概率统计习题精解高等教育出版社郭红主编

1、第一章 随机事件及其概率一、基本要求了解样本空间的概念，理解随机事件、随机事件的频率与概率等概念，掌握事件间的关系及运算。理解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型及几何概型的概率，掌握概率的加法、乘法公式及全概率公式、贝叶斯公式；会用这些公式计算有关概率。理解事件的独立性概念并利用独立性计算概率；理解独立重复试验的概念，并能计算有关概率。二、内容提要1基本概念随机试验：如果试验具有如下特点： 能明确指出试验中所有可能出现的结果，且结果多于一个； 试验未结束之前，不能预知哪种结果会出现； 在相同条件下可重复进行.样本空间：试验中所有可能出现的样本点组成的集合，记为. 样本点：

2、试验中每一个可能出现的结果，记为.随机事件：试验的样本空间的子集记为，. 事件发生：设为事件，若试验中出现的样本点.2.事件之间的关系与运算 事件之间的四种关系： 包含关系：若，则称事件包含事件，即在一次试验中，若事件发生，则事件必然发生. 相等关系：若，且，则称事件与事件相等，记为，表明与为同一事件.互斥关系：若，则称事件与是互不相容（或互斥）事件，即在一次试验中，事件与不能同时发生.对立关系：若事件，满足，则称事件与是互为对立事件.记.于是有，. 事件之间的三种运算：事件的并：称为事件与的并事件，当且仅当事件与至少有一个发生时，事件发生.事件的交：称（或）为事件与的交事件，当且仅当事件与同

3、时发生时，事件发生.事件的差：称为事件与的差事件，当且仅当事件发生而事件不发生时，事件发生.运算律：交换律： 结合律： 分配律： 对偶律： 对差事件运算满足：3随机事件的概率及性质 公理化定义：设试验的样本空间为，对于的每一个事件，有一确定的实数与之对应，记为，如果满足下列三条公理：公理1 非负性 ；公理2 规范性 =1；公理3 可列可加性 设，两两互不相容，即对于，有=.则称为事件的概率. 概率性质：性质1 . 性质2（有限可加性） 若，为两两互不相容事件，则有=.性质3 设为任意事件，则有. 性质4 设，为事件，若，则有，且.性质5（加法公式） 设，为任意两个事件，则有=.4.古典概型与几

4、何概型古典概型：样本空间中包含有限多个样本点；每个样本点发生的可能性相同（等可能性）.计算公式：几何概型：样本空间中包含无限多个样本点；每个样本点发生的可能性相同（等可能性）.计算公式：.5.计算公式 条件概率：=，（）.乘法公式：设，则.全概率公式：设试验的样本空间为，事件，为的一个划分，且，对任一事件，有=.贝叶斯公式：设试验的样本空间为，为的一个划分，且，则对任一事件，有=.6.事件的独立性两个事件的独立 定义：设，为事件，若. 性质：定理1（，独立的充要条件） 设，为两个事件，且，则，独立的充要条件是=.定理2 若事件与独立，则与；与；与也分别独立. 定理3 设，为事件，且，则，独立的

5、充要条件是=.三个事件的独立： 设，为三个事件，若下面四个等式同时成立：；，则称事件，相互独立，简称，独立.注：三个事件，独立，一定有，两两独立；反之不一定成立.7独立试验序列 定义：若有一系列试验，满足下列三条：若试验只有两种可能结果：事件发生或事件不发生；在相同的条件下，将试验重复进行次；各次试验的结果相互独立：每次试验中事件发生与否不影响其它次试验中事件的发生与否，称这次独立重复试验为重伯努利试验.性质：设在每次试验中，记“在重伯努利试验中事件恰好发生次”的概率为，则=， 习题 11 组1. 解 ；.2. 解 ； ； .3. 解 ； ； ； .4. 解 ； ； ； ； .5. 解 ； .

6、习题12 组1 解 ；.2. 解 因AB互不相容，故，从而，因此.3解 因，故.4. 解 因为，故，从而. 组1解 因，从而.2证明 因为，故，即，整理得.习题13 组1解 设，则； 设，则； 设，则； 设，则.2解 设，则.3解 设，则.4解 设第二个人取到黄球，；，故 .5. 解 设：杯中球最多个数为，.6解 设，则；设，则.7解 设、分别表示从内任取两数，故，；记=两数之和小于，则有，于是=，根据公式可得=.8解 以时钟为时间单位，用、分别表示甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则，=； 记=两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则 ，故 =. 组1解 设，则.2解 设，则；设，则.3解 设

7、，则.4解 设、分别表示从内任取两数，故，；记=两数之差的绝对值小于，则有，于是有=，根据公式可得=.5解 由题意知，根据公式可得=.习题14 组1解 设碰到甲班同学，碰到一名女生，则=.2解 设机器使用寿命超过30年，机器使用寿命超过40年，则.因此，=.3解 设第次打破，.则.4解 设钥匙落在宿舍，钥匙落在教室，钥匙落在路上，找到钥匙，则=.5解 设车间生产的螺钉，车间生产的螺钉，车间生产的螺钉，抽取的此件螺钉为次品，则=，同理得，.6解 设发出“*”信号，发出“-”信号，收到“*”信号，收到“-”信号，则 =； . 组1解 设合格品，不合格品，一等品，则.2. 解 设此箱玻璃杯中有0件次

8、品，此箱玻璃杯中有1件次品，此箱玻璃杯中有2件次品，顾客买下该箱玻璃杯，则 =； .3解 设从第一箱中取出的3个产品中恰好有件不合格品，从第二箱中取出的产品是不合格品，则 =； .习题15 组1解 设，则所求为.2解 设,，则所求为.3解 设一周五个工作日里发生3次故障，一天内发生故障，则，因此.4解 设三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了，耐用时间在1000小时以上的灯泡，则，因此.5解 设一部电梯正在运行，则 设在此时刻至少有1台电梯在运行，则=； 设在此时刻恰好有一半电梯在运行，则； 设在此时刻所有电梯都在运行，则.6解 ； ； .7解 设，则由题意知，即，解得. 组1 解 ，

9、又有=，故有，；，.2解 .3解 ，故与、与、与也分别独立. 又因，故，从而.又因，故,解得.4解 设仪器需进一步调试，仪器能直接出厂，仪器能出厂，则仪器进一步调试后可出厂，由题知； 设：所生产的台仪器中能出厂的台数，则，故； ； .第二章 随机变量及其分布一、基本要求精述理解随机变量及其分布函数的概念，掌握其性质。理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质。理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质。会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率。会求简单的随机变量函数的概率分布。二、内容提要1随机变量及其分布 随机变量定义：设试验的样本空间为，对于每一个样

10、本点，都有唯一确定的实数与之对应，记作，则称是一个随机变量（简记为）.分布函数定义：设是一个随机变量，称函数 为随机变量的分布函数.分布函数的性质：，且，；是单调不减的，即当时，；是右连续的，即 ；2离散型随机变量 离散型随机变量及其分布律如果随机变量的全部可能取值，只有有限个或可列无限多个，则称为离散型随机变量.设离散型随机变量的所有可能取值为，取各个可能值的概率为 I或写成表格形式II则称I或II为离散型随机变量的概率分布律，简称为的分布律.常见的离散型分布两点分布（分布）：若随机变量只可能取0和1，它的分布律为0 1 或=， ，其中，则称服从参数为的两点分布（或()分布）.二项分布：在重

11、伯努利试验或次独立重复试验中，设事件发生的概率为，用表示次独立重复试验中事件发生的次数，则的可能取值为0，1，2，由二项概率公式有=， .则称随机变量服从参数为的二项分布.记 .泊松分布：设随机变量的分布律为， ，其中为常数，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为.3连续型随机变量 连续型随机变量及其密度函数定义：设随机变量的分布函数为，若存在非负可积函数，使对于一切实数，有， 则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 密度函数的性质性质1 ；性质2 ;性质3 对于任意的实数，有=性质4 在的连续点，有.性质5 取任一指定实数值的概率均为零，即常见的连续型分布均匀分布

12、 设随机变量的密度函数为其中，为参数，且，则称服从区间上的均匀分布，记为.指数分布 设随机变量的密度函数为其中为常数，则称随机变量服从参数为的指数分布，记为.正态分布 设随机变量的密度函数为 ，其中，为常数，则称随机变量服从参数为，的正态分布，记为，又称为正态变量. 当，时，称正态分布为标准正态分布，其密度函数和分布函数分别记为 ，和 .注： ； ，. 设，则.4随机变量函数的分布 离散型一般地，设离散型随机变量的分布律为 则的分布律为 其中，具有各不相同的值.若的值中有相同的，则应把那些相同的值分别合并，同时把对应的概率相加. 连续型分布函数法 首先求出的分布函数；由分布函数的定义，对于任意

13、实数， ，其中.其次求分布函数的导数，便可得到的密度函数，即. 公式法设随机变量具有密度函数，又设处处可导且恒有（或恒有），则是连续型随机变量，其密度函数为 其中， 是的反函数.习题 21 组1. 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。是随机变量的分布律，因为它们满足分布律的两个条件；不是随机变量的分布律，因为是负值；不是随机变量的分布律，因为。2 解 因，由此解得；。3. 解 设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而即服从参数的几何分布，故的分布律为1 2 3 由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1

14、，2，3，4，故的分布律为1234可能取到的值为1，2，3，4，所求的分布律为12344解 设，表示事件在三次独立试验中出现的次数，则。依题意有，解得。5 解 设表示在连续不断地掷一硬币次的试验中硬币出现正面的次数，则。而，即，解得，故有。6解 由于，因此。因为，故有 解得；此时，。7 解 设在月初进货时至少要进件物品才能以的概率充分满足顾客的需要，因为故 ，查泊松分布表可求得 。8解 设为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为服从的泊松分布，即，所求概率为 组1解 由于，因此。因为，即，解得，即。故，=。2解 设表示一包螺丝钉内螺丝钉次

15、品的个数，则。而。3解 依题可知服从为参数的几何分布，故，；由于表示脱靶的次数，所以表示前次都脱靶直到第次才命中，所以，。习题 22 组1解 对分布函数分段进行讨论： ； ； =。2解 对于任意实数，有，则，故的分布律为 2 40.2 0.3 0.5 组1解 因为与满足，又由满足=，即。2解 由，解得；。3解 。习题 23 组1解 由，解得，其中舍去，即取。分布函数当时，当时，当时，综上有。2解 由，解得；因，又，故，解得。3解 因要满足，即， 计算后得 ，解得另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。 的密度函数。4解 由，故其密度函数为而方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率

16、为。5解 当时，故；。6解 所求得概率为7解 由题意所求概率为；记为5天中某人迟到的次数，则服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为。8解 由，其密度函数为设表示三次独立观测中事件出现的次数，而。故 ，则所求事件。9解 设随机变量表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意服从的指数分布，因此，顾客未等到服务就离开的概率为；设表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则服从的二项分布，所求概率为 组1解 因，所以解得；分布函数当时，当时，综上有2解 因为，从而，由此可知。3解 依题有： ，由，故。4解 因为二次方程无实根，故有。依题有：，即。因为，故，即，故。5解 依题有，查表知，故，从而。所求

17、问题。6解 设：该电子元件损坏，：电压不超过200，：电压在之间，：电压超过，因为，则有，。由全概率公式知，=；由Bayes公式知，=。习题 24 组1解 由的分布律可列出下表-2-0.502401.524631.51-1-340.250416由此表可定出的分布律为0246的分布律为-3-113的分布律为0416其中。2解 因为，故， 。从而 ；。即的分布律为Y013解 解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数，.当时，； 当时，.综上，故的密度函数为解法二：公式法因单调处处可导，其反函数为 ，且，则由公式(2.6)有，解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数，.当时，； 当时

18、，.综上，故的密度函数为解法二：公式法因单调处处可导，其反函数为 ，且，则由公式(2.6)有，解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数，.当时，； 当时，.综上，故的密度函数为解法二：公式法由于只在中取值，故单调处处可导，其反函数为，且，则由公式(2.6)有，4解 因为服从参数的指数分布，故解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数，.当时，； 当时，综上，故的密度函数为解法二：公式法因单调处处可导，其反函数为 ，且，则由公式(2.6)有，5解 因，则 而 ；。因此所求分布律为-1010 组1解 由题设，则的密度函数为 .又由分布函数的定义，对于任意实数，.当时，； 当时，综上，

19、故的密度函数为 ，整理可得2解 由题有，圆面积，因为服从上的均匀分布，故因（）单调处处可导，其反函数为 ，且，则由公式(2.6)有，3解 分布函数当时，当时，当时，综上有。从而4解 由题设知，。分布函数当时，当时，当时，综上有；。第三章 多维随机变量及其分布一、基本要求理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质，会利用联合分布函数计算有关事件的概率。理解二维离散型随机变量的边缘分布律，二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质。掌握二维连续随机变量的边缘分布与联合分布的关系。理解随机变量的独立性的概念，掌握二维随机变量独立的条件。会求随机变量的和、最大值及最小值的分布

20、。二、内容提要1二维随机变量的联合分布函数联合分布函数 设是二维随机变量，对于任意的实数，称二元函数 为二维随机变量的联合分布函数. 联合分布函数的性质 ；且；对任一固定的，；对任一固定的，.关于和是单调不减的，即固定，当时，固定，当时，. 关于和均为右连续函数.设，则.2二维离散型随机变量及其联合分布律 二维离散型随机变量：如果二维随机变量所有可能取值只有有限对或可列无限多对，则称为二维离散型随机变量.联合分布律：设二维离散型随机变量的所有可能取值为，且取各可能值得概率为， I或写成表格形式： II 则称I或II为二维离散型随机变量的联合概率分布律，简称为的联合分布律. 联合分布律的性质，；

21、 .边缘分布边缘分布函数：设为二维随机变量的联合分布函数为 ，关于的边缘分布函数：，关于的边缘分布函数：. 边缘分布律：设二维离散型随机变量的联合分布律为，关于的边缘分布律为 ，关于的边缘分布律为 .3二维连续型随机变量及其联合密度函数定义：设为二维随机变量的联合分布函数，若存在一个非负可积的二元函数，使得对于任意的实数，有 ，则称为二维连续型随机变量，称为二维随机变量的联合概率密度函数，简称联合密度函数. 联合概率的性质 ；设是平面上的区域，则落入区域内的概率为；在的连续点，有.边缘密度函数：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，关于的边缘密度函数为，关于的边缘密度函数为 .4随机变量的独立

22、性定义：设二维随机变量的联合分布函数为，关于和的边缘分布函数分别为，若对于任意的实数，有，即，则称随机变量与相互独立，简称与独立. 类似地可定义个随机变量独立的定义。 离散型随机变量相互独立的充要条件设二维离散型随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律分别为 ， ， ，则与相互独立的充要条件是，即，对一切，都成立. 连续型随机变量相互独立的充要条件设二维连续型随机变量的联合密度函数及关于和关于的边缘密度函数分别为，则连续型随机变量与相互独立的充要条件是在，的一切公共连续点上都成立.5两个常见的分布二维均匀分布若二维随机变量的联合密度函数为其中是平面上的某个区域，则称服从区域上的均匀分布.

23、二维正态分布若的联合密度函数为 ，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布，记作. 关于二维正态分布有如下结论 设，则，反之不一定成立。设，且与相互独立，则 ，则与相互独立的充要条件。6条件分布 离散型随机变量的条件分布律设二维随机变量的联合分布律为，关于和关于的边缘分布律分别为 和 ，对于固定的，若，则称 I为在的条件下随机变量的条件分布律，或写成表格形式 同样，对于固定的，若，则称 II为在的条件下随机变量的条件分布律，或写成表格形式 连续型随机变量的条件概率密度设二维随机变量的联合密度函数为，关于和关于的边缘密度函数分别为和.若对于固定的，则称 为在的条件下的条件概率密度。类似地，对于固定

24、的，则称 为在的条件下的条件概率密度。7两个随机变量函数的分布 离散型情形 设是二维离散型随机变量，其分布律为，则是一维随机变量，其分布律为.注：若对不同的，有相同的值时，只须把这些相同值对应的概率相加即可。 连续型情形 设为二维连续型随机变量，其联合密度函数为，当是二元连续可微函数时，是一维连续型随机变量，则的分布函数为，其中.的密度函数为.的分布当与相互独立时，有卷积公式， 记为. 及的分布设随机变量与相互独立，其分布函数分别为和. 当与相互独立时，=.=. ，相互独立时，. 当，相互独立同分布时，有，.习题 32 组1. 解 由题意可得的联合分布律为 01-100002002. 解 在有

25、放回抽样时，的所有可能取值为，。则，；则的联合分布律为 0101 在不放回抽样时，的所有可能取值为，。则，则的联合分布律为 01013解 的所有可能取值为，。由题意有，则的联合分布律为 0123000100200 组1解 的所有可能取值为，。由题意有， ，则的联合分布律为012000102302解 的所有可能取值为， ，故，则的联合分布律为 0123000100200习题 33 组1. 解 由可得,故； . 2 解 由题设知的面积为，故的联合密度函数为 3解 由可得，故； ；。 组1解 。2. 解.3解 由联合分布函数的定义，当或时，；当时，；当时，；当时，；当时，,综上可知，的联合分布函数。

26、习题 34 组1. 解 ；，；，。2解 由题意知故的边缘分布律为 故的边缘分布律为 3 解 的所有可能取值为，。由题意有，则的联合分布律为012012关于及的边缘分布分布律分别为 0 1 2P 0 1 2P 。4解 先求关于的边缘密度函数再求关于的边缘密度函数5. 解 由可得，故；关于的边缘密度函数 。 组1解 的所有可能取值为，。由题意有，则的联合分布律为012010关于及的边缘分布分布律分别为 0 1 P 0 1 2P 2解 由题设知区域.的面积为，故的联合密度函数为关于的边缘密度因为，故。习题 35 组1 解 由题意知0.10.200.30.30.050.10.450.1500.10.2

27、50.550.250.2故的边缘分布律为 0.55 0.25 0.2故的边缘分布律为 0.3 0.45 0.25取的可能取值，由于，所以与不独立.2解 因为，相互独立，故的联合分布律3. 解 因，故；，故。因与是相互独立的随机变量，故的联合密度函数为。4解 由可得，故； 。关于的边缘密度函数关于的边缘密度函数因为，在，的一切公共连续点上都成立，故与相互独立.5. 解 由可得，故；关于的边缘密度函数关于的边缘密度函数当时，故与不独立. 组1解 依题有，故的分布律为0 1 2P0.64 0.32 0.04，故的分布律为0 1 2P0.25 0.50 0.25因为，相互独立，故的联合分布律 020.

28、160.320.160.080.160.080.010.020.012解 因为，对于任意的实数，有，故随机变量与相互独立；因为，故有从而。3解 由题设知区域.的面积为，故的联合密度函数为关于的边缘密度关于的边缘密度函数因为，从而与不独立；，。习题 36 组1解 的联合分布律为 12310230 ； ，从而1 2 3P 2解 由，得出，再由得； 与不独立.3解 由在单位圆上服从均匀分布，有当时，则又当时，则4 解 由，解得； ；当时，；当时，； 1，. 组1解 由题设知的概率密度为当时，数在区间上随机地取值，则的条件概率密度为从而的联合密度为故2解 ； 的联合分布律为 0 1 2012 3解 先

29、求出的边缘密度故；习题 37 组1. 解 因为，相互独立，故的联合分布律243故有得到的分布律为3 5 7 2. 解 由的联合分布律可有234345456010210123246369从而得到2345012从联合分布律可求得的边缘分布律为123由此得的分布律为24612363解 因，故；，故。因与是相互独立的随机变量，故的联合密度函数为对任意的实数，.当时，；当时，；综上,可得的分布函数为 则的密度函数为4解 因与是相互独立的随机变量，故的联合密度函数为对任意的实数，当时，；当时，综上,可得的分布函数为则的密度函数为5解 .6解 由题知，的联合密度函数为故.7解 由题知， ，.因为与是相互独立

30、的随机变量， 从而.8 解 设选取的4件电子元件的寿命分别为，其中，.对应的分布函数为.令，则，从而.9解 随机变量可能取到的值为1，2，3中的一个，且综合有123 随机变量可能取到的值为1，2，3中的一个，且同理可求得综合有123概率 组1解 由可得，故； 关于的边缘密度函数关于的边缘密度函数 因为，在，的一切公共连续点上都成立，故与相互独立.而，。故2解 因为与相互独立，故。从而 ，解得。又因，故。3解 ； 对任意的实数，当时，此时；当时，此时；当时，此时；当时，此时。综合有则的密度函数为 4解 由题意，则。第四章 随机变量的数字特征一、基本要求理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质及计

31、算，会计算随机变量函数的期望。了解协方差，相关系数的概念、性质与计算公式。熟练掌握（01）分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望与方差。二、内容提要1随机变量的数学期望及性质 离散型情形设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望（或均值），记作，即. 连续型情形设连续型随机变量的密度函数为，若广义积分绝对收敛，则称广义积分的积分值为随机变量的数学期望，记为，即. 数学期望的性质设为随机变量，为常数，则数学期望有如下性质：；此性质可推广为.若与相互独立，则；此性质可推广.若相互独立，则.2随机变量函数的数学期望 离散型情形设离散型随机变量的分

32、布律为 ，则的数学期望为，其中级数绝对收敛.设二维离散型随机变量的联合分布律为， ，则的数学期望为，其中级数绝对收敛. 连续型情形设连续型随机变量的密度函数为，则的数学期望为，其中广义积分绝对收敛.设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则的数学期望为，其中广义积分绝对收敛.特别地有，.3.随机变量的方差及性质定义：设为随机变量，若存在，则称为随机变量的方差，记作，即.称为的标准差. 方差的性质设为随机变量，为常数，则方差有如下性质：；，；若与相互独立，则.将性质4推广：设相互独立，为一组不全为零的数，则.4常见随机变量的期望和方差两点分布：设 .，. 二项分布： 泊松分布：设 ，.均匀分布：设

33、 ，. 指数分布：设 ， ， . 正态分布：设 ， ， .5随机变量与的协方差、相关系数及不相关协方差定义：设为二维随机变量，若存在，则称它为随机变量与的协方差，记作，即.易得. 协方差的性质；.相关系数的定义设随机变量与的协方差存在，且，则称为随机变量与的相关系数. 相关系数的性质；的充要条件是存在常数，使得. 不相关的定义若随机变量与的相关系数则称随机变量与不相关.等价定义：若随机变量与的协方差则称随机变量与不相关.特别指出：当与相互独立时，一定有与不相关；反之不一定成立. 6矩的概念设和为随机变量，为正整数，则的阶原点距（简称阶距）为 ；的阶中心矩为 ；和的阶混合中心矩为 .习题 41

34、组1解 ； ； .2解 由题知0 1 0 1 则 ； ； .3解 因，故.从而.4解 ； ； 因为，从而.5解 ； ； ；.6解 由题设知，的面积为，故的联合密度函数为 ； 因为，故； .7解 ； .8解 由题设知，其分布律为 3 分布函数. 组1解 因，又由 概率的性质知，故有。从而，故。2解 引入随机变量，令。则。依题知， ，。故（次）.3解 设两个序号恰好一致的数对个数为，令。依题知， 。故。4解 。5解 依题知， 若，则，与矛盾；若，则，也与矛盾；若，则，又由独立性，有，解得；。习题 42 组1解 因，故，；，故，；，故，.从而，.2解 设，则，解得，.3解 因，则，.从而.4解 由题

35、知，.因为与相互独立，故，.5解 由题知，故，.又因为与相互独立，从而.6解 由题设知，的面积为，故的联合密度函数为 关于的边缘密度函数，.7解 因为，故，从而.8解 因，则 而 ；。因此所求分布律为-1010从而，故.9解 组1解 因为，则，故，从而.2解 因，故而，故-11，故-11从而的所有可能取值为，。由题意有，则的联合分布律为11由的联合分布律可有0024004从而得到0204则，.3解 设表示第个部件需要调整，则，.的可能取值为0，1，2，3，且事件、相互独立，因此，则，.4解 ，从而，则，故.习题 43 组1解 由的联合分布律有0 1 0 1 则， ，.； ； ； .2解 ； .

36、3解 因，同理，从而.故.4解 ，；，故.5解 由题意知：，因此有，从而，故与是不相关的；关于的边缘密度函数关于的边缘密度函数当时，故与不独立.6解 由的联合分布律有 0 1 0 1 经计算有，.因此有，从而，故与是不相关的；取的可能取值，由于，所以与不独立.7解 . 组1. 解 因，故.2解 因为服从二维正态分布，且与不相关，故与独立，从而.3解 由题知 ，同理 ，.，故。同理，故.而，故.对任意点，故与不独立.4解 的所有可能取值为，。由题意有，则的联合分布律为0101由的联合分布律有0 1 0 1 经计算有，因此.5解 ，而，故，.的所有可能取值为，。由题意有，则的联合分布律为0101由

37、的联合分布律有0 1 0 1 经计算有，因此.由的联合分布律可有0112故012第五章 大数定律与中心极限定理一、基本要求了解切比雪夫不等式。了解切比雪夫大数定理及贝努里大数定律。理解独立同分布的中心极限定理、德莫佛拉普拉斯中心极限定理。会利用这一定理解决有关的实际问题。二、内容提要1切比雪夫不等式：设随机变量具有数学期望和方差，则对于任意的正数，有不等式成立。等价形式：2大数定律：伯努利大数定律：设是次独立重复试验中事件发生的次数，并且事件在每次试验中发生的概率为 ，则对于任意正数，有. 切比雪夫大数定律的特殊情况：设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差， ，令，则对于任意正数，有.

38、辛钦大数定律：设随机变量相互独立，服从相同分布，且具有数学期望 ，则对于任意正数，有.3中心极限定理列维林德伯格（独立同分布）中心极限定理：设随机变量相互独立，服从相同分布，且具有数学期望和方差：， .将随机变量和标准化，并记为，再设的分布函数为，则对于任意的实数，有.棣莫夫拉普拉斯中心极限定理：设随机变量服从参数为 的二项分布，即，则对于对于任意的实数，有.习题5-1 组1解 .2解 . 组1解 由题知，故.2解 .3解 因为，,故.4解 设表示“在1000次独立重复试验中事件发生的次数”，则，而且，。依题意.习题 52 组1解 由题意，设：第个电子元件的寿命，.相互独立均服从，.用表示16只元件的寿命总和，则，.由独立同分布中心极限定理知.所求事件，有,即.2解 引入随机变量，令.则相互独立均服从，.用表示100根钢材中长度小于3米的根数，则，且，.由定理2知，故.即.3解 引入随机变量，令.则相互独立均服从，.用表示3000个参见保险的人中在1年内死亡的人数，则，且，.由独立同分布中心极限定理知，故所求事件，有.即. 组1解 由题意，设：第箱的重量，相互独立同分布，且，.又设汽车可装箱符合要求，由题意有。而，.由独立同分布中心极限定理知，故