数列解题技巧归纳总结-打印

1、精品文档等差数列前 n 项和的最值问题：1、若等差数列an的首项 a10，公差 d0，则前 n 项和 Sn 有最大值。（）若已知通项an ，则 Sn 最大an0；an 10（）若已知Snpn 2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然数时Sn 最大；2 p2、若等差数列an的首项 a10 ，公差 d0 ，则前 n 项和 Sn 有最小值（）若已知通项an ，则 Sn 最小an0；an 10（）若已知 Snpn 2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然数时Sn 最小；2 p数列通项的求法： 公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。 已知 Sn （即 a1a2Lanf (n) ）求 an ，用作

2、差法 ： anS1 ,( n 1)。SnSn1,( n2)f (1),(n1)已知 a1 ga2 gLganf (n) 求 an ，用作商法： anf (n),( n。f (n1)2) 已知条件中既有Sn 还有 an ，有时先求 Sn ，再求 an ；有时也可直接求an 。 若 an 1anf (n) 求 an 用累加法 ： an( anan 1 )(an1an 2 )L(a2 a1 )a1 ( n2) 。 已知 an 1f (n) 求 an ，用累乘法 ： ananan1La2 a1 (n2) 。anan1an2a1 已知递推关系求an ，用构造法 （构造等差、等比数列） 。特别地 ，（1）

3、形如 ankan 1b 、 ankan1bn （ k ,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列 后，再求 an ；形如 ankan 1k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后，再求 an 。an 1（ 2）形如 an的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1b（ 3）形如 an 1 an k 的递推数列都可以用对数法求通项。（ 7）（理科） 数学归纳法 。1欢迎下载。精品文档（ 8）当遇到 an 1 an 1d或 an 1q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an 1一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由

4、递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 为常数）例 1、已知 a n 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-a n=2 为常数 a n 是首项为 1，公差为2 的等差数列 an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1例 2、已知 an 满足 an 112 ，求 an =？an ，而 a12（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）例 3、已知 an 中 a11an1，求 an .， an 14n221解： 由已知可知 an 1an1111)

5、1)( 2n 1)2(12n(2n2n1令 n=1， 2，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a -a） +（ a -a）+ +（ a -an-1）2132nana11 (11)4n322n14n2 说明只要和 f （ 1） +f （ 2）+ +f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1， 2，（ n-1 ）代入，可得 n-1 个等式累加而求 an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p，q 为常数）例 4、 an 中， a11，对于 n 1（n N）有 an3an 12 ，求 an .解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2， an=3

6、an-1 +2。两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a 1=（ 3× 1+2） -1=4n+1nn-1n+1nnnn-1nn-1-1 a -a=4·3 a =3a +2 3a +2-a =4· 3即 a =2· 3解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=4·3，a4-a 3=4·32，an-a n-1 =4·3n-2 ，把 n-1 个等式累加得： an=2·3n-

7、1-12欢迎下载。精品文档(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p，q 为常数）bn 1bn2 (bn bn 1 ) 由上题的解法，得： bn3 2( 2 )n anbn3( 1 ) n2( 1) n332 n23(5) 递推式为 an 2pan 1qan思路：设 an 2pan 1qan , 可以变形为： an 2an 1(an 1an ) ，想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求 an 。(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式3欢迎下载。精品文档关系；（ 2）试用 n 表示 an。 Sn 1 Sn( an an 1 ) (11n 22n 1

8、)2 an 1 an an 11 an 11 an12n 122n上式两边同乘以2n+1 得 2n+1an+1=2nan+2 则2 nan 是公差为2 的等差数列。 2nan= 2+ （ n-1 ）· 2=2n2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1 3 5 (2n-1)=n 2【例 8】 求数列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19），前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有 1+2+ +n= 1 n(n 1) 个奇数，2最后一个奇

9、数为：1+ 1 n(n+1)-1× 2=n2+n-12因此所求数列的前n 项的和为（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1·（ n2-1 ） + 2 ·（ n2-2 2） +3·（ n2-3 2） + +n（ n2-n 2）解23333）S=n （ 1+2+3+ +n）- （ 1 +2 +3 + +n4欢迎下载。精品文档（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和： Sn3Cn16Cn2L3nCnn例 10、解

10、Sn012n0 ? Cn3Cn6CnL 3nCn S n=3n·2n-1（ 4）、错位相减法如果一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的 ，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列 1， 3x ， 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 项的和解n2+ +(2n-1)xn-1设 S =1+3+5x(2)x=0 时， S =1n(3) 当 x 0 且 x 1 时，在式两边同乘以23nx 得 xS n=x+3x +5x + +(2n-1)x， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x 2+2x3+2xn-1 -(2n-1)x n(

11、5) 裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：5欢迎下载。精品文档例 12、求和11111? 53 ?75 ?9L(2 n 1)(2n 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 a n 的首项 a10，前 n 项的和为Sn，若 Sl =Sk（l k）问 n 为何值时Sn 最大？此函数以n 为自变量的二次函数。a1 0S l =Sk （ l k）， d0 故此二次函数的图像开口向下 f （ l ） =f （ k）2方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知q 1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1， S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q 1整理得q 3（ 2q6-q 3-1 ） =0 q06欢迎下载。精品文档此题还可以作如下思考：33336S6=S3+q S3=（ 1+q ）S3 。S9=S3+q S6 =S3（ 1+