数列与不等式的综合问题

1、数列与不等式的综合问题测试时间： 120 分钟满分： 150 分解答题 ( 本题共 9 小题，共 150 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12016 ·银川一模nn( 本小题满分 15 分 ) 在等差数列 a 中， a1 3，其前 n 项和为 S ，S2等比数列 bn 的各项均为正数，b11，公比为 q( q1) ，且 b2 S2 12， q.b2(1) 求 an 与 bn；11112(2) 证明： S< .3S1S23nb S 12，22解(1) 设 an 的公差为 d，因为2q S，b2q 6 d12，所以6 d解得q 3 或q 4(舍) ， 3.(4分 )dq

2、q .故 an 3 3( n 1) 3n， bn 3n 1.(6 分 )(2) 证明：因为 Snn3 3n，(8 分)212211所以 n n3n n 1 .(10分 )S33n111故S1 S2Sn21111113223342 1 3 1 n 1 .(12 分 )1 1因为 n1，所以 0<n 1 2，于是11n n 11121 n 1<1，1212所以 3 3 1 n 1 <3，11112.(15 分 )即 <3 S1S2Sn322017 ·黄冈质检(本小题满分n13n 1 23an15 分 ) 已知数列 a 的首项a 5，an1， naN*.(1) 求证

3、：数列 1 1 为等比数列； an(2) 记 Sn111，若 Sn<100，求最大正整数 n.aaan12精选文库解 (1) 证明：因为 1 2 1 ，an 1 3 3an11111所以 1 1 .an 13an 33an又因为1 10，所以1 10( n N* ) ，a1an所以数列1 1为等比数列 (7 分 )an(2) 由 (1) ，可得 1 1 2× 1 n 1，an3 31 1 n所以 an 2× 3 1.111 n2111n 2所以Sna1a2n333a11 2×3 3n11 1 n，nn1 133若 S <100，则 n11n 的值为 9

4、9.(15分 )3 <100，所以最大正整数nn32016 ·新乡许昌二调 ( 本小题满分15 分 ) 已知 a 是等差数列， b 是各项都为正nn数的等比数列，且a12， b1 3， a3 b5 56， a5 b3 26.(1) 求数列 an ， bn 的通项公式；(2) 若 x2 3x 2bn 对任意 n N* 恒成立，求实数 x 的取值范围2n 1a1 2d b1· q4 56，解 (1) 由题意， a1 4d b1· q2 26，2 2d3· q4 56，将 a1 2， b1 3 代入，得 24d3· q226，消 d 得 2q4

5、 q2 280， (2 q2 7)( q2 4) 0， b 是各项都为正数的等比数列，q 2，所以 d 3， (4 分 )nn 1分 ) an 3n 1， bn3·2 .(8n 1(2) 记 cn3·2，2n 1n 12n1>0cn 1cn3·2 ·2n 12n 3所以 cn 最小值为 c11， (12 分)22bn*因为 x 3x对任意 n N 恒成立，所以 x2 3x2，解得 x2或 x1，所以 x ( ， 1 2 ， ) (15 分 )-2精选文库42016 ·江苏联考( 本小题满分15 分 ) 在等差数列 an 和等比数列 bn

6、中， a1 1， b1 2， bn>0( nN* ) ，且 b1， a2， b2 成等差数列， a2， b2， a3 2 成等比数列(1) 求数列 an 、 bn 的通项公式；S2n 4n(2) 设 cn abn，数列 cn 的前 n 项和为 Sn，若S 2n>an t 对所有正整数n 恒成立，求n常数 t的取值范围解(1) 设等差数列 an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q( q>0) 2 1 d 2 2q，由题意，得2q21 d32d，解得 d q3.(3分)n 1 an 3n 2， bn2·3.(5分 )n(2) cn3· bn 22

7、83;3 2.(7 分 ) Sn c1c2 cn 2(3 1 32 3n) 2n 3n1 2n3.(10 分)2n 4n32n 1 3nS Sn 2n 3n 1 3 3 1.(11 分 ) 3n 1>3n 2 t 恒成立，即t <(3 n 3n 3) min.(12 分 )令 f ( n) 3n 3n3，则 f ( n 1) f ( n) 2·3n 3>0，所以 f ( n) 单调递增 (14 分 )故 t <f (1) 3，即常数 t 的取值范围是 ( ， 3) (15 分 )52016 ·天津高考 ( 本小题满分 15 分 ) 已知 an 是各项

8、均为正数的等差数列，公差为 d. 对任意的 n N* ， bn 是 an 和 an 1 的等比中项(1) 设 c22* 是等差数列； bb ， n N ，求证：数列 cnn 1nn2nn11(2) 设1 ，n ( 1)k2*，求证：k， N< 2.ad Tk 1b nk 1T2dk证明(1)222 an 1an2 anan 1 2dan 1， (3 分 )由题意得 bn anan 1，有 cn bn1bn因此 cn 1 cn 2d( an2 an1) 2d2，所以 cn 是等差数列 (6 分 )222222(2) Tn ( b1 b2) ( b3 b4) ( b2n 1 b2n) 2d(

9、 a2 a4 a2n)n a2 a2 n 2d·2 2d2n( n 1) (9 分 )n11n11n11(12分)所以22T2dk k12dk k1k 1k 1k 1k12·1112.(15分 ) 1 <2d2dn62016 ·德州一模 ( 本小题满分 15分) 已知数列 n 满足1 2 23a3n (naaana nN*) (1) 求数列 an 的通项公式an；-3精选文库1(2) 令 b ·2an1*T 关于 n 的表达式，并求满( nN ) ， T b b b ，写出nan12nn2 n 15足 Tn>2时 n 的取值范围解 (1) a

10、1 2a2 3a3 nan n，所以 a12a2 3a3 ( n 1) an 1 n 1( n2) 1两式相减得an n( n2) ， (4 分 )1*又 a1 1 满足上式， an n( n N ) ， (5分 )(2) 由 (1) 知 bn2n 1n，(6 分)21352n1Tn 23n，222211352 12Tn 22 2324n2n 1 .两式相减得1n11112n 12223n 2n 1 ，2T2221111122 2n· 22 12T 22×1 2，(9 分)nnn11 2112n 12n 3T14 222 32，(10 分 )nnnn由n n 1 32n 3

11、2n 12n 1n 3 n 1n，TT222当n2时， n n 1>0，所以数列 n 单调递增 (12 分 )TTT4 31137 5< ，T1616 22×5 383805又 T5 325 32>322，n5 5所以 n5时， T T > ，2故所求 n5， n N* .(15分)72016 ·吉林二模 (本小题满分20 分 ) 已知数列 an 前 n 项和 Sn 满足： 2Snan 1.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 n2an 1，数列 bn 的前n项和为n，求证：n<1.b1 aTT41 ann 1解 (1) 因为 2Sna

12、n 1，所以 2Sn1 an 11.两式相减可得2an 1 an 1 an0，即 3an1 an，-4精选文库an11即 an 3， (4 分 )1又 2S1 a1 1， a1 3，1所以数列 an 是公比为 3的等比数列 (6 分 )11 n11 n，故 an ·333数列 an 的通项公式为an1 n3.(8 分)(2) 证明： bn2an 1，1 an1 an1 bn2·3n113n 1 ·3n 1 1 3n 1 3n 1 1， (11 分)111111 T b b b 3 13 1(3 131)3 13 1n12n1 223n n 1111 43n 1 1

13、<4， (18 分 )1 Tn<4.(20分 )a*82016 ·浙江高考 ( 本小题满分20 分 ) 设数列 a 满足 a n11， n N .2nn(1) 证明：n 1(| a1| 2)*| an| 2， nN ；(2) 若 | an| 证明 (1) 由3 n*， nN ，证明： | an| 2， n N .na1a n 1 ，得2| a ，故2nn 11| a |1| an| an 1|1*分 )n n 1 n， n N， (32221n|1| 2|a2|a3|an1|an|111所以| a | aaa1n122232n12n 12n 122222222<1，

14、 (6 分)n 2) (8分 )因此 | an| 2 1(| a1|(2) 任取 n N* ，由 (1) 知，对于任意 m>n，nm|an| n 1| n1| n 2| m 1| m|11| a | a |aaaaa2n2m2n 2n 12n 1 2n 22m 1 2m2n2n 1 112m 1<2n1， (12分 )1| a |n113mn故 | a |<22m·2 222·2nn 1mn1 m·3mn2 4·2.(15分)-5精选文库从而对于任意m>n，均有3mn| an|<2 ·2.4由 m的任意性得 | a

15、 | 2.n否则，存在 n0 N* ，有 | an0|>2 ，取正整数 m0>log 3| an0 | 22 n04且0> 0，则m n| an0| 2n3 0 nlog 3n3m42 0 | an | 2，20·<20·440与式矛盾，综上，对于任意*n2.(20 分 )N，均有 |a|n92016 ·金丽衢十二校联考(本小题满分20分 ) 设数列 a 满足： a 2， a cann1n 11*，记数列 a 的前 n 项和为 S . ( c 为正实数， n N )annn(1) 证明：当 c 2 时， 2n 1n*2 Sn3 1( n N

16、) ；(2)求实数 c 的取值范围，使得数列 an 是单调递减数列解(1) 证明：易得n>0( N*) ，由an 1 2n1 ，得 an1 21>2，所以 n 是递增anaananan2a数列，nan 11从而有 a 2，故 an2 4<3， (2 分 )2nn由此可得 an 1<3an<3an1 <<3a12·3，所以 Sn2(1 332 3n 1) 3n 1， (4 分 )又有 an 1>2an>22an 1>>2na1 2n 1，所以 Sn2 22 2n 2n 1 2， (6 分 )所以，当c2时，2n 1nn*

17、分)2n3 1(N) 成立 (8S13(2) 由 a1 2 可得 a22c 2<2，解得 c<4， (10 分)若数列nan 112<1， a 是单调递减数列，则an c an得 an>1，记 t 1，1 c1 c又 an 1nc 1，因为n*1n 1 t ( a t )ta nat ( n N) 均为正数，所以c tan>0，即 a >tc .*c， t >0 可知an 1t <c( an tnn t ) ，由 an>0( n N ) 及)< <c ( a1 t ) c (2nn 1 t ) t . 进而可得 a <c(21n 1由两式可得，对任意的自然数n， tc <c(2 t ) t 恒成立-6精选文库31121因为 0<c<4， t <2，所以 tc <t ，即 c<t1 c，1