数列求通项公式的常见题型与解题方法

1、精品文档数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容， 又是学习高等数学的基础 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法数列这一章的主要章节结构为：近几年来， 高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（ 1）数列本身的有关知识，其中有等

2、差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合（ 3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。1欢迎下载精品文档题型 1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1 数列 0,2,0,2 L 的通项 an2数列1,11,1的通项 an2,34L123453数列 11357的通项 an22 ,12 ,12 ,12 L4681、0n为奇数2 、n13 、1+n

3、1 2n1anan（）an（）n为偶数1n(n 1)1(2 n)22练习例 1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：(1)22 1, 321,42 1, 521; an(n1)212345n1(2)1, 1,1 ,1 .an( 1)n11223 3445n( n 1)例 2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：(1)1,7,13,19,L; an (1)n (6 n5)(2)7,77,777,7777,77 777,L ; an7 (10n9(3)5,0,5,0,5,0,5,0,L .a5sin nn2例 3: 写出下面数列的一个通项公式：313131( 1

4、)n(1) 1, ,L ; ann234561)2315 37,L .ann2(2), ,3n25211 717。2欢迎下载精品文档题型 2由 an 与 Sn 的关系求通项公式1、已知数列 an 的前 n 项和 Sn1(n2n) ，则 an22、已知数列 an 的前 n 项和 Sn32n ，则 an3、设数列 a 的前项的和 S=1（ a -1） (nN ) nn3n( ) 求 a1；a2； ( ) 求证数列 a 为等比数列a n4、数列的前 n 项和S=3·2 -3, 求数列的通项公式 .nnn5、设数列 aS =2n +3n+2an 的表达式，并指出此数列是否为等差n 的前 n

5、项和为n2，求通项数列 .aS ，a 2，na=S +n(n+1)a6、已知数列的前 n 项和为且nn1n+1n，求n7、已知数列 an 的前n项和n 满足： n=2an +(-1)n1SS,n（）写出求数列 a的前 3项a1,2,a3；（）求数列 a 的通项公式；ann（）证明：对任意的整数m>4，有 11L17.a4a5am87、解：当 n=1 时 , 有： S1=a1=2a1+(-1)a 1=1；当 n=2 时 , 有： S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；3123333123当 n=3 时 , 有： S =a+a +a =2a+(-1)a=2；综上可知 a =1, a=

6、0,a =2；由已知得： anSnSn12an(1)n2an1(1)n 1 化简得： an2an 12(1)n 1上式可化为： a2 ( 1)n2a2 (1)n 1n3n 132 (2 (故数列 an1)n 是以 a11)1 为首项 ,公比为 2 的等比数列 .33故 an2 ( 1)n1 2n 1 an1g2n 12 ( 1)n2 2 n 2( 1)n 33333数列 an 的通项公式为：an2 2 n2(1)n .3由已知得：11L1311L1a4a5am23m 2m221212( 1)311111L2m 211)m 111111L 2 39153363(23511211111111L1

7、45(12m 5 )1422113510201g22 312 3 5 5 2m 521311)m 5131041057.故11L17m15g(2151201208a4a5(>4).5am8。3欢迎下载精品文档题型 3已知数列递推公式求通项公式(公式法 )1、 已知数列 an 的首项 a11，且 an an 1 3(n2) ，则 an2、数列 an 中， a11,an1an2 ，求 an 的通项公式3、已知数列 an 满足 a1111，求 an ，1an 1an4、数列 an 中， a11,an12an，求 an 的通项公式an25、已知数列 an 的首项 a11，且an 3an1(n 2

8、)，则 an6、 已知数列 an 的 a1 1， a22 且 an 22an 1an , 则 an（累加法与累积法）1、数列 an 中， a11,an1ann ，求 an 的通项公式2、数列 an 中， a11,an1an3n 1 ，求 an 的通项公式3、已知数列 an 满足 an 1an2n1，a11，求数列 a n 的通项公式。4、已知数列 an 满足 an 1a n2 3n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。5、已知数列 an 的首项 a11，且 ann1nan 1( n 2) ，则 an6、已知数列 an 满足 an 12( n1)5 na，a3 ，求数列 a 的通项公式。n1

9、n。4欢迎下载精品文档（构建新数列）1、已知数列 an 的首项 a11，且 an2an 13( n2) ，则 an2、数列 an 中， a1 2, an 13an2 ，求 an 的通项公式3、已知数列 an 满足 an12an32 n ， a12 ，求数列 a n 的通项公式。4、已知数列 an 满足 an13a n23n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。5、已知数列 an 满足 an12an3 5 n ， a16，求数列 a n 的通项公式。6、已知数列 an 满足 an13an52n4，a11 ，求数列 a n 的通项公式。7、 已知数列 an 满足 an12a n3n 24n5，

10、a1 1，求数列 an 的通项公式。8、已知数列 an 满足 an1an8(n1)3) 2， a1 8 ，求数列 a n 的通项公式。( 2n1) 2 (2n99、已知数列 an 满足 an121an24， a14 ，求数列 a n 的通项公式。4a n110、已知数列 an 满足 an17a n22，求数列 a n 的通项公式。2a n， a133、解： a n12a n 32n 两边除以 2 n1 ，得 a n 1an3 ，则 an 1a n3 ，2 n 12 n22n 12 n2故数列 a na121 为首，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2 n是以2221an1 (n1)

11、3 an 的通项公式为 an31n。2n，所以数列( n)22224、解： a n 13an2 3n1两边除以 3n 1an 1a n21，得3n33n 13n 1则an 1an21，3n 13n33n 1。5欢迎下载精品文档故ana nan 1a n 1an 2an 2an 3a2a1a13n( 3nan 1 ) ( a n 13n 2 )( 3n 23n 3 )( 3231 )3( 21) ( 21) ( 21)( 21)333n33n 133n 233232(n1)111113( 3n3n3n 13n 232) 1a n2(n1)1(13n1 )2n11因此3n1，3n3133223n则

12、 a n2 n 3n1 3 n13225、解：设 an1x5n12(a nx5n )将 an12an3 5n 代入式，得2an3 5nx5n12an2x5n ，等式两边消去2a n ，得 3 5 nx5n12x 5 n ，两边除以5 n ，得 3x52x ，则 x= 1，代入式，得 a n 15n 12( an5 n )由 a15165 1 0 及式， 得 an5n0，则an15n 12 ，则数列 a n5n 是a n5n以 a1 511 为首项，以2 为公比的等比数列，则a n5n1 2n1 ，故 an 2 n 15n 。6、解：设 an 1x 2n 1y3(anx 2 ny)将 a n 1

13、3an5 2 n4 代入式，得3an5 2 n4x 2 n 1y3(a nx 2 ny )整理得 (5 2x ) 2n4 y 3x 2n52x3xx53y 。令y3y，则，代入式，得4y2a n 15 2 n 123(an5 2 n2)。6欢迎下载精品文档由 a1512112130 及式， 得 annan 152 n 125 22 0，则3 ，2a n52 n2故数列 a n52 n2 是以 a15212 11213为首项，以3 为公比的等比数列，因此 an5 2 n2 13 3n 1 ，则 a n13 3n 15 2n2 。7、解：设 an 1x (n1) 2y( n1)z2(anxn 2y

14、nz)将 a n 12an3 n24n5 代入式，得2an3n 24n5x (n1) 2y( n1)z2( anxn 2ynz) ，则2an(3x )n 2(2xy4) n( xyz5)2an2xn 22yn2z等式两边消去2an ，得 ( 3x ) n 2(2xy4) n(xy z5)2xn 22yn2z ，3x2xx3则得方程组2xy42y ，则y10 ，代入式，得xyz52zz18a n 13(n1) 210(n1)182(a n3n 210n18)由 a13 12101 18131320 及式，得 an3n 210n180则a n 13(n1) 210(n1) 182，故数列 an3n

15、210n 18为以an3n 210n18a13 12101 18 1 31 32为首项，以 2为公比的等比数列，因此a n3n210n18322 n 1 ，则an2n43n 210n18 。8(n1)88(11)8、解：由 an 1 a n2 (2n 3)2及 a1，得 a2 a12(2 1 3)2( 2n 1)9(21 1)。7欢迎下载精品文档88224992525a3 a28( 21)( 2 21)2(2 2 3)224 834825 25 49 49a 4a 38(31)(231)2 (233) 24884804949 8181由此可猜测( 2n1) 21an1)2，往下用数学归纳法证明

16、这个结论。(2n(211) 218（ 1）当 n=1 时， a111) 2，所以等式成立。(29（ 2）假设当 n=k 时等式成立，即( 2k1) 21k 1时，ak1) 2，则当 n(2ka k 1 a k8(k1)1) 2 ( 2k3) 2(2k(2k1) 218(k1)(2k1) 2( 2k1) 2 (2k3) 2( 2k1) 21( 2k3) 28(k1)(2k1) 2 (2k3) 2(2k1) 2 ( 2k3) 2( 2k3) 28( k1)( 2k1) 2 (2k3) 2(2k1) 2 ( 2k3) 2( 2k1) 2(2k1) 2 ( 2k3) 2(2k3) 21 2( k1)1

17、21(2k3) 2 2(k1)1 2由此可知，当n=k+1 时等式也成立。根据（ 1）（ 2）可知，等式对任何nN *。8欢迎下载精品文档9、解：令 x21x24 ，得 4x 220x240，则 x12，x 2 3是函数 f ( x)21x244x14x121an24an24a n1221an242( 4a n1)13an2613的两个不动点。因为1。a n321an2421an243(4an1)9an27914an13an2 ，所以数列 an2 是以 a12422为首项，以13 为公比的等比数列，故an3an3a13 4 39an22(13) n 1 ，则 an1313 。an39)n112(910、 解：令 x7x2，得 2x 24x20，则 x=1 是函数 f ( x )3x1的不动点。2x34x77an25an5，所以因为 an 1 1312an2a n312an32an3251212(12)，所以数列 是 以an 11 5a