求极限的若干方法--毕业论文

1、江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文求函数极限的若干方法求函数极限的若干方法The Methods of Functional Limit姓 名： * 学 号： 090*0*0*3 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： *(讲师） 完成时间：2013 年 4 月 19 日 江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文I求函数极限的若干方法求函数极限的若干方法*【摘要摘要】在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。极限包括数列的极限与函数的极限，两类极限的本质上是相同的，其中数列极限是函数极限的特例，因此

2、本文只就函数极限进行讨。结合例题，本文阐述了求函数极限的十三种方法，包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、中值定理等求极限。【关键词关键词】函数极限 洛必达法则 泰勒公式 中值定理江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文II The Methods of Functional Limit*【Abstract】In the mathematical analysis, the limit idea runs through the whole story. The methods of the limit are crucial. Limit includes the sequence li

3、mit and functional limit. Essence of the two kinds of limit is the same, and the sequence limit is a special case of functional limit, therefore this paper only discusses the functional limit. With the examples, this paper discusses thirteen methods of functional limit , including the use of infinit

4、esimal, LHospital Rule, Taylor formula, the mean value theorem and so on.【Key words】functional limit LHospital Rule Taylor formula the mean value theorem. 江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文III目录1 引言.12 函数极限的定义及作用.13 函数极限的计算及多种求法.23.1 利用左、右极限求极限 .23.2 利用极限运算法则求极限 .33.3 利用初等变形求函数极限 .33.3.1 约分法 .33.3.2 有理化法 .43.3.3

5、 比较最高次幂法.43.4 利用迫敛性求函数极限 .53.5 利用两个重要极限公式求函数极限 .53.6 利用变量替换求函数极限 .73.6.1 利用等价无穷小量替换来求极限.73.6.2 利用其他替换来求极限 .83.7 利用无穷小量的性质求函数极限 .83.8 利用初等函数的连续性质求函数极限 .93.9 利用导数的定义求函数极限 .93.10 利用洛必达法则求函数极限 .103.10.1 型不定式极限 .10003.10.2 型不定式极限.113.10.3 其它类型不定式极限 .123.11 幂指函数求函数极限 .133.11.1 ,的极限均为有限常数，即型的极限求法.13)(xf)(x

6、gBA3.11.2 型未定式极限问题.1313.12 利用泰勒公式求函数极限 .143.13 利用中值定理求函数极限 .16参考文献.17江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文11 引言 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运算，夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文给出了十三种求极限的方法，每种方法都是以定理或

7、简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数的特点分类进行讨论。2 函数极限的定义及作用 定义定义 1 1 ：设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任1f0 xo0;UxA给的,存在正数（） ，使得当时有 ，则称00-ox x( )f xA函数当时以为极限,记作f0趋于xxA 或 .0lim( )xxf xA( )f xA0 xx 定义定义 2 2 ：设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正1f, a A0数,使得当时有MaxM，( )f xA 则称函数当趋于时以为极限,记作fxA 或 .lim( )xf xA( )f xAx 对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述

8、定义： =A: 当-x-0 时，|f（x）A |)(lim-0 xfxx, 0, 00 x =A: 当 0 x-时，|f（x）- A |M 时，|f（x）- A |:)(limAxfx, 0, 0M江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文2 当 x-M 时，|f（x）- A |:)(limAxfx, 0, 0M 在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题。 例例 1 用极限定义证明：=12limx2-x23x-2x 证证 由12232xxx2442xxx =2)2(2xx2x 取= 则当 0|x-2|时，就有0 0, g(x)=B,则=)(x0limxx)(x0limxx)(x0

9、limxx)()(xgxfBA 例例 1515 求（7x-6）1limx2ln 解解 因为 y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，2ln76所以在 x=1 处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7-6）=01limx2ln2ln3.9 利用导数的定义求函数极限 定义定义 4 4（导数的定义）（导数的定义）：函数在附近有定义，若极限1( )f x0 x存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数000( )()limxxf xf xxx( )f x0 x在点处的导数，记为。在这种方法的运用过程中，首先要选好( )f x0 x0()fx，然后把所求极限表示

10、成在定点的导数( )f x( )f x0 x江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文10 例例 1616 求xxx2cot)2(lim2 解解 取则 xxf2tan)( 2)22tan(2tanlim122tanlim12cot)2(lim222xxxxxxxxx 22x211( )()()22lim21(2sec 2 )12xf xffxx 3.10 利用洛必达法则求函数极限以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。3.10.1 型不定式极限 00 定理定理 6

11、6：若函数和满足：1fg i 00limlim0 xxxxf xg x 在点的某空心邻域内两者都可导，且 ii0 x 00Ux 0gx （为实数，也可为或） iii 0limxxfxAgxA江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文11 则 00limlimxxxxf xfxAg xgx 注意注意 若将定理中换成只要相应地修0 xx00,xxxxxx 正条件中的邻域，也可得到同样的结论。 ii例例 1717 求21 coslimtanxxx 解解 容易检验与在的邻域里满足定理的( )1 cosf xx 2( )tang xx0 x条212coslimsectan2sinlim)()()2()

12、1 (32xxxxxgxfxx，又因和件 故由洛必达法则求得 21)( )( lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx在利用洛必达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换。例例 1818 求0lim1xxxe 解解 这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但是比较麻烦。00如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于, xt 0 x0t是有11lim1lim1lim000txtxxxeetex3.10.2 型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。 定理定理 7 7：若函数和函数满足：1( )f x( )g x i 00liml

13、imxxxxf xg x 在点的某空心邻域内两者都可导，且 ii0 x 0+0Ux 0gx （为实数，也可为或） iii 0limxxfxAgxA则 00limlimxxxxf xfxAg xgx 注意：若将定理中换成只要相应地0 xx00,xx xxxx 修正条 件中的邻域，也可得到同样的结论。 ii江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文12 例例 1919 求 lnlimxxx 解解 由定理 得，01lim)()(lnlimlnlimxxxxxxxx3.10.3 其它类型不定式极限 不定式极限还有，等类型。这些类型经过简单的01000变换，都可以化为型和型的不定式极限。00 例例 20

14、20 求0limlnxxx 解解 这是一个型的不定式极限，作恒等变形=，将它转化为0 xxlnxx1ln型的不定极限，并用洛必达法则得到0)(lim11lim1lnlimlnlim02000 xxxxxxxxxxx 例例 21 求210)(coslimxxx 解解 这是一个型的不定式极限，作恒等变形1=21)(cosxxxxecosln12求得型的不定式极限，可先是其指数部分的极限00cosln1lim20 xxx212tanlimcosln1lim020 xxxxxx所以=210)(coslimxxx21e 例例 2222 求（为常数）1 ln0lim(sin )kxxxk 解解 这是一个型

15、的不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限，00kxxxkxxxkxxkxxxsincoslim1sincoslimln1sinlnlim000然后得到=1 ln0lim(sin )kxxxke江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文13 例例 2323 求12lnlim(1)xxxx 解解 这是一个型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型）02221ln(1)1limlim1ln1lim111limxxxxxxxxxxxexxxxln12)1(lim于是有注意注意 运用洛比达法则应注意以下几点1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。0,02、应用洛必达法则，要分别的求分子、分

16、母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。3.11 幂指函数求函数极限 一般来说，幂指函数是形如的函数。幂指函数求极限在数学分)()(xgxfy 析中比较常见。由于幂指函数兼具幂函数和指数函数的特点，对幂指函数求极限又显得比较困难。下面我介绍两种常用方法。 3.11.1 ,的极限均为有限常数，即型的极限求法)(xf)(xgBA 命题命题 1 1： ，且 A 和 B 为有限数，A0,则有 Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0BxgxxxgxxAxfxfxx)(lim)(00

17、0)(lim)(lim 例例 2424 求极限.131)51 (limxxx 解解 因为 ，6)51 (lim1xx2) 13(lim1xx 由上述定理得：366)51 (lim2131xxx江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文14 3.11.2 型未定式极限问题1 命命题题 2 2: 设有连续函数和，在自变量的某个变化过程中，)(xf)(xgx1)(limxf，则)()1)(lim()()(limxgxfxgexflim( )1f x lim ( )g x 例例2 25 5 求极限xxx2csc0)(coslim 解解 220lim (cos1)csccsc0lim(cos )xxxx

18、xxe 202201lim (cos1)sin1lim.212xxxxxxeee 注注 对于型未定式的极限用可通过将幂指函数化为对数恒等1)()(limxgxf式的形式，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。yeyln00 例例2626 求极限.xxxx)1cos1(sinlim 解解 令，则当时，那么1uxx 0u uuxxuuxx10)cos(sinlim)1cos1(sinlimuuuue)cosln(sin0lim uuuue)cosln(sinlim00cossinlimsincosuuuuuee3.12 利用泰勒公式求函数极限 定义定义 5 51： 若函数在存在阶导数,

19、则有=+（x-f0 xn( )f x0()f x0()1!fx）+(x-+（x-+- (1)0 x0()2!fx20)x( )0()!nfxn0)nx(o x0) )nx这里-为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点的泰勒公式.(o x0) )nx0 x江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文15当=0 时,（1）式变为=+x+称0 x( )f x(0)f(0)1!f2(0)2!fx( )(0)!nnfxn()no x此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式。常见函数的麦克劳林公式2n = 1+ + + . . . .+ + o2!nxxxexxn（）352 +12 +1sin = + .+ ( 1

20、)+ ()3!5!(2 +1)!nnnxxxxxo xn-.24622cos =1 + + ( 1) + ()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xn 23ln(1)23xxxx+=-+()nnnxxn+1+1+(-1)+o+12(1)(1)12mm mxxx-+= +m +!(1)(+1)!nm mmnxn()nx+o 21=1+ + + . + + ()1nnxxxo xx为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒公式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简洁地求出函数极限。例例 2727 求 2240coslimxxxex 解解 本题可用洛比达法则来求解，但是运

21、算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分4x子， 244cos1()224xxxo x 224421()28xxxeo x 江西师范大学 2013 届学士学位毕业论文162442cos()12xxxeo x 因而求得 244-2440 x0-+ocos -e112lim=lim=-12xxxxxxx3.13 利用中值定理求函数极限 定理定理 8 8( 拉格朗日微分中值定理)：若函数满足(1)在上连续,(2)1)(xfba,在可导；则在内至少存在一点，使。),(ba),(baabafbff)()()( 例例 2828 求 30sin)sin(sinlimxxxx解解 由 01 sin sin-sin = sin -cos+sin -xxx xxx x（） 303020sin sin-sinlimsin -cos+sin - =limcos -1 =cos0 lim3xxxxxxx xxx xxxx（）得 定理定理 9 9(积分中值定理)：设函数在闭区间上连续,则至少存在1f, a b使得.,a b baf x dxfba 例例 2929 求13001lim1dxx. 解解 由积分中值定理，