2015年(全国卷II)高考文科数学

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(2 全国H卷)数学(文)试题一、选择题(本大题共 12 题,共计 60 分)1已知集合 A= x 1 x 2,B x0 x 3,则 A B ()A.( -1，3)B.(-1, 0 )C.(0, 2)D.(2, 3)2.若 a 实数，且3 i,则 a()1 iA.-4B. -3C. 3D. 43根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位：万吨)A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B. 2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C. 2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D. 2006 年以来我国二

2、氧化碳年排放量与年份正相关。I-B-4.已知向量 a (0, 1),b( 1,2),则(2a b)?a ()A. -1B. 0C. 1D. 25设Sn是等差数列 an的前 n 项和，若a1a33,则 S5()6.个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去 部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1111小 1A.-B.-C.876()A 5B.21CA.-33ABC 外接圆的圆心到原点的距离为注D.337已知三点A(1,0), B(0,.3)，C(2,.3),则8右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，

3、若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a 为（）开始O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为（A. 0B. 2C. 4D.149.已知等比数列an满足n满足 a11,a3a54(a41),则 a2()A. 2B. 1C.21D.-810.已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB90 ,C 为该球面上动点，若三棱锥输入 a,bA. 36 nB. 64nC. 144冗D.256n11.如图，长方形的边 AB=2, BC=1,0 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD 与 DA运动，记BOP x,将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为函 数 f （x）,则 f

4、 （x）的图像大致为1D.(,3)、填空题：本大题共4 个小题，每小题 5 分13.已知函数f (x) ax32x 的图像过点（-1,4）15已知双曲线过点（4, ,3），且渐近线方程为 y程为16. 已知曲线y x Inx在点（1,1） 处的切线与曲线0,14.若 x,y 满足约束条件x y2x y 10,则 z 2xx 2y0,y的最大值为12.设函数f (x)ln(1X）,则使得 f(x) f(2x1 x1）成立的 x 的范围A.(3,1)1B.(,?(1,C.12x，则该双XBA2y ax (a 2)x 1 相切，则 a _。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.A

5、BC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC, BD 2DC.(I)求sin B；(U)若BAC 60,求 B.sin C率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表18. 某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B两地个用户,根据用户对其产品的满意度的评分，得到 A 地区用户满意度评分的频B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图 比较两地区满意度评分的平均值及分散程度，(不要求计算出具体值，给出结 论即可)频率组距0.0

6、400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005(II)根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级:满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意1 满意、非常满意频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频率分布直方图估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.19. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中 AB=16,BC=10,AA,8,点 E,F 分别在4.过点 E,F 的平面与此长方体的面相交，交线围

7、成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由)；(II)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.(I)求 C 的方程；(II) 直线 I 不经过原点 0,且不平行于坐标轴，1 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB中点为 M,证明：直线 0M 的斜率与直线 I 的斜率乘积为定值.上，AE D1F/DZC2 220.已知椭圆行古1a b 0的离心率为，点 2,2 在 C 上.D1A121. 已知 f x lnx a 1 x .(I) 讨论 f x 的单调性；(II)当 f X 有最大值,且最大值大于 2a 2 时,求 a 的取值范围.22. 选修 4-1：几何证明选讲如图 0

8、是等腰三角形 ABC 内一点,OO 与厶 ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点，与 底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 EF 两点.(I)证明 EF / BC.(II )若 AG 等于。O 的半径,且AE MN 2-、3,求四边形 EDCF 的面积.23选修 4-4:坐标系与参数方程x t cos在直角坐标系xOy中，曲线 G：，( t 为参数，且 t 0 ),其中y tsin ,0,在以 0 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:2sin ,C3:2 3cos .(I)求C2与C3交点的直角坐标;24.选修 4-5:不等式证明选讲设a,b,c,d均为正数，且

9、a b c d.证明：(I) 若 ab cd，则、a . b c；(II)石7b仗品是 a b c d 的充要条件.(II)若Ci与C2相交于点 A,Ci与C3相交于点 B,求AB最大值2015年高考文科数学试卷全国卷2（解析版）1. 【答案】 A【解析】因为A x| 1 x 2,B x|0 x 3,所以AUB x| 1 x 3 .故选A.2【答案】 D【解析】由题意可得2 ai 1 i 3 i 2 4i a 4,故选D.3【答案】 D解析】由柱形图可知 2006 年以来 , 我国二氧化碳排放量基本成递减趋势 , 所以二氧化2碳排放量与年份负相关，故选 D.4 【答案】C【解析】22a b a

10、 2a a b 4 51.故选 C5.【答案】A【解析】5 a1a5a31,所有65a37.故选 A.6 .【答案】D8.【答案】521.故选 B.【解析】试题分析由题意可得a2112a b 123,所以试题解析：由a1a3a53a3321试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的丄，剩余部分6体积是正方体体积的5,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为-,故选 D.657 .【答案】B【解析】BC 垂直平分线上即直线x 1上,设圆心 D1,b12试题分析：ABC外接圆圆心在直线由 DA=DB 得b1 b 32b勺，所以圆心到原点的距离3试题分析：由题意可知输出的a 是

11、 18,14 的最大公约数 2,故选 B.0,【解析】试题分析: 由题意可得a424 a41a42,所以q3a4-8 q 2,aia2a1q10 .【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为 R,则厶 AOB 面积为12一R,三棱锥2O ABC体积最大时,C 到平1 .面 AOB 距离最大且为 R,此时V R6366,所以球 O 的表面积2S 4nR144n.故选 C.11 .【答案】B【解析】试题分析: 由题意可得.5n,由此可排除4C,D;当0n时点4P在边BC上，PBtan x,PAAB2PB24 tan2x,所以tanxn04时图像不是线段,可排除 A,故选 B.12 【答案】【解析】试

12、题分析：由1f (x) ln(1 |x|)2可知1 x是偶函数，且在是增函数，x f 2x 1f 2x 12x 1x22x故选 A.试题分析：由题意可知输出的a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B.0,1x22x，可设双曲线的方程为7y m，把2m得m 1.所以双曲线的方程为y21.416 .【答案】8【解析】试题分析：由y11可得曲线yxx In x在点1 11,1处的切线斜率为 2,故切线方程为y 2x 1，与2小小y axa 2 x1联立得ax2ax20,显然a 0,所以由2小a 8a0a 8. .17 【答案】(I)1丄丄;(n)30o. .2【解析】13 .【答案】-2【解析

13、】试题分析：由3ax2x可得14 .【答案】8【解析】试题分析：不等式组2xy2y形区域，z2x15 【答案】【解析】00表示的可行域是以1,1，2,3，3,2为顶点的三角的最大值必在顶点处取得，经验算，x 3, y 2时zm,ax8.y21试题分析：根据双曲线渐近线方程为24八3代入亍y2试题分析：(I)利用正弦定理转化得：sin Bsin CDCBD1(n)由诱导公式可得223cos B 1sin B.由知2sin B sin C，所以tanBB 303试题解析：（I）由正弦定理得ADBDADDC因为 ADsin B sin BAD sin C sin CAD平分BAC,BD=2DC所 以

14、sin BDC1sin CBD2(n)因为C180BACB ,BAC60o,所以si nC sinBACBcos1 B sin B.由（I) 知222sin B sin C,所以tan B 3, Bo30.318【答案】（i）见试题解析（n）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.【解析】试题分析：（I）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值 ,B 地区用户满意度评分比较集 中，而 A地区用户满意度评分比较分散 （ II ）由直方图得PCA的估计值为0.6,PCB的估计值为0.25.,所以 A 地区的用户的满意度

15、等级为不满意的概率大试题解析：（I）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均sin C sin BAC B值高于 A 地区用户满意度评分的平均值 ,B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散（n） A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得PCA的估计值为0.01 0.02 0.03 10.6,PCB的估计值为0.0050.。2 10 0.25.,所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大9719 【答案】（I）见试

16、题解析（n）9或779【解析】试题分析：（I）分别在AB, CD上取 H,G,使AH DG 10;长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱，可求得其体积比值为9或-79试题解析：解：（I）交线围成的正方形EHGF如图:(n)作EMAB,垂足为M,贝 VAM A1E 4,EB112, 1EM AA 8,因为EHGF是正方形, 所以EH EF BC10,于是MHEH2EM26,AH10,HB6.因为长方体被平面分成两个高为109的直棱柱，所以其体积比值为9（-也正确）972220【答案】（I）詁_y_421（n）见试题解析【解析】试题分析：（I）由 一b2, g 1,求得a2 a ba228,b4

17、,由此可得 C 的方（II ）把直线方程与椭圆方程联立得2k21o4kbX 2b 80.,所以XMX-iX222kb2,yMkxMb2k2kOMyMXM12k,kOM试题解析:解：（I） 由题意有a2b242a22b21,解得a28,b24,所以椭圆 C 的方2程为82I :设直线kxk 0,bA 为，yi,B X2, y2,MXM, yM把kx2X b代入一2822k2124kbx 2b 80.XMx1x22 kb22 2k 1,yMkXMbb,于是直2k 1线 OM 的斜率yMkoMXM1,即koMk2k,所以直线 OM 的斜率与直线 I 的斜率乘积为定值.0,X在0,-单调a递增，在1J

18、单调递减；(n)0,1.a【解析】试题分析:(I)由f X1 a,可分a0,a0两种情况来讨论;X知当a0时f X在0,无最大 值,当a 0时ff1In aa 1.因此f12a 2lna a 10.令gaa则g a在0,是增函数 ,当0a 1时,g a0,当a 1时g21 .【答案】在Xaa(I)a 0,是单调递增；a 0,II )由(I )最大值In a a,因此 a取值范围是0,1试题解析：I)f x01 x的定义域为O,f x - a,若a 0,则fx 05f x在x0,是单调递增；若a0, ,则当x10- a时f x 0, ,当x1Ja时f x0, ,所以f x在0,丄丄单调递增，在1

19、J单调递减. .aa(n)由(I)知当a 0时fx在,无最大值,当a 0时f x在x-取得a最大值，最大值为f1In11a 1In aa 1.因此aaaf 12a 2 In a a 10. .令g aIn aa 1, ,则g a在0,是增函a数, ,g 10, ,于是, ,当0 a 1时, ,g a 0, , 当a 1时g a 0, ,因此a 的取值范围是0,1【解析】 试题分析：（I）要证明EF PBC,可证明AD BC, AD EF； （n）先求出有关线段的长度,然后把四边形 EBCF 的面积转化为 ABC 和 AEF 面积之差来求.试题解析:（I）由于 ABC 是等腰三角形，AD BC,

20、所以 AD 是CAB的平分线,又因为圆 0与 AB,AC 分别相切于 E,F,所以AE AF,故AD EF,所以EF PBC.（n）由（I）知AE AF,AD EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为圆 0 的弦,所以 0 在 AD上，连接 OE,OF,则OE AE,由 AG 等于圆 0 的半径得 A0=20E 所以OAE 3O0,因此，ABC 和AEF 都是等边三角形”因为AE 2、3,所以22【答案】（I）见试题解析；（n）16_3336AO 4,OE2,因为OMOE2, DM1 MN.3,所以 0D=1,于是2AD=5,AB10.31所以四 边形DBCF的面 积为23110、3.312. 351