弹塑性力学第二章

1、西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室2.1 力和应力的概念2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程2.3 一点处应力状态的描述2.4 边界条件2.5 主应力与主方向2.6 球张量与应力偏量第二章第二章 应力应力西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室力和应力的概念力和应力的概念西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 一、力一、力1. 外力面力（表面力）：作用在物体表面上的力体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力0limSSS pp一点面力的集度：Ps方向：与P的极限方向相同。Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量，指向坐标轴正方向

2、的分量为正，反之为负。力和应力的概念力和应力的概念面力平均集度：Sp力长度 -2西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室物物体体在外力作用下变形变形（改变了质点间距）在物体内形成附加附加的内的内力场力场当内力场足以和外力平衡时，变形不再继续平衡平衡2. 内力力和应力的概念力和应力的概念西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室二、应力的定义应力：单位面积上的内力：0limcScSp 单位：帕（Pa)反映了P点内力的强弱程度，是度量内力分布强弱程度的物理量。应力二要素：点的位置：不同点的应力不同截面方位：同一点不同方位截面上的应力不同应力矢量与面力矢量的异同？西南科技大学西南科技大学

3、力学教研室力学教研室 1.正应力n：沿应力所在平面的外法线方向（n）的应力分量。 剪应力n：沿应力所在平面的切线的应力分量。 正应力的下标表示应力所在面的外法线方向，以拉应力为正，压应力为负。力和应力的概念力和应力的概念xzy西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 剪应力的第一个下标表示应力所在面的外法线方向，第二个坐标表示应力分量的指向。当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，沿坐标轴正方向的剪应力为正，当其所在面的外法线与坐标轴的正方向相反时，沿坐标轴反方向的剪应力为正。力和应力的概念力和应力的概念西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室xxyxzyxyyzzxzyzxx

4、yx zy xyy zz xz yz 坐标变换坐标变换一点的应力状态 ：应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，各应力分量即为应力张量的元素。, , ,xxyxzijyxyyzzxzyzi jx y z力和应力的概念力和应力的概念西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室二维应力状态与平面问题的平衡方程二维应力状态与平面问题的平衡方程西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 一、平面问题一、平面问题 物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标轴（例如x轴）无关，可分为平面应力问题和平面应变问题。1. 平面应力问题：很薄的平板，载荷只作用在板边，且平行于板面二维应力状态与平面问题

5、的平衡方程二维应力状态与平面问题的平衡方程如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室应力特征20tzz20tzxz20tzyz板很薄，且外力沿板很薄，且外力沿 z 轴方向不变轴方向不变。由剪应力互等定理，有0z0zx0zy0yzzy0 xzzx结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。00000 xxyijyxyyzt二维应力状态与平面问题的平衡方程二维应力状态与平面问题的平衡方程西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 2. 2. 平面应

6、变问题：平面应变问题：等截面柱体，其纵轴方向（Oz坐标方向）很长，载荷垂直于Oz方向且沿z轴均匀分布。水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒几何特征：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 近似认为无限长西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室变形特征：沿z轴方向各点的位移与其在z轴方向的位置无关（w=0），物体的变形只在Oxy平面内发生。(2) 外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变。 约束 沿长度 z 方向不变。,0 uu x yvv x yw000zzxxzzyyz西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 如

7、图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室cd边上的正应力：二维应力状态与平面问题的平衡方程二维应力状态与平面问题的平衡方程二、平衡方程二、平衡方程设应力分量是点的空间位置的连续函数，即, ,abcdf x yf xdx y由泰勒级数展开：同理可以求出cd、cb边上的应力。西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室解得：xyyx 剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在

8、，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线对于厚度t=1的微小矩形单元abcd，有平衡条件：0aM 西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室0X 0yxxxxyxyxbxdx dydydy dxdxF dxdyxy0yxxbxFdxdyxy化简后可得：0yxxbxFxy同理可求出：0yxybyFyx二维应力状态的平衡方程00yxxbxyxybyFxyFyx西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室说明：说明： 超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）； （4）平

9、衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。00yxxbxyxybyFxyFyx（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,xyxyyx 西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室三维应力状态的平衡方程000yxxzxbxxyyzybyyzxzzbzFxyzFxyzFxyz二维应力状态与平面问题的平衡方程二维应力状态与平面问题的平衡方程（纳维方程）,0 , ,ij jbiFi jx y z 给出了一点应力和体力的关系，反应了物体内的应力分量必须满足的条件，是弹性力学问题的基本方程之一西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室一点处应力状态的描述一点处应力状态的描述西南科技大学西南科技大学 力学教研

10、室力学教研室cosABSsinACS1BCS投影后可得：将（2-15）式代入（2-16）式经整理后得：（2-15）一点处应力状态的描述一点处应力状态的描述（2-16）（2-18a）（2-18b）一、二维应力状态下一点处应力状态的描述一、二维应力状态下一点处应力状态的描述西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室令上式第一式中的 ，得2由(2-18)式可以求过A点任意方向平面上的应力分量。（2-18c）cosABSsinACS1BCS西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室一点处应力状态的描述一点处应力状态的描述二、三维应力状态下一点处应力状态的描述二、三维应力状态下一点处应力状态的描

11、述 令斜面ABC的面积为1，则三角形OBC,OAC,OAB的面积分别为由微小四面体的平衡条件可得： , ,iijjpni jx y z斜截面上的面力西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室坐标变换后，新旧坐标系内各应力分量间的关系。坐标变换后，新旧坐标系内各应力分量间的关系。令新坐标系 的 轴与图中的n方向重合，新旧坐标系间的方向余弦为：Ox y z Ox1112cos,cos,lx xlx y111213xxyzp lp lp l斜面上的面力向斜面上的面力向 轴投影，可得轴投影，可得Ox西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 凡一组9个量，在坐标变换时服从（2-20）式给出的法

12、则，就称为二阶张量。22211121311 1212 1311 132xxyzxyyzxzllll ll ll l 同理可求出用 表示的全部在新坐标系内的应力分量, ijijli j i ji i j jijl l (2-20) 一点的应力状态不随坐标系的改变而发生变化，但一点的应力分量随坐标系的改变而发生相应的变化，并遵循一定的变换规律。坐标系做平移变换，应力分量不会改变。西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室如果物体平衡，每一个单元体都平衡，反之亦然。考虑物体内部任意一个微分平行六面体的平衡考虑物体表面任意一个微分

13、四面体的平衡平衡微分方程静力边界条件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 三种边界条件（1）应力边界条件应力边界条件：在边界上给定内力。（2）位移边界条件位移边界条件：在边界上给定位移。（3）混合边界条件混合边界条件：在边界上部分给定面力，部分给定位移。边边 界界 条条 件件 边界条件建立了边界上的物理量与内部物理量间的关系，是力学计算模型建立的重要环节。西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室一、应力边界条件一、应力边界条件1212xxxyyxyypllpll二维：令12cos,cos,n xln yl边边 界界 条条 件件在边界上给定面力斜面上的面力：三维：12312312

14、3xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllpllliijjpn 应力边界条件与坐标系的选取及边界的方向余弦有关。西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室12cos,1,cos,0,xxxyyln xln ypp 12cos,0,cos,1,yyxyxln xln ypp 当边界与 某一坐标轴重合时，边界条件可以简化：边界处应力分量的数值与单位面积上的面力分量相等，且当边界的外法线沿坐标轴的正向时，取正号。反之，取负号。xpypxxpypxxxpypxxpyp边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室二、位移边界条件二、位移边界条件二维：,uu vv三

15、维：iiuu边边 界界 条条 件件边界上的位移分量已知xy如图：0, 0,0,0 xuv,0时当 vu称为固定位移边界。西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室图图(a)：0 xyysp图图(b)：0sx0uus0 vvs 三、混合边界条件三、混合边界条件 一部分已知应力，另一部分给定位移。1. 同一部分边界上已知部分位移和部分应力。1212xxxyyxyypllplluSSS边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 例2-1 若已知给定坐标系Oxy，如图2-12所示，试列出图中各平面问题的自由边界的应力边界条件。1212xxxyyxyypllpll121,

16、0ll(a)0, 0 xxxyypp 0 xxy(b)12cos , sin0 xyllpp tan cotxxyyxy 边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室图示水坝，试写出其边界条件。1cos,sinlm sinypycosxpy由应力边界条件公式，有sincossinyxyy cossincosxxyy 右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0 xypp0cossinxyyx0sincosxyxn1212xxxyyxyypllpll边边 界界 条条 件件左侧面：西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室10010 xxyxyyy 1212xxx

17、yyxyypllpll边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室例例4 2-6 设图中短柱处于平面应力状态，试证在牛角尖C处的应力等于零。解：解：证明：在 AC、BC 边界上无面力作用，即0 xyppAC 边界：120,1llBC 界：12cos,sinll 代入应力边界条件公式，有由（1）、（2）式解得1212xxxyyxyypllpll（1）由应力边界条件公式，有0,0 xyy0cossin0cossinxxyxyy（2）xyxy边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室例例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点

18、A处无应力存在。边边 界界 条条 件件西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室主平面：主平面：剪应力等于零的截面主应力主应力：主平面上的正应力主方向：主方向：主平面的法线方向i ji i j jijl l 转轴时应力分量的转换公式若0n，图示斜面为主平面n为主应力一、基本概念一、基本概念主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室222222xyznnpppp二、主应力二、主应力1. 特征方程1232221231 21 32 32nxyzxyzxyxzyzp lp lp lllllll

19、ll l222nnp斜截面上的应力主平面上切应力为零，则np主应力与主方向主应力与主方向123123123xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllplll西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室112233,xnynznppll ppllppll123112321233xxyxznxyyyznxzyzznllllllllllll代入（2-19）式，得123000 xnxyxzxyynyzxzyzznlll 写成矩阵形式:主应力与主方向主应力与主方向123123123xxxyxzyyxyyzzzxzyzplllplllplll西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室方程组

20、要有非零解，则0 xnxyxzxyynyzxzyzzn1xyzI2222 xyyzzxxyyzxzI 3xxyxzxyyyzxzyzzI I1, I2, I3为第一、第二、第三应力张量的不变量，简称应力不变量。应力不变量。展开后可得:321230nnnIII（2-28）(2-27)主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室2. 主应力特征方程的三个特征根即为3个主应力。321230nnnIII123主应力按从大到小排列：实数性：三个主应力均为实根极值性：主应力是正应力的极值不变性：主应力与采用的坐标系无关主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学

21、教研室力学教研室3. 主方向123112321233xxyxznxyyyznxzyzznllllllllllll11231123222123000 xxyxzxyyyzlllllllll 由上式可求出 所在平面的方向余弦，同样处理其余的主应力，可求出三个相互垂直的主方向。1主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室4. 主向空间 若坐标轴与主方向重合，则应力不变量用主应力表示为：1123xyzI2222122331 xyyzzxxyyzxzI 3xxyxzxyyyzxyzxzyzzI 以主应力的方向为坐标轴的几何空间称为主向空间主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室4. 八面体单元812322281223311313主向空间一般情况下（非主平面空间）：8222222813163xyzxyyzzxyzzxxy主应力与主方向主应力与主方向西南科技大学西南科技大学 力学教研室力学教研室 例2-3 设在平面问题条件下，一点P的应力状态为已知，试求:(1)主应力及主方向; (2