数值计算matlab

1、精品文档数值计算非线性方程五种数值解法的matlab程序一、算法描述计算 n A 的值可以将问题转化为求函数f ( x) xnA0 时的解，可以利用函数的收敛性结合数值逼近的思想进行算法设计。1.1 二分法设 f ( x) 在区间（ x，y）上连续，假定 f ( a)0, f (b)0,a<b ，取中点 a b，若 f ( ab )0 ，22该点就是零点。若 f ( a b)0 , 则在区间（ (a+b)/2 ， b）内有零点， (a+b)/2>=a，令 aa b 继续22使用中点函数值判断。 若 f ( ab) 0 ，则在区间 (a,(a+b)/2)内有零点， (a+b)/2&l

2、t;=b ，令 bab 继22续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x) 的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。Matlab 实现 ：function erfen(A,n,a,b,e)a0=a;b0=b;f = (x)xn-A;m= 0;tic;if f(a)* f(b)<0m=1;c=(a+b)/2;fprintf('x%d=%12.9fn',m,c)while abs(a-b)>eif f(a)* f(c)<0b=c;c=(a+b

3、)/2;elseif f(c)*f(b)<0a=c;c=(a+b)/2;else y=c;endm=m+1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,c)endformat longy=c;elseif f(a)=0。1欢迎下载精品文档y=a;elseif f(b)=0y=b;else disp ('may not be a root')endmt = toc;fprintf('根为 : %.10fn',c);fprintf('初始值 : %.5f , %.5fn',a0,b0);fprintf('迭代次数 :

4、 %dn',m);fprintf('迭代时间 : %.10fn',t);1.2 牛顿法在 已 知 方 程 的 近 似 根 x0 ,且 在 x0附 近 将 f ( x)用一阶泰勒多项式展开即f ( x)f ( x0 ) f ' (x0 )( x x0 ) ，令 f (x)0即可解得 xx0f (x0 )。取此 x 作为原方程的新f ' (x0 )近似根继续重复以上步骤，于是可得迭代公式xk 1f ( xk )xkf '( xk )Matlab 实现：functionNewton(A,n,x0,e)begin=x0;f = (x)xn-A;df =

5、(x)n*x(n-1);x1=x0-f (x0)/df (x0);m=1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,x1);tic;while (abs (x1-x0)>=e)&(m<=100000000)x0=x1;x1=x0-f(x0)/df(x0);m=m+1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,x1);endx1mt = toc;fprintf('根为 : %.10fn',x1);fprintf('初始值 : %.5fn',begin);fprintf('迭代次数 : %dn&

6、#39;,m);fprintf('迭代时间 : %.10fn',t);1.3 简易牛顿法为简化计算，在牛顿迭代公式中用一常数M代替 f '( xk ) 即为简化牛顿迭代法，在此取f ' (x0 )f ' ( xk )。2欢迎下载精品文档Matlab 实现： function sNewton(A,n,x0,e)xk0=x0;f = (x)xn-A;df = (x)n*x(n-1);xk1=xk0-f (xk0)/df (x0);m=1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,xk1);tic;while (abs (xk1-xk0)

7、>=e)&(m<=100000000)xk0=xk1;xk1=xk0-f(xk0)/df(x0);m=m+1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,xk1);endxk1mt = toc;fprintf('根为 : %.10fn',xk1);fprintf('初始值 : %.5fn',x0);fprintf('迭代次数 : %dn',m);fprintf('迭代时间 : %.10fn',t)1.4 割线法在牛顿迭代公式中用差商f ( xk )f (xk 1) 代替 f '( x

8、k ) 即为割线法xkxk 1Matlab 实现function gexian(A,n,a,b,e)x0=a;x1=b;f = (x)xn-A;x2=x1-f (x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0);m=1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,x2);tic;while (abs (x2-x1)>=e)&(m<=100000000)x0=x1;x1=x2;x2=x1-f (x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0);m=m+1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,x2);endx2mt = toc;f

9、printf('根为 : %.10fn',x2);fprintf('初始值 : %.5fn',a,b);。3欢迎下载精品文档fprintf('迭代次数 : %dn',m);fprintf('迭代时间 : %.10fn',t1.5 斯特芬森法该迭代法解方程x( x) 可以看成是另一种不动点迭代：xk 1(xk ), k0,1,2,L 其中迭代函数为(x)( x)x)2得 到 迭 代 公 式 为 ：yk( xk ), zk( yk ) ；x2 (x)( (x)xxk 1( ykxk )20,1, 2Lxk2 yk, kzkxkMatl

10、ab 实现function Steffensen(A,n,x0,e)begin=x0;f = (x)xn-A;g = (x)A/(x(n-1);x1= x0-(g(x0)-x0)2/(g(g(x0)-2*g(x0)+x0)m=1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,x1)tic;while (abs (x1-x0)>=e)&(m<=100000000)x0=x1;x1= x0-(g(x0)-x0)2/(g(g(x0)-2*g(x0)+x0);m=m+1;fprintf('x%d=%12.9fn',m,x1)endx1mt = to

11、c;fprintf('根为 : %.10fn',x1);fprintf('初始值 : %.5fn',begin);fprintf('迭代次数 : %dn',m);fprintf('迭代时间 : %.10fn',t);二计算机软硬件配置电脑型号华硕 K52JU 笔记本电脑操作系统Windows 7 旗舰版 32 位 SP1 ( DirectX 11 )处理器英特尔 Core i3 M 380 2.53GHz双核笔记本处理器内存2 GB (昱联 DDR3 1333MHz )Matlab 版本三参数设置n A ， e（精度），a，b（区

12、间）， x0 初始值。4欢迎下载精品文档四计算结果（以计算3 500 为例）erfen(500,3,0,10,0.000001)gexian(500,3,0,10,0.000001)newton(500,3,10,0.000001)snewton(500,3,10,0.000001)steffensen(500,3,10,0.000001)迭代次数二分法割线法牛顿法简易牛顿斯特芬森15.0000005.0000008.3333338.3333338.75000027.5000007.1428577.9555558.0709878.08548138.7500008.3561647.9370487

13、.9851517.94244148.1250007.8937927.9370057.9546367.93701257.8125007.9347937.9370057.9435047.93700567.9687507.9370177.9394077.93700577.8906257.9370057.93789387.9296877.9370057.93733397.9492187.937126107.9394537.937050117.9345707.937021127.9370117.937011137.9357917.937007147.9364017.937006157.9367067.9

14、37005167.936859177.936935187.936973197.936992207.937002217.937006227.937004237.937005247.937005257.937005迭代次数2585156迭代时间0.0500000.0100000.0000000.0000000.010000根7.9370057.9370057.9370057.9370057.937005四分析结果及结论由以上运行结果可知，牛顿法的收敛速度最快，二分法收敛速度最慢。5欢迎下载精品文档牛顿法、割线法和斯特芬森得到的结果精度最高，迭代次数由低到高排列为：牛顿法，斯特芬森，割线法，简易牛顿法，二分法。出现这种结果的原因是：二分法