方面也有着广泛的应用.CAD和CA题都与拟合问题有关。对给定数据点集进行曲线或曲面的拟合在图像处理、模式识别及计算机视觉中是一个重要的阶段,例如边的检测、物体重构等。 二次曲线曲面由于特性、较低的次数及灵活的控制参数,成为基本体素模型之一,在计算机图形学和计算机辅助几何设计等领域中起着重要的作用。二次曲线曲面拟合在日常生活和工业生产中也得到广泛应用。问题要求用二次曲线曲面对平面或空间多个数据点进行种意义下误差最小.解决拟合问题的方法基本上分为两类:目标函数基于代数距离和目标函数基于垂直距离.代数距离是计算快速,但通

11、常情况下拟合效果不佳。而垂直距离是误差距离中最准确的误差距离,基于垂直距离最好拟合,但由于问题的非线性,迄今也没有非常好的拟合方法,所以有必要做进一步的研究。这个课题的研究，主要有两个方面的意义；一是对学生的知识和能力进行一次综合的考核,即对学生的知识面,掌握知识的深度,运用理论结合实际去处理问题的能力,实验能力,外语水平, 查找文献的能力，计算机运用水平,书面及口头表达能力进行考核，使学生进一步掌握和巩固所学基础理论、基本技能和专业知识，并在科学实践中丰富和完善所学理论知识。二是对学生进行科学研究基本功的训练，培养学生综合运用所学知识独立地分析问题和解决问题的能力，使学生获得从事科学研究工作

12、的初步训练，尤其注重培养学生的创新精神和实践能力, 使学生树立外国先进理论和本国实际国情相结合的思想和观点,培养实事求是、刻苦钻研、勇于探索、善于合作的工作作风,为以后实践打下良好的基础。1.2曲面拟合的最小二乘法曲面拟合是一种古老而常用的技术，在工程实验统计和计算机图形等方面有着广泛的应用。曲面拟合是曲线拟合的延伸和扩展。因此，我们可以借鉴曲面拟合的方法，来做曲线拟合。曲线拟合是在二维平面上进行的，对于给定的一组观察值我们需要通过这张表求出一个简单函数。并用近视地表示。纵观现已存在的曲线拟合即参数估计的算法,主要有解析法和直接法两大类。 直接法又称插值法，插值法有很多种方法，拉格朗日插值、牛

13、顿插值法、埃尔米特插值、分段低次插值和三次样条差值。而解析法则主要是指最小二乘法。本文就是要对最小二乘法作主要的介绍，并且将曲线拟合的最小二乘法推广到曲面拟合的最小二乘法。近代的曲面拟合方法也有很多，按照数据分布是否规则，可以分为乘积型方法和样条函数的最小二乘法，Shepard方法，二部逼近法等。这里研究的最小二乘法属于解析法，最小二乘法具有许多其它拟合方法无法比拟的优点，具体表现在：1 .不需要事先确定拟合函数的类型。2 .由于紧支概念的引入不需要进行分块拟合。3 .不需要求解线性方程组从而避免了求解时方程组的系数矩阵可能是病态的情况。4 .精度比较高能够捕捉到数据的剧烈变化。5. 只要选择

14、合适的基函数和权函数可以得到足够光滑的拟合曲面。最小二乘法最大的缺点就是计算过程比其它拟合方法要稍微复杂，计算量也相对要大一些,然而和其所具有的优越性相比，这些都是可以接受的。利用最小二乘法进行曲线曲面拟合，为曲面拟合以后的发展提供了方向。1.3设计的思想和采用的方法通常经过测量或者采集可以得到一组离散数据点 ，这里为坐标值。由于这些数据点并非完全精确，而且函数的表达式预先无法知道，需要在给定的函数类上根据这些离散数据作出逼近曲面。因为离散数据有误差并不要求逼近曲面经过数据点而只是要求逼近曲面的误差的某个指标达到最小。曲面拟合方法一般使用最小二乘法， 通过使误差的平方和最小得到一个线性方程组，

15、求解一个非线性方程组就可以得到拟合曲面。如果离散数据量比较大形状复杂还需要进行分块拟合和平滑化这在实际中往往带来一定的困难。 对于给定一个含参数的函数表达式和一组数据观察值，我们需要求出表达式的参数。构造函数，根据最小二乘法的原理，要使函数达到最小。利用数学分析的方法，对求偏导数，得到个方程即 最后利用牛顿法求解这个非线性方程组，得到参数的解。这样便完成了函数的拟合。第2章 曲面拟合的基本知识2.1 曲线拟合2.1.1 问题的提出在生产实际及科学实验中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的函数表达式，往往只能通过测量或者观测，获得一张数据表，即 这种表格给出的函数，

16、无法求出不在表中点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分。有的虽然能给出一个函数的分析表达式，但式子复杂，不适合使用，为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单函数，使，并用近似地表达。但是，这些节点上的函数值一般都是由测量或者实验得到的数据，其本身往往不可避免的带有测试误差，如果个别点上的误差较大，就会引起插值函数户发生严重的波动，从而影响逼近的精度。为了尽可能减少这种测试误差的影响，我们希望用另外的方法来构造逼近函数，使得从总的趋势上来说更能反映被逼近函数的特性。或者说，希望求得的逼近函数与已给函数值，从总体来说其偏差按平方度量能达到最小，这就是最小二乘法。2

17、.1.2 曲面拟合的牛顿插值法牛顿插值可以看成做直线方程点斜式的推广。将n+1个插值节点的n次插值多项式表示为或递推形式 确定。 为解决这个问题，首先引进差商的概念，得到一般情形下牛顿插值公式；再引进差分的概念，得到等距情形下牛顿插值公式。（1） 差商概念定义6.2 给定函数在个互异节点上的函数值，称为关于点的一阶差商（或称均差），记作。即而称为关于的二阶差商。一般地称为关于的k阶差商。（2）差商的性质及差商表下面不加证明地列举差商的三条性质。性质6.1 k阶差商为的线性组合，即 性质2.1 在k阶差商中，任意调换与的次序，其值不变，这个性质称为差商的对称性。性质2.2 常数差商为零，n次多项

18、式的k阶差商为此多项式。(3)一般情况牛顿插值公式设x是区间上的一点，由关于的一阶差商，关于的二阶差商，直至关于的n阶差商，有下列等式成立：把上式中的后一式代入前一式，即得 其中 6.25容易验证下面几个结论成立：（1）是一个n次多项式（2）满足插值条件。因此是一个n次插值多项式，称为牛顿插值公式，即为插值余项。（3）差商与导数有下面关系式（6.26）（4）具有递推公式上面讨论的是节点任意分布的牛顿插值公式。但在实际应用中，经常遇到等距节点的情形，这时牛顿插值公式可以进一步简化，同时可以避免做除法计算。定义2.2 设在等距节点处得函数值为，为常数，称为步长；称 ， ， 分别为在处以为步长的一阶

19、向前差分，向后差分和中心差分。同样可以定义阶差分，并记作 ，下面不加证明列出几个差分性质。（1）各阶差分值均可用函数值线性表示：， 其中 （2）查商和差分有如下关系： （3）差分和导数的关系如下： （在与之间） (4)常数差分为零，次多项式的阶差分为一个次多项式。设在等距节点上的函数值为。将一般情形的牛顿插值公式中的各阶差商用相应的差分代替，就可以得到等距节点牛顿插值公式。这里只推导常用的牛顿向前插值公式与牛顿向后插值公式。（1）牛顿向前插值公式 设插值点在附近，一般有可令，于是 将上式代入一般情形的牛顿插值公式，得到牛顿向前插值公式： 其余项为 牛顿向前插值公式通常用于计算表头附近插值点的函

20、数值。(2)牛顿向后插值公式当计算在附近的函数值时，可将插值节点的次序由大到小排列，即。令，此时一般的牛顿插值公式变为 其余项为 牛顿向后插值公式通常用于计算在表尾附近插值点的函数值。牛顿向前插值公式与牛顿向后插值公式二者都具有自动选节点并逐步比较精度的特点。2.1.3曲线拟合的最小二乘法最小二乘原理提出了一种标志曲线拟合好坏的标准，按这个标准，对于对数据去求系数的最佳值，应该使函数取最小值，这就可以用多元函数求极值的方法进行计算。具体做法如下：对求偏导数，得到个方程 即 （2.1） 为了简单，记 ， 则式（2.1）可以写成 （2.2） 方程组（2.2）称为正规方程组，它是关于为未知数的阶线性

21、方程组。可以利用求解线性方程组的各种数值方法，求出的值，便可得到与已知数据的误差平方和为最小的多项式。为了计算方便，再分析一下方程组（2.2）的特点，为此把方程组（2.2）写成矩阵形式，即有 简记为我们看到，系数矩阵中在同一条反对角线上的元素都是相等的。因此，在计算时只要求出第1行及第列中的个元素，然后按照此规律即可写成系数矩阵。其次，按公式求出个值，于是就得到正规方程组（2.2）。 到此为止，我们自然会提出这样两个问题。一是方程组（2.2）是否一定有解，二是如果有解。解是否一定能使取得最小值。下面我们分别来解决这两个问题。 （1）存在唯一问题 要证明方程组（2.2）是否有解，只要考虑他的系数

22、行列式是否为零。 用反证法证明，如果，则对应式（2.2）的其次方程组有非零解，现在将上述方程组中第个方程组乘以，然后对所有的相加，得到 = = 这就是说，如果，则多项式，即有个零点，但有假定，是一个次多项式，所以只能有个零点，且，因此上述假定是不合理的，于是。则方程组（2.2）有唯一解。 （2）取得最小值问题证明由式（2.2）所求得的使取得最小值。设 是任意一个次多项式，要证明比大，记 =考察上式的第二项，并由式（2.1），即可得 = = =所以 这说明是使取得最小值的次多项式。或者说，是在这样度量下的最好拟合多项式。2.2 解非线性方程组的牛顿迭代法含有个未知数和个方程的方程组记为 F(x)

23、=0 （2.3）其中， =是定义在上的n元实值连续函数。当时，式（2.3）就是单个方程。如果都是线性的，式（2.3）就是线性方程组。的导数为 （2.4）式（2.4）也称为的Jacobi矩阵。牛顿法是求解非线性方程组的有效方法，可以看成单个方程情形的牛顿法推广。设为方程组（2.3）的一个近似解，则对，有 +写成向量形式为 把使得上式右端为零的向量x作为一个新的近似值，记为，即 这就是牛顿迭代法的计算公式。实际计算过程是，先解线性方程组 （2.5）解出后，令。就可以得到方程（2.3）的近似解。下面来看一个具体的实例，方程组这里有 ，选取解方程组，即 求出后，。同理计算可得。 可以证明牛顿法在一定条

24、件下是局部平方收敛的。2.3 曲面拟合2.3.1 方法的概述 二元函数的逼近在许多领域有着重要的应用。我们面临的大量问题是从一组离散数据去构作曲面，例如，地质结构中趋势面的分析、心电图的模拟等等。所构造的曲面应具有逼近和几何特征，这里侧重于前者，而将数值方法的描述放在首位。（1）数据分布是否规则？对分布在矩形格点上的数据，应用乘积型方法逼近。若数据分布是散乱的，常用的方法有样条函数的最小二乘法，Shepard方法，二部逼近法。（2）数值方法的选择还将依赖于原始数据的准确度。在大量实际问题中，实测数据仅有三至四位准确。一般讲，在这种情况下，局部逼近优于全局逼近。而磨光法是一个简单的方法。（3）全

25、局逼近、局部逼近和二步逼近的选择。局部逼近即“分片发”，也就是将大范围的拟合问题分割为许多互不相交的小片上拟合。方法的优点是计算简单，容易保持几何特性，其缺点是连接处甚至可能不连续。在散乱数据的拟合中，可针对每一点来建立一个拟合曲面，这也是一种局部逼近问题。二步逼近法常常用于非规则数据中，作为第一步，是将数据规则化，即将矩形的格子点的函数值补齐，局部逼近是这一步的常用方法。第二步，利用乘积型方法将曲面构作出来（4）基函数的选择是一个极重要但又不容易解决的问题。目前有下列几种不同的考虑。乘积型的基函数。例如可选择为或乘积型B样条函数；或者是方向是为基，方向用B样条函数为基的混合乘积型，即将曲面模

26、型选为当我们考虑散乱数据逼近的时候，距离是一个重要因素，也就是说远离的那些点的函数值对的影响是微小的。因而，基函数中常考虑含有的因子。例如 又例如，取曲面方程为 上式称之为准三次样条，它属于函数类。再则，基函数可有光滑函数的极小解产生。假定是定义在D上具有一定光滑度的函数集合。即是中满足插值条件的函数集合，即 又设是定义在上的泛函，它度量着中元素的光滑性，即越小，便越光滑，于是，可考虑下面的极小问题，即在中求使 。 （2.6）类似于一元样条函数的部分性质，称为关于的样条插值函数。这里，举出几个例子来说明它在曲面构造中的应用。假定是半模的希氏空间，而 ， （2.7）Duchon证明了，对加上一个

27、不太强的条件，（2.6）的解是唯一的。此外，还可以证明，存在着一个再生核，它定义在DD，使得（2.6）的解可表成 这里是的基底，也即是说，我们寻找拟合曲面的一组基及，它由光滑泛函的极小解析产生，而且系数、由方程组 所决定。这里，一个困难的问题是再生核的构造。如果D是矩形域，取泛函 取适当的空间，那么的解便是萡板样条或准三次样条。 如果再记是关于的逼近泛函，例如 那么在中寻找使便得到希氏空间的光顺样条。（5）基函数的个数决定也是一个实际问题。如果是定义在上的次可微函数，且，记是它的Lagrange代数插值多项式。那么为了达到的精度，需要插值数据的数目。我们希望这个结果推广到多变量的情况。首先考虑

28、到Lagrange乘积型代数插值。如果要求在和方向的逼近误差限为，且假定关于的歌阶导数的界为，那么需要的数据。熵理论已应用到多元函数逼近理论中来。假定的阶混合导数的界为，是逼近准确度，那么基函数数目可取成 Lorente于1966年指出了一个结果;如果在上连续，那么存在着两组连续函数和使得可表成这里是依赖于的单变量连续函数。2.3.2 曲面拟合的最小二乘法设拟合曲面在矩形网格点的型值已给。选定一组乘积基函数，并假定。再给定的权系数用最小二乘法寻求二元曲面 的逼近参数，它使在网格点上的值的差的平方和，在权的意义下达到最小，即 （2.5）达到最小。由（2.9）所决定的参数，其对应的曲面称为乘积型最

29、小二乘曲面。容易看出，当且在乘积型插值问题解存在且唯一的情况下，乘积型最小二乘曲面变成插值曲面。也就是说，在二元情况下，最小二乘法的插值法有自适应性。利用多元函数的极值理论，在（2.5）中令 （2.6）便得到关于的阶代数方程组： 。 （2.7）同样的，在较大的情况下，例如双三次样条拟合，要解一个阶的代数方程组，其计算量是相当大的，还要占用数目很大的内存单元。 对于方程组（2.7）我们使用牛顿法来求解，通过牛顿法求得方程组（2.7）的解，便得到拟合曲面。第3章 实例计算3.1 问题这是一个来自于现实中的问题，设拟合函数 (3.1)c1c8为参数；为中间变量；求解拟合函数中的参c1c8，的坐标数据

30、由下表给出：表 3.1xyzxyzxyz0.26.470.45412.64.550.15819.63.510.07251.36.360.4312.94.490.15219.93.480.07052.36.250.40913.34.440.147203.460.06953.16.150.38913.64.390.14220.33.430.06763.86.040.3713.94.340.13720.53.390.06574.55.950.35214.24.290.13220.73.380.06485.15.850.33614.54.240.12820.93.350.06315.75.760.32

31、14.84.190.12321.23.320.06146.35.670.30615.14.140.11921.33.310.06066.85.580.29215.44.090.11521.63.280.0597.35.50.27915.74.050.11121.83.250.05747.75.420.267164.010.10821.93.230.05678.25.340.25616.33.960.10422.23.210.05528.65.270.24516.63.920.10122.43.180.053895.190.23516.93.880.09822.63.160.05319.45.1

32、20.22517.23.840.094922.83.140.05189.85.050.21617.53.80.092233.110.050510.24.980.20717.73.760.089223.23.10.049810.64.920.199183.720.086523.43.070.048610.94.850.19118.33.690.08423.83.030.046811.34.790.18418.63.650.081523.93.010.045711.64.730.17718.83.610.079124.22.990.044611.94.670.1719.13.580.076824.

33、32.970.04412.34.610.16419.43.550.074724.52.960.04353.2 求解过程根据曲面拟合的原理易知，需要使得 取得最小值。则有 （3.2） 首先，将（3.2）式展开，得其中。然后，我们利用利用牛顿法来求解上述非线性方程组。通过求导先求得jacobi矩阵，根据公式（2.5），我们便得到一个线性方程组，其中，。最后将表3.1中的数据代入上述方程组，选取通过上述方程组求得后，利用公式便可得到，经过迭代我们便得到方程组的解然后代入函数，我们便得到了拟合函数。第4章 结论本文介绍了曲线、曲面拟合的基本公式及其求解方法，重点介绍了最小二乘法，并介绍了曲面拟合在数据

34、处理中的应用，且给出了在实际问题中，曲面拟合的具体过程。即首先利用最小二乘法理论，给出含有参数的非线性方程组，然后再利用牛顿法来求解这个非线性方程组，得到非线性方程的近似解，即，拟合函数中的参数，于是我们便得到了曲面方程或者拟合函数。在利用最小二乘法求解曲线曲面拟合时，容易在计算机上实现，但是当最小二乘多项式的次数较高时，得到的非线性方程组往往是病态的，这就需要对最小二乘法做出改进，解决的方法是利用正交多项式做最小二乘拟合。目前，利用正交多项式做最小二乘拟合，是做曲线曲面拟合的最好计算方法。参 考 文 献1王金铭，等.数值分析。辽宁：大连理工大学出版社，20072 关治，陆金莆.数值分析基础.北京：高等教育出版社，19983 李庆扬，王能超，易大义.数值分析.北京：清华大学出版社，20014 林成森.数值分析。北京：科学出版社，20065张韵华，等.数值计算方法与算法.2版。北京：科学出版社，20066 冯国忱.非线性方程组迭代