数列专题错位相减求和

1、精品文库高一数学第七周周考一、解答题1已知数列an是等差数列，数列 bn是各项均为正数的等比数列，且a1 b1 1 ，a3 b2 7 ， a5b3 13 （ 1）求数列 an， bn的通项公式；（ 2）设 cnan，求数列c 的前 n 项和 Sn bnn2已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a55，S5 15（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）求数列 2 n an 的前 n 项和为 Tn3已知数列 an满足 a1 2 ， an 1n12an (n*)2()Nn（ 1）求证 : 数列an是等比数列，并求其通项公式；n2an 的前 n 项和 Tn ；（ 2）设 bn 3log 2

2、 (2 ) 26 ，求数列 bnn4 已知等差数列an的公差大于0, 且 a3 , a5 是方程 x214x 45 0 的两根 , 数列bn 的前 n 项的和为 Sn ，且 Sn11 bn . （ 12 分）2（ 1） 求数列an ， bn 的通项公式；（ 2） 记 cnan bn , 求数列cn的前 n 项和 Tn5已知数列 a n 的前 n 项和 sn 满足 Sn=2n2 13n（ nN* ）（ 1）求通项公式 an；（ 2）令 cn = ，求数列 c n 的前 n 项和 Tn6等差数列 an 的首项 a1 1 ，其前 n 项和为 Sn ，且 a3 a5 a4 7 （）求 an 的通项公式

3、；（）求满足不等式Sn3an 2 的 n 的值7已知数列 a n 的前 n 项和为 Sn， a1 2. 当 n 2 时， Sn 1 1， an， Sn 1 成等差数列欢迎下载精品文库(1)n是等比数列；求证： S 1(2)求数列 na n 的前 n 项和 Tn.8已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 a11， Sn n(2n 1)an (n N * ) .3（ 1）求 a2 , a3 的值；（ 2）猜想 an 的通项公式，并用数学归纳法证明.9已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，且 a3 5, S39.（）求 an的通项公式；（）求数列1的前 n 项和 Tn .anan 110已

4、知 Sn 为数列 an的前 n 项和，若 a1 2 且 Sn 12Sn .（1）求数列an的通项公式；2）设 bn1的前 n 项之和 .（log 2an 1 ，求数列bn bn 111已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4 .（1）求数列an的通项公式；（2）设 n4nn 1n的前 n 项和 Sn，求数列ba 2b12已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.（ I ）求数列的通项公式；（ II ）设数列的前项和为，求证：.13等比数列 a n 中，已知a12， a4 16.(1) 求数列 a n 的通项公式；(2) 若 a3，a5 分别为等差数列b n 的第 3 项和第 5

5、项，试求数列 b n 的通项公式及前n 项和 Sn.14（本题满分12 分）已知公差不为零的等差数列 an 的前 4 项和为 10，且 a2 ,a 3 , a7 成等比数列 .（）求通项公式a n ；（）设 bn2a n , 求数列bn 的前 n 项和 Sn .15已知数列 an 是等差数列，且a12 ， a1a2a312 .欢迎下载精品文库 求数列an 的通项公式； 令 ba n (nN* ) ，求数列 bn 的前 n 项和 .nnan3 an 11 bn 1 116已知数列 an ， bn 满足 a12 ， b11，且44(n 2) .bn1 an 13 bn 1 144（ 1）令 cna

6、n bn ，求数列 cn 的通项公式；（ 2）求数列 an 的通项公式及前n 项和公式 Sn .17 （ 12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn ，点n， Sn n*均在二次函数f x 3x22x 的图象上（ 1）求数列a 的通项公式；n（ 2）设 b3bn，求数列n的前 n 项和 nanan 118已知公差不为零的等差数列 an ，若 a11，且 a1, a2 , a5 成等比数列 .（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bn2n ，求数列 anbn 的前 n 项和 Sn .19已知数列an 满足 a1 4，an44n 2 ，nN * ，令 bn1an 1an2（ 1）求证：数

7、列 bn 是等差数列；（ 2）求数列 an 的通项公式欢迎下载精品文库参考答案Sn2n 31（ 1） an2n 1， bn2n 16（ 2）2n 1【解析】试题分析：（1）求等差与等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即根据条件列关于公12dq7,差与公比的方程组：14dq213,解得q2d2，再代入通项公式即得an 2n1，2n 1（ 2）因为 cnan2n1bnbn2n1，所以利用错位相减法求和，注意作差时，错项相减，最后一项的符号变化，中间等比项求和时注意项数，最后不要忘记除以1q试题解析：（ 1）设等差数列an的公差为 d ，等比数列bn 的公比为 q （ q0 ），12dq7,由题

8、意得14dq213, 解得 q2 ，或 q0 （舍去）， d 2 an2n 1bn2n 1，cnan2n1bn2n1（ 2）由题意得，所以 Snc1c2c3 cn1352n121222n 1，1Sn1352n32n122 22232n 12n，得1Sn12 222n 11 2(1 112n 132n 322222n 12n2222n 1 )n2n，2Sn2n3所以62n 1考点：错位相减法求和2（ 1） an n ；（ 2） Tn(n 1) 2n 16【解析】试题分析：（ 1）利用等差数列的通项公式，前n 项和公式，得到关于a1, d 的二元一次方程组，解之，即可得到a1 ,d ，则数列 an

9、 通项公式可求；欢迎下载精品文库（ 2）由（ 1）可知 2 nan 的通项为 n2n ，则利用错位相减法即可求出其前n 项和 Tn试题解析：（ 1）等差数列 a ， a55， S515 na5a14d5, S55a110d15a11, d1,ann（ 2） Tn21222 2332 nn2Tn2212322n(n 1) 2n 1nTn2 (22232n ) 2n 1n 2 (2n 14) n 2n 1(n 1) 2n 16Tn(n 1) 2n16考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式 , 错位相减法49n3n2(n 8)2n23（ 1） ann2（ 2） Tn3n249n400(n9)2【解

10、析】试题分析：（ 1）由 a12 ， an 12( n1)2an (nN* ) ，变形为an 12 an ，利用等n(n 1)2n2比数列的定义及其通项公式即可得出（ 2）由 bn 3n26 ，可得 b123当 n 8 时， bn 0，当 n 9 时， bn 0对 n 分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出试题解析：（ 1）a12 ， an 1 2(11 )2an (nN * )nan 12an， nN * an 为等比数列(n1)2n2n2ana1n 1nann22n2222n1an（ 2）nbn3log 2 (n2)263log 2 2263n26， b123当 n8 时

11、， bn3n26 0 , 当 n9 时,bn3n 26 0 。设数列 bn 的前n 项和为 Sn , 则欢迎下载精品文库当 n 8 时，Tn b1 b2bn( b1 ) ( b2 )( bn )(b1 b2bn ) Sn(b1bn ) n( 23 3n26) 49n3n2所以，Tn222当 n 9 时Tn b1b2b8b9bn( b1 ) ( b2 )( b8 ) b9bn(b1b2b8 ) (b9bn )S8(SnS8 ) Sn2S8所以，Tn(b1 bn )n(b1b8 )8(233n26)n2003n249n 4002222249n3n2(n8)综上， Tn23n249n400(n9)2

12、考点：等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式4（ 1） ana5(n5)d2n1. ， bnb1 qn 12 .2(2 n1)n13n（ 2） cnanbn， Tn2(13n3n)【解析】解： （） a3 , a5 是方程 x 214 x450 的两根，且数列 an 的公差 d>0， a3=5， a5=9，公差 da5a32.53 ana5(n5)d2n1. 3 分又当 n=1 时，有 b =S =11b1 ,b12.2311当时有bnSnSn 11(bn 1bn ),bn1 (n2).n 2 ,2bn 13数列 b n 是等比数列， b12, q1 .2 .33 bnb1q n

13、1 6 分3n2(2 n1)n1cnanbn所以 Tn2(1 12 分（）由（）知3n3n )欢迎下载精品文库5（ 1） an=4n 15（2） Tn= 7【解析】解： （ 1）当 n=1 时， a1=S1= 11，当 n 2 时， an=Sn Sn 1=2n2 13n 2 （n 1） 213（ n 1） =4n 15，n=1 时，也适合上式 an=4n 15（ 2） cn=?（ 4n 15）， T =+ +? （ 4n n15），=+，得：Tn=+4（ + +）（ 4n 15）?（） n+1=+4?（ 4n 15）?（）n+1=， Tn= 7【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法

14、，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用6（） an2n 1；（） 2， 3， 4【解析】试题分析： （）已知 a1 ，要求等差数列的通项公式，可先求得公差d ，可把已知条件a3 a5 a47 用 d 表示出来， 然后写出通项公式； （）由等差数列前n 项和公式写出 Sn ，再解不等式Sn3an2 即可试题解析：（）设数列 an 的公差为 d 因为 a3a5a4 7 ，所以 2a16da13d 7 因为 a11 ，所以 3d 6 ，即 d2，欢迎下载精品文库所以 ana1 ( n 1)d 2n 1 （）因为 a11 ， an 2n 1Sna1 an nn2，所以2，所以 n23(

15、2n1) 2 ，所以 n26n 50 ，解得 1n 5 ，所以 n 的值为 2,3,4 考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式7（ 1）见解析2n13n1（ 2） Tn2【解析】解：(1) 证明： Sn 1 1，an， Sn 1 成等差数列， 2an Sn Sn 1 2(n 2) 2(S n Sn 1) Sn Sn 1 2，即 Sn 3Sn 1 2， Sn 1 3(S n 11)(n 2) S n 1 是首项为 S11 3，公比为 3 的等比数列(2) 由 (1) 可知 Sn 1 3n， Sn 3n 1.当 n 2 时， an Sn Sn1 2×3n 1.又 a1 2， an 2&

16、#215; 3n 1(n N* ) nan 2n·3n 1 Tn 2 4× 3 6×32 2(n 1) × 3n2 2n× 3n 1，3Tn 2× 3 4× 32 6×33 2(n 1) × 3n 1 2n× 3n，由得，2 2×3n 12n× 3n2 1 3nnnn 2Tn 22× 3 2× 313 2n× 3 3 1 2n× 3 ， Tn 2n1 3n1.28（ 1） a2111证明：当 n1 时，由条件知, a3（ 2）通项为 a

17、n1)(2n1535(2 n1)等式成立，假设当nk （ k 1且 k N *）等式成立，即：ak(2 k11)(2 k 1)那么当 nk 1时， Skk，Sk 1(k1)(2 k1)ak 1 ，由 Sk 1Sk 得k (2 k 1)ak12kak 113)由可知，命题对一切nN *都成立(2 k1)(2k【解析】欢迎下载精品文库试题分析： Snn(2 n 1)an ，且 a11311 ； 当 n2时， S2a1a22(22 1)a2 ，解得： a25315当 n 3时， S3a1a2a33(231)a3，解得： a1135735由可以猜想an的通项为 an1(2 n1)(2 n 1)用数学归

18、纳法证明如下：当 n1时，由条件知等式成立；假设当 nk （ k 1且 kN *）等式成立，即：ak(2 k11)1)(2k那么当 nk1时，由条件 Snn(2n1)an 有：Skk(2 k 1)ak k(2 k 1)1k；Sk 1( k 1)(2 k 1)ak 11)(2k1)2k(2 k1SSa(k1)(2k 1)ak 1k，即k ( k2a 3 ) k，k 1kk 12k1k 12k1 ak 11，即：当 nk1时等式也成立(2 k 1)(2k 3)由可知，命题对一切nN *都成立考点：数列求通项及数学归纳法证明Sn n1点评：已知条件是关于an , Sn 的关系式，此关系式经常用到an

19、SnSn 1 n2有关于正整数的命题常用数学归纳法证明，其主要步骤：第一步，n 取最小的正整数时命题成立，第二步，假设nk 时命题成立，借此来证明nk 1时命题成立9（） an2n1；（） Tnn2n1【解析】试题分析：（）求an的通项公式，关键是求等差数列an的首项及公差即 a1 , d ，由已知可知 a5, S9 ，即a12d5，解方程组得 a11,d2 ，有等差数列的通项公式333a13d9即可写出 a1的前 n 项和 Tn ，首先求出数列 1的的通项公式；（）求数列 nanan 1an an 1欢迎下载精品文库通项公式，由（）可知an2n1，从而可得11，分母是等差数an an 12n

20、 1 2n 1列an的连续两项的积，符合利用拆项相消法求和，故1111，即可求出2n12n122n12n1试题解析：（）设等差数列an的公差为 d . 因为 a35, S39 ，所以a12d5解得 a11,d24分3a13d9所以 an2n16分（） Tn111L1133557(2 n1)(2 n1)1(111111L11)2335572n 1 2n 11 (11)n12分22n12n1考点：等差数列的通项公式，数列求和10 (1)an2, n1； (2)数列1前 n 项之和为n 2n1, n 2bn bn 1n 1【解析】试题分析： （ 1）由 Sn 12Sn 可得数列Sn是首项为 2，公比

21、为2 的等比数列，然后根据数列的通项与前n 项和之间的关系，即可求数列an的通项公式；（ 2）根据（ 1）求出bnlog 2an 1 的通项公式，利用裂项相消法即可求数列1的前 n 项和 .bn bn 1试题解析：（ 1）由题设得：数列Sn 是首项为2 ，公比为 2 的等比数列 .SnSn2n 12nanS1 ,n12, n1SnSn 1, n 2n1, n 22（ 2）由（ 1）知： bnlog2 an1log 2 2nn,111.bnbn 1n n1欢迎下载精品文库数列1前 n 项之和为111111n.bn bn 122 3n n 1n 111（ 1） an4n （ 2） Snn 1 2n

22、1【解析】试题分析：（ 1）由等差数列an的前 3项和为 6，前 8 项和为 -4 ，利用等差数列的前n 项和公式建立方程组求出 a13， d1由此能求出数列an的通项公式（ 2 ） 由 an4 n ， 知 bnn?2n 1 ， 所 以 数 列 bn的 前 n 项 和Sn1 221?32 ?2n ?2n，由此利用错位相减法能求出数列b的前 n 项和 Snn试题解析：（ 1）设等差数列an 的公差为 d .3a13d6，解得a13.由已知得 28d18a14d故 an3n 1 ? 1 4 n .（ 2）由（ 1）得， bnn ?2n 1.Sn1 2?213?2 2n ?2n 1 ，两边同乘以2

23、得2Sn22?223?2 3n ?2n ，两式相减得Snn1 2n1点睛：求解由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的前项和，一般采用错位相消法，用错位相减法求和应注意的问题(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“ Sn ”与“ qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn qSn ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1 两种情况求解 .12（） an12n2.（）详见解析.【解析】试题分析： （）首先令n1 求出首项 a1 ，.欢迎下载精品文库由两式相减，得即. 所

24、以，数列是首项为2，公比为的等比数列 . 由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式 .（）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和. 在本题中，由（）可得：，. 这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.试题解析：（）由题设知， 2 分由两式相减，得.所以. 4 分可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。所以6 分（）， 8 分.10分=.12 分欢迎下载精品文库考点： 1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明 .13 (1) 设a n 的公比为 q，由已知得16 2q3，解得 q 2.数列 a n 的通项公式为 an 2·2n 1 2n.(2) 由 (1)得 a 8， a 32，则 b 8， b 32.3535b1 2d 8b1 16设 b n 的公差为 d，则有解得，b1 4d 32d 12从而 b 16 12(n 1) 12n 28，n所以数列 b n 的前 n 项和nn16 12n282S