数列求和—裂项相消专题

1、数列求和裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的 . 常见的裂项相消形式有：1.an111n(n1)nn1an12)1 ( 1n1)n (n2n2an1111)n (nk )(nnkkanp（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）BnCAn22.an1111)(2 n1)(2n1)(2n12n21an1111)(2 n1)(2n3)(2n12n23an(6n11)1 (151)5)(6n66n6n13.an1111n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)4.an2n 111(2 n 11)(2 n1) 2n 11 2n1an

2、2n11(2 n1)(2n +11)2n12n+11ann22(n1)n111n(n1)2nn( n1)2nn2n 1( n 1)2n5.1nn 1nn 1精品文库1n21 (n2n )n211nkn )nnk(k1.在数列an 中， an12n ，且 bn2，求数列bn 的前 n 项n 1 n 1n 1an an 1的和 .欢迎下载2精品文库2.已知数列a是首相为1，公差为 1 的等差数列， bn1的前 n 项和， Sn 为 bnnan an 2证明： 1Sn3.34欢迎下载3精品文库3.等比数列an 各项均为正数，且2a13a21,a329a2 a6 ，（1）求an 的通项公式；（2）设

3、bnlog 3 a1log 3 a2log 3 an ，求1的前 n 项和 .bn4. 设数列an 满足 a1011且1，1 an 11 an（1 ）求an 的通项公式；1 an 1n，记 Snbk ，证明： Sn 1.（2 ）设 bnnk1欢迎下载4精品文库5. （安徽江南十校2015 联考）已知各项为正数的数列an满足 :an 22 anan 2 4an 1 an (n N ) ,且 a11, a2 4 ,（1 ）证明：数列an是等差数列;（2 ）设 bn2n1bn 的前 n 项和为 Sn ，求证： Sn 1 .an an，1欢迎下载5精品文库6.已知等差数列a n 的前 n 项和为 Sn

4、 ，公差 d0, S54a36, 且 a1 , a3 , a9 成等比数列，（1 ）求数列an 的通项公式；（2 ）求数列1的前 n 项和 Tn .Sn欢迎下载6精品文库7.等差数列an 中， a1a36, a1121，（1 ）求数列an 的通项公式；1（2 ）设 bn，求 Snb1b2bn .n(an3)欢迎下载7精品文库8.(2010 山东 )已知等差数列an 满足： a37, a5 a7 26, an 的前 n 项和为 Sn ，（1）求 an 及 Sn ；（2）令 bn1( n N ) ，求数列 bn的前 n 项和 Tn .a21n9.（ 2013 全国 1）已知等差数列an 的前 n

5、项和为 Sn ，满足 S30, S55 ，（1 ）求an 的通项公式；欢迎下载8精品文库1（2 ）求数列的前 n 项和 .a2 n 1a2n 110.(2013江西 )正项数列an 满足： an2(2n1)an2n0 ，（1 ）求an 的通项公式；（2 ）令 bn1bn 的前 n 项和 Tn .，求数列(n1)an欢迎下载9精品文库11.(2017全国 3) 设数列an 满足 a13a2(2 n1)an2n ，（1 ）求an 的通项公式；an的前 n 项和 .（2 ）求数列2n1欢迎下载10精品文库12. （ 2015 安徽）已知数列an 是递增的等比数列，且a1a49, a2a38 ，（1

6、）求an 的通项公式；（2 ）设 Sn 为数列 an的前 n 项和， bnan 1bn 的前 n 项和 .，求数列Sn Sn 1欢迎下载11精品文库13. （ 2014 贵州适应性训练）已知数列a n 是等差数列， a12, a2 , a3 , a4 1 成等比数列，（1）求 an的通项公式；（2）设 bn2的前 n 项和 Sn .，求数列 bnn (an 2)14. （ 2013 大连育明高中模拟）已知数列an 是各项均不为 0 的等差数列，公差为d ， Sn为其前 n 项和，且满足 an2S2n 1 (nN ) ，数列 b满足 bn11， Tn 为数列 bnanan 1n欢迎下载12精品文库的前 n 项和，（1 ）求 a1 , d 和 Tn ；（2 ）是否存在实数，使对任意的( nN ) ，不等式Tnn8 恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.15.Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 an 0, an22an4Sn 3 ，（1）求 an的通项公式；（2）设 bn1bn 的前 n 项和 .，求数列anan 1欢迎下载13精品文库16. 已知等比数列an 的公比 q1 ， a1 和 a4 的等比中项为3 3 ， a2 和 a3 的等差中项为6，数列 bn 满足 bnlog 3 (35