数字信号处理参考试题3

1、.第三章离散傅里叶变换1. 如图 P3-1 所示，序列 x(n) 是周期为 6 的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。图 P3-1解：55j2nknk由X ( k)x(n)e6x(n)W6n0n0j 2kj 2 2kj 2 3kj 2 4kj 2 5k1412e610e68e66e610e6计算求得X (0)60 ,X (1)9j 33 ,X (2)3j3X (3)0 ,X (4)3j3 ,X (5)9j332. 设 x(n)R4 (n) ， x(n)x(n) 6 ，试求 X (k ) ，并作图表示x(n) ， X (k) 。解：55j 2 nkj kj 2 ke j由 X (k )x( n)

2、W6nkx(n)e61e3e3kn0n0计算求得X (0)4,X (1)j3, X(2)1X (3)0,X (4)1,X (5)j3x(n) ， | X (k) | 如图 P3-2 所示。.图P3-2n1,0 n 4(n 2) 令 x(n)x(n) 6 ，h( n)h( n) 6 ，3. 设 x(n)，h(n) R40, 其他 n试求 x(n) 与 h(n) 的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值m)y(n)x(n)h(n)x( m) h(nmx(n)123450y(n)N h(n m)0011110141001111122100111103110011841110016511110010

3、4.已知 x(n) 如图 P3-4(a)所示， 为 1，1，3，2，试画出 x(n) 5 ， x( n) 6 R6 (n) ，x(n) 3 R3 (n) ， x( n) 6 ， x( n3) 5 R5 (n) ， x(n) 7 R7 (n) 等各序列。解：各序列如图P3-4（ b）所示。.图 P3-3图 P3-4（ a）.图 P3-4（b）5. 试求以下有限长序列的 N 点 DFT （闭合形式表达式） ：(1) x(n)a cos(0 n) RN (n)(2)x(n)an RN (n)(3)x(n)(nn0 ),0 n0 N(4)x(n)nRN (n)(5)x(n)n2 RN (n)解：（ 1

4、）因为 x(n)acos(0 n)RN (n) ，所以N12nkN 1j2nkj1 a(e j 0 nejX (k )a cos(0 n)eNRN ( k)0 n )eNRN (k )n02n01N 1j 2 k0 nN 1j 2k0 naeNeNRN ( k)2n0n 01 aj0 Nj0 N1 e 2k1 e2kRN ( k)2j0jN01eN1e.1ej 0 Nj 0 Nej 0 Nj0 Nj0Nj0 N2 (e 22 )e 2 (e 2e2 )aj 1 2 kj 1 2 kj 1 2 kj 1 2j 1 2 kj 1 2 k2000k 000e2 N(e 2 Ne 2 N) e 2 N

5、(e 2 Ne 2 N)j0 N10 Nej0 Nsin10 N1 ae2 sin212212221k1jk0kj0sinke 2NsinN0e 2NN022（ 2）因为 x(n)an RN (n) ，所以N 1nj21 aNX ( k)a enkn 01ae（ 3）因为 x(n)(n n0 ),0n0N ，所以N2j kNN1X (k)x(n)en 0（ 4）因为 x(n)nRN (n) ，所以2nkN 1j2j2jnkn 0kN(n n0 )eNeNn 0N 1N 1X (k)nWNnk RN (k),WNk X (k)nWN(n 1)k RN (k )n 0n 0N 1N 1X ( k)

6、(1 WNk )(nWNnknWN(n 1) k )RN (k )n 0n0k2 k3k（）( N 1) k2 k2kWN2WN3WNN 1WN(WN2WN( N 2)WN(N1) kN1) RN (k)N 1(N 1)WNnk )R N (k)n1W Nk1(N 1)1 WNk RN (k )NRN (k)所以X (k )NRN (k )1kWN（ 5）由 x(n)n2 RN ( n) ，则N1X ( k)n 2WNnk RN (k )n 0根据第（ 4）小题的结论x1 (n)nRN (n).N1N k RN ( k)则X (k)nWNnkn01 WNN1N1X (k )(1WNk )n2W

7、Nnkn2WN( n 1) kn 0n0k2 k3k（2( N 1) k2 k3 kWN4WN9WN）WN4WNN 1WN（N2( N1)k(N 1)2）2 WN1) 2N11)WNnk( N(2nn1N1nWNnkN ( N2)2n1N ( N2)2X 1 (k)N ( N2)2N1WNk所以X (k)N ( N2)WNkN 2,0kN1(1WNk ) 26. 如图 P3-6(a) 画出了几个周期序列x(n) ，这些序列可以表示成傅里叶级数1N1 x(n)X ( k)ej ( 2 / N) nkN k0问：（ 1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X (k ) 成为实数？（ 2）哪些序列能

8、够通过选择时间原点使所有的X (k ) ）（除 X (0) 外）成为虚数？（ 3）哪些序列能做到X ( k) 0， k=± 2，± 4，± 6，.图P3-6（ a）解：（1）要使 X (k ) 为实数，即要求X * (k)X (k)根据 DFT 的性质， x(n) 应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0 为轴）。又由图知， x(n)为实序列，虚部为零，故x(n) 应满足偶对称x( n)x(n)即 x( n) 是以 n=0 为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。如图 P3-6(b)所示。图 P3-6（ b）（2）要使 X (k ) 为虚数，即要求X * (

9、k )X (k)根据 DFT 的性质， x(n) 应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0 为轴）。又已知 x(n) 为实序列，故x( n)x( n)即在一个周期内，x( n) 在一圆周上是以n=0 为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。（3）由于是8 点周期序列，对于第一个序列有3j 2 nk1 ej kX 1 (k)e811kn 0jk1 e4jk1e4当 k2, 4, 6 时，X1 ( k) 0。对于第二个序列有.2j nkX 1 (k)e4n01 e1 e3jkj k4当2,4, 6时， ()0。X 1 kk对于第三个序列有x3 (n)x1 (n)x1 (n4)根据序列移位性

10、质可知k ) 11ke j k(1 e jX 3 (k)X 1 (k)X 1 (k )k1j4e2,4, 6)0。当时， (X 3kk综上所得，第一，第三个序列满足X ( k) 0, k2,4,7. 在图 P3-7(a) 中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。图P3-7（ a）()5()()( )解：x1R6y nm x2n m 6nm 0结果如图 P3-7(b) 所示。图P3-7（ b）8. 图 P3-8(a)表示一个 5 点序列 x(n) 。（ 1）试画出 x(n) * x( n) ；.（ 2）试画出 x(n)x(n) ；（ 4） 试画出 x(n)x(n) ；图 P3-8（ a）

11、解：个小题的结果分别如图P3-8(b) ， P3-8(c),， P3-8(d)所示。图 P3-8（ b）图 P3-8（ c）图 P3-8（ d）.9. 设有两个序列x(n)x(n),0n50,其他 ny( n)y( n),0n140, 其他 n各作 15 点的 DFT ，然后将两个 DFT 相乘，再求乘积的IDFT ，设所得结果为 f (n) ，问 f (n) 的哪些点（用序号 n 表示）对应于x(n) * y(n) 应该得到的点。解：序列 x(n) 的点数为 N 1 ，y(n)的点数为2=15，故x(n) * y(n)的点数应为=6NNN 1N 2120又 f (n) 为 x(n) 与 y(

12、n) 的 15 点的圆周卷积，即L=15 。所以，混叠点数为N-L=20-15=5 。即线性卷积以 15 为周期延拓形成圆周卷积序列f (n) 时，一个周期内在n=0 到 n=4(=N-L-1)这 5 点出发生混叠，即 f (n) 中只有 n=5 到 n=14 的点对应于 x(n) * y(n) 应该得到的点。10. 已知两个有限长序列为x(n)n 1,0n30,4n61,0n4y(n)1,5n6试作图表示x(n)，y( n)以及 f ( n) x(n) (n) 。y解：结果如图 P3-10 所示。.图 P3-1011. 已知 x(n)序列 y(n)是 N 点有限长序列，X ( k)DFT x

13、(n) 。现将长度变成rN 点的有限长y(n)x(n),0nN10, NnrN1试求 rN 点 DFT y(n) 与 X k的关系。解：N 12jnk由X (k )DFT x(n)x(n)eN,0kN 1n 0rN 1N1Y (k )DFT y(n)y(n)WrNnkx(n)WrNnk可得n 0n 0N 1j2nkkNrx(n)eX, klr ,l0,1, ,N 1n 0r所以在一个周期内，Y(k ) 的抽样点数是X (k ) 的 r 倍（ Y( k) 的周期为 Nr），相当于在X (k)的每两个值之间插入 r-1个其他的数值（不一定为零） ，而当 k 为 r 的整数 l 倍时，Y(k)与 X

14、k相等。r12. 已知 x(n) 是 N 点的有限长序列，X (k )DFT x( n) ，现将 x(n) 的每两点之间补进 r-1 个零值点，得到一个rN 点的有限长序列y(n).x(n / r ), n ir , n ir , i0,1, ,N 1y(n)其他 n0,试求 rN 点 DFT y(n) 与 X k的关系。解：()()N 1()nk ,01由kDFTxkNXx nn WNn 0可得rN1N1N 1Y(k) DFT y(n)y(n)WrNnkx ir r WrNirkx(i )WNik ,0 krN 1n0i0i 0而Y (k)X (k ) N RrN (k )所以 Y(k )

15、是将 X ( k) (周期为 N)延拓 r 次形成的，即 Y( k) 周期为 rN。13. 频谱分析的模拟信号以8kHz 被抽样，计算了512 各抽样的 DFT ，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明：由f ss , F0022得f ssF00其中s 是以角频率为变量的频谱的周期，0 是频谱抽样之间的频谱间隔。又f ssNF00则F0fsN对于本题有f s 8kHz, N 512800015.625HzF051214. 设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2 的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（

16、1）最小记录长度； （ 2）所允许处理的信号的最高频率； （ 3）在一定记录中的最好点数。解：（1）因为 T01，而F0 10Hz ，所以F0.T01 s10而最小记录长度为 0.1s。（2）因为 f01110 310kHz ，而T0.1f s2 f h所以f h1 f s 5kHz2即允许处理的信号的最高频率为5kHz 。（3） NT00.110 31000 ，又因 N 必须为2 的整数幂，所以一个记录中的最少点T0.1数为 N2101024 。15. 序列 x(n) 的共轭对称和共轭反对称分量分别为xe (n)1 x(n) x* ( n) ， xo (n) 1 x(n) x* ( n)22

17、长度为N 的有限长序列x(n) （ 0 nN-1 ）的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定义如下：xep (n)1 x(n) N x* ( n) N RN (n)2xop (n)1 x(n) N x* ( n) N RN (n)2（1）证明xep (n) xe ( n)xe ( nN ) RN ( n)xop (n) xo (n)xo (nN ) RN (n)（2）把 x( n) 看作长度为N 的序列， 一般说， 不能从 xep (n) 恢复 xe (n) ，也不能从 xop (n)恢复 xo (n) 。试证明若把x(n) 看作长度为N 的序列，且n N/2 时 x( n)0 ，则从xep

18、(n) 可恢复 xe (n) ，从 xop ( n) 可恢复 xo ( n) 。证明（ 1）方法一由于 x(n) 只在 0nN1的范围内有值，则有xep (n)1 x(n) N x* ( n) N RN ( n) 1 x(n) 1 x* ( N n)222n=0 时x* ( Nn)x* (0).（a） 0nN 1 时xe (n)1 x(n)x* (n)1 x( n)22xe (nN )1 x(n N )x* ( Nn)1 x* ( Nn)22所以xep ( n)1 xe (n)xe (n N ) RN (n)2（b） n=0 时x(nN )RN (n)0， x* ( Nn) RN (n)0则有

19、xep ( n)1 x( n) x* ( n) RN (n)1 x(n) x* ( n) x( n N ) x* ( N n) RN (n)22 xe (n) xe (n N ) RN (n)综上所述xep (n) xe ( n)xe ( nN ) RN (n)同理可证xop (n) xo (n)xo (n N ) RN (n)方法二（a） xep (n) xe (n) xe (n N ) RN (n)xe (n)1 x(n)x* (n)21 x(n)xe (n)RN (n)x* (0)( n)21xe (nN ) RN ( n) x( nN )x* ( Nn) RN (n)2因为x( nN

20、)RN ( n)0所以1*()*(0) ()xe (nN ) RN (n)2xN nxnN +得 xe (n) xe ( nN ) RN (n)1 x(n)x* ( Nn)x* (0) (n)x* (0) ( n N )（ b）由于2xe ( n) N1 x( n) Nx * (n) N 2x( n) N RN (n) x(n)x* (n) N RN (n)x* (Nn)x* (0)( n)x* ( 0) (nN )(4)+(5) 得.xep (n)1 x(n) N x* (n) N RN (n)21 x(n)x* ( Nn) x* ( N n) x* (0) (n) x* (0) ( n N

21、 )2(3) 与 (6)比较可知xep (n) xe (n)xe (n N ) RN (n)同理可证xop (n) xo (n)xo (n N ) RN (n)（2）利用（ 1）的结果xep (n) xe ( n)xe ( nN ) RN (n)xe (nN )1 x(nN )x* (n N )2 按照题意 ,当 0nN / 2时， x( n)0 。此时N n NN/2，N/2n N N所以当 0nN / 2 时， x(nN )0 ， x* (nN) 0，故xe (nN )0所以当 0nN/2时，xep (n)xe (n) 。当 N/2n1 时，按共轭对称有xe* ( n)1 x(n)x* (n)xe (n