第四节-直线的投影

1、2021/3/231第四节 直线的投影第二章 投影的基本知识直线的投影XOZYHYWaaabbb直线的投影可由直线上任意两点的投影决定1. 直线的倾角:对水平投影面的夹角对正投影面的夹角对侧投影面的夹角一、一般位置直线的投影2021/3/234 一般位置直线一般位置直线对面的倾角对面的倾角ABbaa b baNEW2021/3/235 一般位置直一般位置直线对面的线对面的倾角倾角aba b abBANEW2021/3/236例例:求求一般位置直线对面的倾角一般位置直线对面的倾角yy实长实长2021/3/237 一般位置直一般位置直线对面的线对面的倾角倾角abbaAa b B2021/3/238

2、例例:求求一般位置直线对面的倾角一般位置直线对面的倾角x实长实长xb a 2021/3/239一般位置直线的投影特性 直线的各投影均对投影轴倾斜; 直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。 当直线AB倾斜于投影面时,它在该投影面上的投影ab长度小于实长,缩短多少，根据对投影面夹角大小确定。 2021/3/2310A0zyxXOZYHYWaaa bbb实长实长实长Za- Zb直角三角形法：两直角边、斜边、锐角二、直线的实长与真实倾角2021/3/2311例题3例题例题2-62-6 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的

3、倾角。 XOaab25b2021/3/2312例题4例题例题2-72-7 已知直线AB的水平投影ab,和正面投影a,并知AB对H面的倾角为30,求AB的正面投影及实长XOaabbb1301 投影面的平行线2 投影面的垂直线三.特殊位置位置的直线:2021/3/2314（1）水平线）水平线eff ef e 反映实长反映实长abc1 投影面的平行线2021/3/2315EF实长实长f efe f e水平线投影图水平线投影图2021/3/2316反映实长反映实长AA（2 ）正平线）正平线2021/3/2317反映实长反映实长正平线投影图正平线投影图2021/3/2318（3）侧平线）侧平线反映实长反

4、映实长DCcdc d cd2021/3/2319实长实长dcdc d c侧平线投影图侧平线投影图水平线的投影特征水平线的投影特征: :平行线的投影特征：平行线的投影特征：（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长;（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角;（3）其余的两个投影平行于投影轴,但不反映实长。25XOZYHYWaaa30b bb例题例题:过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25,与H面的倾角=30。2 投影面的垂直线（1）铅垂线）铅垂线 水平投影积聚为水平投影积聚为 一点一点;其它两个投影平其它两个投影平行于轴行于轴,并反映直并反映直线实长线实长;直线直线与

5、与H面的夹角面的夹角90实长实长2021/3/2323铅垂线铅垂线2021/3/2324铅垂线的投影铅垂线的投影2021/3/2325（2）正垂线）正垂线)(dcdcc d CD2021/3/2326正垂线的投影正垂线的投影)(dcc cdd 2021/3/2327（3）侧垂线）侧垂线ef)( fe ef 2021/3/2328侧垂线的投影侧垂线的投影ef ef)( fe （1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点；（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。垂直线的投影特征垂直线的投影特征: :XOZYHYWbaaab（b）例题 根据投影图判断下列直线的空间位置bXOZYHYW

6、aaabbXOZYHYWaaabbb（b）XOZYHYWaaabb既然垂直线也平行于投影面,能否称它为平行线呢?讨论XOZYHYWbaaab（b）bXOZYHYWaaabbccdd点在直线上,点的投影必在直线的同名投影上定比性:AC:CB=a c :c b =ac:cb=ac :c b 四、直线上的点bXOaabdDdee2021/3/23331、 C点在直线点在直线上上ABa bab baCcc c2021/3/2334点在直线上上。点在直线上上。2021/3/2335abcc ca b ba 点的投影在直线的同面投影上点的投影在直线的同面投影上, ,并符合点并符合点的投影规律。的投影规律。

7、 C点在直线上点在直线上2021/3/2336ABa bab ba 2、点不在、点不在 直线上。直线上。dd dDNEW例题例题: : 在直线AB上找一点K,使AK:KB=3:2。 bXOaab32kk例题例题: : 判定点K是否在直线AB上。 kOZYHYWabkkXaabb2021/3/2339例题例题: : 判定点K是否在直线AB上。 例题例题: : 已知点C在直线AB上,且AC=20, 求C点的投影。 bXOaab20cc2021/3/2341四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置同面直线异面直线平行相交交叉2021/3/23421、平行两直线投影特性 q两直线平行,他们同名投影一定

8、平行q两直线的同面投影相互平行,且其长度之比等于投影长度之比。q如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行?q如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。q如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三投影或比例关系判断。 2021/3/2343投影特性投影特性: 空间两直线平空间两直线平行行,则其各则其各同名投影同名投影必相互平行必相互平行,反之亦反之亦然。然。aVHc bcdABCDb d a x2021/3/2344abcdc a b d 例例:判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置对于一般位置直线直线,只要有两个同只要有两个同名投影互相

9、平行名投影互相平行,空空间两直线就平行。间两直线就平行。AB/CDx2021/3/2345b d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线对于特殊位置直线,只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行平行,空间直线不一定平空间直线不一定平行。行。求出侧面投影后可知求出侧面投影后可知:AB与与CD不平行。不平行。例例:判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？2021/3/2346例例:已知直线已知直线ABAB平行直线平行直线CD,CD,试完成直线试完成直线ABAB和和CDCD的三面投影。的三面投影。 2021/3/2347题解题解:

10、a ac cb bbbd daaccddddaaccbbNEW2021/3/23482、相交两直线投影特性 q相交两直线同面投影都相交,且交点符合点的投影规律 q如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相交?q投影上交点连线垂直于投影轴 。q相交直线可能成为某一投影面的重影线 2021/3/2349HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交判别方法判别方法: 若空间两直线相交若空间两直线相交,则其同名投影必相交则其同名投影必相交,且交点的投影必符合空间一点的投影规律且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点xxoo20

11、21/3/2350cabb a c d k kd例例:过过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影ox思考:如果给出CD的长度,解题过程有何变化?2021/3/23513、交叉两直线投影特性 q既不符合平行两直线的投影特性,又不符合相交两直线的投影特性 q交叉直线的同面投影若相交,其交点并非一个点的投影，而是两条直线上的两个点的重影。其重影点的可见性应根据两个点的相对位置来判别。 2021/3/2352d b a abcdc1 (2 )3(4 )两直线交叉投影特性投影特性: 同名投影可能相交同名投影可能相交,但但 “交点交点”不符合空间一个点不符合空间一个点的投影

12、规律的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影,用其可帮助判断用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线的空间位置。、是面的重影是面的重影点点,、是是H面的重影点。面的重影点。123 4 2021/3/2353两交叉直线两交叉直线正面投影重影点正面投影重影点水平投影重影点水平投影重影点2021/3/2354dcdc d c交叉两直线的投影交叉两直线的投影 两两侧平侧平线的线的投影投影反映反映和和的的线段线段实长实长ghg h hg2021/3/23554 4、两直线垂直相交、两直线垂直相交直角投影定理直角投影定理 如果两直线在空间上垂直(垂直相交或垂直交叉

13、),当其中一条直线平行于某一投影面时,则两直线在该投影面上的投影垂直。 利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。 2021/3/2356 相交成直角的两直线相交成直角的两直线,只要其中有一条只要其中有一条直线平行于某投影面直线平行于某投影面,则它们在该投影面上则它们在该投影面上的投影仍反映直角。的投影仍反映直角。abc水平线水平线2021/3/2357abba例例:过点作直线垂直于过点作直线垂直于,为任为任意长度。意长度。XO2021/3/2358abba题意分析题意分析:XO水平线（实长）水平线（实长）有无穷多解有无穷多解,可任意做一解。可任意做一解。2021/3/2359例例 过点过点A作作EF线段的垂线线段的垂线ABbbxoefaefa2021/3/2360 例例 以最短线以最短线KM连接连接AB,确定确定M点点,并求出并求出KM实长。实长。ababkkababkkababkkmmM0LKMmmXXX返回2021/3/2361 例例 过点过点E作线段作线段AB、CD的公垂线的公垂线EF。fexoabcdeabcdf2021/3/2362 例例: :判定下列图中两直线的相对位置