二次量子化基础

1、 二次量子化基础基本思想一次量子化基本方程为Schrdinger方程.任意状态可在Hilbert空间按基矢展开为 ,基矢可为某不含时Hamiltonian的本征态.二次量子化的基本思想就是将按基矢展开的Schrdinger方程（或其它场方程）的解看作场算符，展开系数为相应于单粒子态的湮灭算符和产生算符。1. Hartree-Fock自洽场方法H-F方法是一种有用的近似方法，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时获得较好结果。这种方法便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。考虑由N个全同Fermi子组成的系统, 设粒子间有二体相互作用，Hamiltonian为 （1）

2、计及交换反对称性，试探波函数可表或Slater行列式 （2）式中为正交归一的单粒子态。利用（2），能量平均值为 （3）利用散度定理和在边界为零，上式第1项为, 即 .证明：N=2时，, 利用的正交归一性，对r2积分后得同理所以，略去x和r的下脚标后，有 （4）（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。同理，对N=3，4可证。H-F方法的基本思想：能量平均值在归一化条件 （6）下取极值。（注：极小值系统稳定，极大值系统不稳定。）利用分析力学中取条件极值的拉氏乘子法，有 （7）式中为Lagrange乘子。由（3）取极值，利用变分公式其中变分导数公式 =我们得到 +C.C , （8）式中第一项的复

3、数共轭是严格的，即根据变分公式有 . .考虑到. （9）将（8）、（9）代入（7），因是任意函数，根据变分法基本引理，被积函数中的系函数之和应为零，即Fock自洽场方程（10）因式中j=i的项之和为零，故j可以等于i，将（10）改写为 (11) 定义密度矩阵 （13）代入（12）有 （14）式（11）是关于单粒子态的方程，比将（1）作用于得到的方程要简单。但要求解（11）仍是困难的，一般只能用迭代法逐步逼近正确解。即先假设一个U, 由(11)解出, 再代入(12)求出新的U, 与假设的U比较后作修正，再代入（11），求出，直至由（12）算出的U与假设的一致。求得后再代回（2），即得系统的波函数

4、。将3.2节（14）式代入（39）, 得在粒子数表象中的能量算符 （15）式中 （16） （17）定义Fock真空态: , (18)式中|0>表裸真空态, | >表示在N个Fermi子组成的系统中, Fermi面之下的n个单粒子态已填满, 个Fermi面之上的态未填入粒子的“真空态”.利用编时乘积，正规乘积和收缩的定义，可将（15）化为便于计算的形式。场算符的正规乘积：设A，B，C，D,既含产生算符又含湮灭算符，则ABCD的正规乘积记为: ABCD:, 规定a. 作用于真空态上为0的算符放在右边;b. 对于Bose子,两算符换位时不变号, 对于Fermi子,两算符换位时变号.2.

5、全量子处理从粒子数表象中的能量算符（15）出发，求解相应的含时Schrodinger 方程 (19)通常将态矢按一套已知基矢展开为 ， (20)代入（19）求展开系数，它们的模方描述系统处于态的几率，其时间演化描述了不同态之间的量子跃迁。对于不含时系统，（19）有定态解 ，代入（19）得本征方程 (21)同样可将定态按一套已知基矢展开为 ， (22)代入（21）可得个不同的本征态和本征能量.Bose-Einstein凝聚体的二次量子化处理 考虑由N个全同Bose子组成的系统, 有外场和粒子间的两体相互作用, 总Hamiltonian为 (A1)归一化的交换对称波函数为， (A2)式中P指对处于

6、不同单粒子态上的粒子进行对换所构成的置换. 已知在标准情况下，1克分子量气体约有个分子，占有22.4公升的体积。因此，1 立方毫米体积中的分子数约为个，1 立方微米体积中约有个分子。而在Bose-Einstein实验中，通常在毫米量级的阱中囚禁了个BEC粒子，因此BEC是非常稀薄的气体。对于凝聚Bose子,它们处于同一单粒子基态, 波函数(A2)式可表为 . (A3)因此, 能量期待值为 (A4)因BEC实验中N的典型值至少为105, 故式中(N-1)约等于N. 利用在边界为零, (A4)式为 (A5)这里 H 为Hamiltonian密度. 对于理想凝聚体, 场算符和Hamiltonian为

7、 （A6） (A7)场量子化后, 与为共轭正则变量. 二次量子化后的Heisenberg 方程可表为正则方程 . （A8）（A7）式代入（A8），即得自洽场方程： （A9）若（A1）中H包含三体作用，则（A9）中应含五次项 . 将粒子看作硬球，相互作用为低能散射，硬球散射势下散射方程及边界条件为： （A10a）式中a为正比于相移的s波散射长度，E. Fermi在1936年证明，该散射相当于一个有效相互作用 （A10b）将（A9）式中用该势取代，应为. （A10）代入（A9），得理想凝聚体的Gross-Pitaevskii方程. （A11）对于非理想凝聚体, 场算符应分解为凝聚部分和非凝聚部分.

8、 当非凝聚部分为一级小量时, (A11)式仍然成立, 但应理解为它的期待值, 被称为序参量或凝聚体波函数. 若（A9）式中Ve不显含t, 令，得定态方程 （A12）因非线性的存在，一般不是单粒子能量，而是化学势，即T=0时的费米能. 由（A12）乘积分，可得与能量泛函（A5）中的关系。注意到，在外势含时情形，由（A5）和（A10）可得 （A13）对于每个单粒子有两个态的情形，将场算符按两模展开， 。代入（A13）并对空间坐标积分，注意到为正交归一的态函数，有 ， （A13）式中 ， ， ， 。 （A14）专题1：驱动双阱中的冷原子双阱（double-well）势可由磁场和高斯型激光场产生 （A

9、15）未驱动双阱中的冷原子Hamiltonian为 （A16）引入偶极激光驱动 并考虑原子-原子相互作用 ，平均Hamiltonian（A7）成为 （A17）一、平均场处理 由（A17）和Heisenberg 方程（A8）得非线性Schrodinger方程，。 （A18）从（A18）出发，可研究驱动浅双阱中弱耦合冷原子的各种规则与混沌运动。二、全量子处理已知未驱动双阱中单原子两最低本征态和本征能量服从 （A19）我们构造基矢 Wannier 态为 （A20）其中 ，。 （A21）将场算符按（A21）展开为 （A22）可得 （A23）略去常数项，并令 （A24）代入（A17），得驱动双阱中冷原子

10、的 Bose- Hubbard Hamiltonian（A25）相应的含时Schrodinger 方程为 （A26）从（A26）出发，可研究驱动深双阱中低能态冷原子的各种量子运动。利用近期发展的磁光囚禁技术和激光整形技术，改变（A17）中的势函数，可得不同冷原子系统类似于（A18）和（A26）的基本方程。利用它们可研究不同系统中冷原子的各种规则与混沌运动及其操控，以及它们在原子激光、量子输运、精密测量和量子信息处理等方面的应用。例1、双阱中单原子系统的全量子处理系统的哈密顿量为， （1-1）态矢可展开为 ， （1-2）其中分别为原子在第一个阱和第二个阱的态矢。代入Schrodinger 方程

11、， （1-3）即 （1-4）得 （1-5）当为常数，可求定态解和非定态（类相干态）解。定态解形如 ， （1-6）与（1-2）比较知 常数。 （1-7）代入（1-5）有 （1-8）由此解得 ， （1-9） . （1-10）利用 (1-9) 和归一化条件 , （1-11）可得 , . （1-12）代入(1-6) 得对应于两不同能量 的两个定态解. （1-13）它们的线性迭加为类相干态解 ， （1-14）其中 ，由（1-12）决定，为由初始条件和归一化条件决定的常数。调节外场参数和初始条件，可以控制粒子处在不同态的几率 和在不同态之间的量子跃迁。注意，计算几率 时存在相位相干效应。由于该控制的核心是

12、是量子相干，因此称为相干控制。 当为周期函数，可由（1-5）求非定态解。特别是当取外场为高频周期函数时，已得到许多有趣的结果，包括量子跃迁的相干破坏等。例2、驱动双阱中两原子系统的全量子处理两粒子双阱系统的哈密顿量为 。 （2-1）这个系统的波函数 可按基矢量展开为 ， （1-2）其中 表示有j个粒子处在第一个阱，个粒子处在第一个阱的态，为相应的几率幅。将（2-1）和（2-2）代入 ， （2-3）有方程组， （2-4）。由（2-4）解出几率幅，则两粒子随时间的演化、粒子从一个阱到另一个阱的量子隧穿等物理性质都可知道。一般（2-4）式的解析解很难求得，只能求它的数值解或近似解。在高频情况下，可得

13、（2-4）式的近似解析解。该情形几率幅可用慢变函数表示为 ， 。 （2-5）代入方程组（2-4）得慢变函数的方程， （2-6）。 当含时驱动中，时，展开（2-6）式中指数函数为傅里叶级数， （2-7）这里为第一类阶Bessel函数。（2-7）代入（2-6），在条件下，（2-6）式中快速振荡的指数函数可用其时间平均替代，于是有， （2-8）。该方程是一组常系数线性方程，其通解是人们已知的。由（2-8）可见系统某些有趣的物理性质。若取外场参数为的零点，则为常数。若初始状态为两粒子分别处在左右阱，即取，则归一化要求，系统以后都将处在这个状态，这就是隧穿的相干破坏。 因哈密顿量是周期的，根据Floquet定理，薛定谔方程有Floquet解为。 （2-9）令， （2-10）代入上述方程组，利用线性方程组有非零解的条件解得Floquet准能量 ，. （2-11）这里 。令，Floquet准能量随外场参数的变化如下图：对于Floquet准能量，将（2-10）代入（2-8），并利用归一化条件，可得，式中为