河海大学数值分析有效数字

1、河海大学理学院数值分析河海大学理学院数值分析 记好课堂笔记 保证课堂纪律 按时完成作业 按时上课，不迟到早退几点几点要求要求河海大学理学院数值分析 本课程的基本要求 掌握数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 能用所学方法在计算机上算出正确结果河海大学理学院数值分析河海大学理学院数值分析1 引论引论实际实际问题问题建立数建立数学模型学模型选择数选择数值方法值方法 编写编写程序程序计算计算结果结果对实际问对实际问题解释题解释若不合理若不合理修修 改改数值分析是计算数学的一个主要部分，数值分析是计算数学的一个主要部分，着重研究适合于电脑使用的数值计算方着重研究适合于电脑使用的数值计

2、算方法及相关理论法及相关理论河海大学理学院数值分析数值分析的特点：数值分析的特点： 面向计算机，只能 和逻辑运算； 有可靠的理论分析； 要费时少，内存小； 经数值试验后，证明是行之有效。,河海大学理学院数值分析在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类：模型误差观测误差截断误差4. 舍入误差第二节第二节 数值计算的误差数值计算的误差固有误差固有误差计算误差计算误差河海大学理学院数值分析2 误差的定义误差的定义设设 x为准确值，为准确值， x* 是是 x的一个近似值，称的一个近似值，称为近似值为近似值x*的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差。e = x x称满足称满足|xxe的正

3、数的正数 *为近似值为近似值 x*的的绝对误差限绝对误差限，简称为，简称为误差限误差限。称称为近似值为近似值x*的的相对误差相对误差。xxxxeer*常取*xe作为作为相对误差. 河海大学理学院数值分析称满足称满足rrxxxxee|的正数的正数 为近似值为近似值 x*的的相对误差限相对误差限。相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异r河海大学理学院数值分析截断误差截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似据此方法得到数学模型的近似解解,由此产生的误差称为由此产生的误差称为截断误差截断误差.舍入误差舍入误差:

4、:由于电脑的字长有限由于电脑的字长有限, ,参加运算的参加运算的数据数据、运算的过程以及结果的存放、运算的过程以及结果的存放,由此产生由此产生的误差称为的误差称为舍入误差舍入误差. .河海大学理学院数值分析例如用下列近似公式计算由于 所以 截断误差为 hxyhxyxyh0000lim hxyhxyxy000 2000! 2hyhxyxyhxy hyxyhxyhxy2000 hy2 河海大学理学院数值分析截断误差截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似据此方法得到数学模型的近似解解,由此产生的误差称为由此产生的误差

5、称为截断误差截断误差.舍入误差舍入误差: :由于电脑的字长有限由于电脑的字长有限, ,参加运算的参加运算的数据数据、运算的过程以及结果的存放、运算的过程以及结果的存放,由此产生由此产生的误差称为的误差称为舍入误差舍入误差. .河海大学理学院数值分析河海大学理学院数值分析 如果近似值如果近似值 的误差限是其某一位上的半的误差限是其某一位上的半个单位，且该位直到个单位，且该位直到 的第一位非零数字一共的第一位非零数字一共有有n位，则称近似值位，则称近似值 具有具有n位位有效数字有效数字，用这，用这n位有效数字表示的近似数称为位有效数字表示的近似数称为有效数有效数。xn位位误差不超过该误差不超过该位

6、的半个单位位的半个单位自左至右看，第一个非零数。自左至右看，第一个非零数。xxx河海大学理学院数值分析 若准确值若准确值x的近似值的近似值 x*用规格化形式表示为用规格化形式表示为mlaaax1021.)1 (1021|:1lnxxnm 且且有有则称近似值则称近似值 有有n位位有效数字有效数字。x0, 9 , 2 , 1 , 01aai, 2, 1, 0m其中：河海大学理学院数值分析*判别有效数字位数的两种方法：判别有效数字位数的两种方法： 1.1.定义法，定义法，2.2.公式法。公式法。河海大学理学院数值分析 令准确值令准确值x的近似值的近似值x 用规格化形式表示为用规格化形式表示为mlaa

7、ax10.21 若若x*具有具有n位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为111021 na111021nrae |即反之若反之若x*的相对误差限的相对误差限 满足满足1110121nra)(则则x*至少具有至少具有n位有效数字。位有效数字。r河海大学理学院数值分析又又 所以， max101xxxr*111021na河海大学理学院数值分析 故， 1*1021* nmrxxx所以，至少有n位有效数字。 证毕*x河海大学理学院数值分析和的误差是误差之和和的误差是误差之和.和或差的误差限不超过误差限的和和或差的误差限不超过误差限的和.乘积的相对误差等于两数相对误差之和乘积的相对误差等

8、于两数相对误差之和.绝对误差可以近似地由微分运算来描述绝对误差可以近似地由微分运算来描述;相对误差可以近似地由对数的微分来描述相对误差可以近似地由对数的微分来描述.对多元函数对多元函数u= f (x1, x2, , xn)有关系式有关系式 niiidxxfdu1误差传递公式误差传递公式. 设设y=xn, 求求y的相对误差与的相对误差与x的相对误差之间的的相对误差之间的关系关系.河海大学理学院数值分析06. 2,0561. 2*11 xx0 . 1,04. 1*22 xx ,例 设 ， ，求它们的绝对误差限。河海大学理学院数值分析*xxysin 3x001*x?例 已知的相对误差为，求的绝对误差

9、（限）和相对误差（限），又若使的绝对误差限或相对误差限是，则的绝对误差限和相对误差限分别为多少y河海大学理学院数值分析13 误差定性分析与避免误差危害误差定性分析与避免误差危害条件数与病态问题条件数与病态问题称 为计算函数值问题的为计算函数值问题的条件数条件数.数值稳定性数值稳定性 若初始数据的误差在大量的计算下若初始数据的误差在大量的计算下,传播传播不大不大,就认为该算法是就认为该算法是稳定的稳定的。否则，就认为。否则，就认为不不稳定稳定。 xfxf xCp河海大学理学院数值分析101, 1 , 0 ndxexeIxnn,110 eI11 nnnII3678. 01 e例 计算 并估计误差。

10、解 已知 取 算法1 n 0 1 2 3 40.6321 0.3679 0.2642 0.2074 0.1704 n 5 6 7 8 9 0.1480 0.1120 0.2160 -0.7280 7.552 nInI河海大学理学院数值分析1min1 , 0 xemeeMx1 , 0max又因为 1011dxxmnn 10dxexxn110 nedxxMn所以 1111 nInen9 n 1112119nneI 0684. 012011 e取 令 nnInI 111河海大学理学院数值分析算法2 n 9 8 7 6 50.0684 0.1035 0.1121 0.1268 0.1455 n 4 3

11、 2 1 00.1708 0.2073 0.2643 0.3679 0.6321 nInI,11 nnnII*1*1 nnnII 1*1* nnnnnIInIIE分析算法分析算法1 所以 , 0!1Enn （不稳定） nnnnnIInIIE *1*111 nnEnE!10 分析算法分析算法2 所以, （稳定）河海大学理学院数值分析3.避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则避免分母过小；避免两相近数相减；防止大数吃掉小数；简化计算步骤，减少运算次数。 河海大学理学院数值分析1. 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值（即绝对值太小的数不宜做除数）（即绝对值

12、太小的数不宜做除数） 001. 0234. 11234 0011. 0234. 18 .1121分母只变分母只变0.0001,但结果相差但结果相差112.2河海大学理学院数值分析 199920012. 避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减计算计算 的近似值。的近似值。 7325.442001 7102.441999 已知已知,20011 x0223. 07102.447325.4421 xx解1 19992 x解2 19992001221 xx河海大学理学院数值分析0223607. 07102.447325.442 分析解分析解1 4*2*11021xx 3*2*1*2*11021xxxx

13、有2位有效数字 *2*12*2*1*2*122xxxxxx *2*12*2*12xxxx分析解分析解2 河海大学理学院数值分析 442102110217102.447325.4427710211025. 0 有6位有效数字河海大学理学院数值分析3 避免大数吃小数的现象避免大数吃小数的现象 求二次方程求二次方程 x2 +104x 0.01=0的根的根,取取10位浮点制位浮点制。解1 aacbbx24204. 010482 acb881004.000000001 位所以, 421100 xx (不合理)解2 4210 x61211001. 0 xacxx而用: 河海大学理学院数值分析 求求 的近似

14、值。的近似值。11017 x一般地有：一般地有：(1) 当当x充分大时充分大时, 应作变换应作变换 xx1xx 11 111xx)1(1 xx河海大学理学院数值分析(2) 当当x1与与x2接近时接近时, 应作变换应作变换 21lnlnxx21lnxx(3) 当当x接近于零时接近于零时, 应作变换应作变换 xcos12sin22x xxsincos1xxcos1sin 河海大学理学院数值分析4 尽可能减少运算次数尽可能减少运算次数 一个算法所需要的乘法和除法总次数称为一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计计算量算量，常用，常用N表示。计算量的单位为表示。计算量的单位为flop，表示，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。河海大学理学院数值分析 计算计算x64在某点的值。在某点的值。 x64 = x x x。计算量计算量N=63flop x64 = x x2 x4 x8 x16 x32 x。N=11 flop 计算多项式的值。计算多项式的值。nnnnnaxaxaxaxP 1110)