数列常见题型总结经典

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢高中数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1前 n 项和法（知 Sn 求 an ） anS1(n1)SnSn 1 (n2)例 1、已知数列 an 的前n项和S12nn 2 ，求数列| an |的前n项和Tnn变式：已知数列 an 的前 n 项和 Snn212n ，求数列 |an | 的前 n 项和 Tn练习：1、若数列 an 的前 n 项和 Sn2n ，求该数列的通项公式。答案：an2( n1)2n 1( n2)2、若数列 an 的前 n 项和 Sn3 an3 ，求该数列的通项公式。答案：an23n3、设数列 的前2n2 ，ann项和为Sn，

2、数列 Sn 的前n项和为Tn，满足T2Snn求数列 an 的通项公式。4. Sn 为 an 的前 n 项和， Sn =3（ an 1），求 an （ n N +）5、设数列a满足 a1 3a2 32 a3 +3n-1 ann (n N * ) ，求数列a的通项公式（作差法）n3n2. 形如 an1anf (n) 型（累加法）（ 1）若 f(n)为常数 , 即： a n 1a nd , 此时数列为等差数列，则an =a1 (n1)d .（ 2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法 .例 1.已知数列 an1 1,a3n 1a(n2), 证明an3n1满足nn 1a2N* )写出数列例 2.已知

3、数列an的首项为1，且 an1an2n(nan的通项公式 .例 3.已知数列 an 满足 a13 ， anan11( n2) ，求此数列的通项公式 .n(n1)3. 形如 an 1f(n) 型（累乘法）a n（ 1）当 f(n)为常数，即：an 1q （其中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且an = a1q n 1.an（ 2）当 f(n)为 n 的函数时 , 用累乘法 .例 1、在数列 an 中 a1 1, annan 1(n2) ，求数列的通项公式。答案：an2练习：n1n 11、在数列 a 中a1, an1 an 1(n2)，求a与 S 。答案： a2n1nn1nnn1)n( n

4、2、求数列 a11,an2n3 an 1(n2) 的通项公式。pan2n14. 形如 an1型（取倒数法）ra n 1s精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢例 1. 已知数列 an中， a12， anan 1( n2) ，求通项公式 a n2an11练习： 1、若数列 an 中， a11,anan,113an1求通项公式 an . 答案： an23n2、若数列 an 中， a11 ， an1an2an an 1，求通项公式 an . 答案： an112n5形如 an 1cand, (c0 , 其中 a1a ) 型（构造新的等比数列）（ 1）若 c=1 时，数列 an 为等差数列

5、; （ 2）若 d=0 时，数列 a n 为等比数列 ;（ 3）若 c1且d0 时，数列 a n 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设 an 1Ac(anA) , 利用待定系数法求出A例 1已知数列 an 中，11求通项 an .a12, an 12 an2 ,练习： 1、若数列 an 中， a12 , an 12an1, 求通项公式 an 。答案： an 2n112、若数列 a中， a1 ,2, 求通项公式 a。答案：2n1an 1an1an 3 2 ( )n1n6. 形如 a n 133pa nf (n) 型（构造新的等比数列）(1) 若 f ( n)knb

6、一次函数 (k,b是常数，且 k0) ，则后面待定系数法也用一次函数。例题 .在数列 an 中， a13an 16n3, 求通项 an .， 2an2解：原递推式可化为2(anknb)an 1k(n1)b比较系数可得： k=-6,b=9,上式即为 2bnbn1所以 bn 是一个等比数列，首项b1a16n99, 公比为1 .22bn9 ( 1) n 1即： an6n 99 ( 1) n ，故 an9 ( 1) n6n 9 .22an 中， a13 ， an22练习： 1、已知数列13an4n2 ，求通项公式 an(2) 若 f (n)q n ( 其中 q 是常数，且 n0,1)若 p=1 时，即

7、： an 1anq n ，累加即可若 p1时，即： a n1panq n ，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以qn1即：an1pan1.q n1qq n,q令 bnan, 则可化为 bn1pbn1. 然后转化为类型5 来解，q nqq例 1. 在数列 an 中， a2n 1求通项公式an，且an2an 1 3 (n N )151( 1) n ，求通项公式 an 。答案： ann 11、已知数列an中， a1， 2anan 1222n 12、已知数列an中， a11 ， an 13an3 2 n ，求通项公式 an 。答案： an7 3n 13 2n题型二根据数列的性质求解（整体思想）1、

8、已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， a6100 ，则 S11；精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列an 、 an的前 n 项和， Sn7n2 ，则 a5.Tnn 3b53、设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若a55,则S9（）a39S55、在正项等比数列an中， a1a5 2a3 a5a3a725 ，则 a3a5_ _。6、已知 Sn 为等比数列an 前 n 项和， Sn54， S2 n60 ，则 S3 n.7、在等差数列an中，若 S41, S84 ，则 a17a18a19a20 的值为（）8、在等比数列中，已知a9a10a

9、(a0) ， a19a20b ，则 a99a100.题型三：证明数列是等差或等比数列A) 证明数列等差例 1、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2Sn·Sn 1=0（ n 2）， a1=11.求证： 是等差数列；2SnB）证明数列等比例 1、已知数列an满足 a1 1,a2 3, an 2 3an 12an (n N * ).证明：数列an 1an 是等比数列；求数列an 的通项公式；题型四：求数列的前n 项和基本方法： A ）公式法，B）分组求和法1、求数列 2 n2n3 的前 n 项和 Sn .2. Sn1357( 1) n (2n 1)3.若数列 an 的通

10、项公式是an ( 1)n ·(3n 2)，则 a1 a2 a10()A 15B 12C 12D 154.求数列1， 2+1 ，3+1 ，4+1 ， n12482n 15.已知数列 an 是 3 2 1,6 22 1,923 1,12241，写出数列 an 的通项公式并求其前n 项和 Sn.C ）裂项相消法 ，数列的常见拆项有：1111；1n 1n ；()n 1n(n k) k n n kn例 1、求和： S=1+1112123123n1例 2、求和：1111.213243n1nD ）倒序相加法，例、设 f (x)1x22 ，求： f ( 20101)f ( 20091 )f ( 13

11、)f ( 21 )f (2)f (2009)f ( 2010).xE ）错位相减法，精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢1、若数列 an的通项 an(2n 1)3n ，求此数列的前n 项和 Sn .2. Sn 1 2x3x2nxn 1 ( x0)（将分为 x1和 x 1 两种情况考虑）题型五：数列单调性最值问题例 1、数列 an 中， an2n49 ，当数列 an的前 n 项和 Sn 取得最小值时， n.例 2、已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， a125, a416. 当 n 为何值时， Sn 取得最大值；例 3、设数列an的前 n 项和为 Sn 已知 a1a ， an

12、 1Sn3n ， n N*（）设 bnSn3n ，求数列bn的通项公式；（）若 an1 an ， nN*，求 a 的取值范围题型六：总结规律题1 已知数列an满足 an5an 12 (n2, nN * ) ，且 an前 2014 项的和为403，则数列 an an 1的前 2014an 15项的和为？2 数列 an 满足 an+1 ( 1)n an 2n1，则 an 的前 60 项和为？常见练习1方程 x26x4 0 的两根的等比中项是（）A 3B 2C6D 22、已知等比数列an 的前三项依次为 a1， a1， a4，则 an3nnn1n12C 43D 42A 4B 423233一个有限项的

13、等差数列，前 4 项之和为40，最后 4 项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为 （）A 12B 14C 16D184 a n 是等差数列， S100, S110 ，则使 an0 的最小的 n 值是（）A 5B 6C7D 85.若数列 1,2cos, 22 cos2,23 cos3, 前 100 项之和为 0，则的值为（）A. k( kZ) B.2k3( kZ )C.2k2(kZ )D.以上的答案均不对336.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成A. 等差B.等比C.非等差也非等比D. 既等差也等比7如果等差数列an 中， a3 a4a512，那么 a1a2.

14、a7()（A）14（B）21（C）28（D） 358. 设数列 an 的前 n 项和 Sn n3，则 a4 的值为 ()精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢（ A） 15(B) 37(C)27（ D） 649. 设等比数列 an 的公比 q2 ，前 n 项和为 Sn ，则S4（）a2A 2B 4C 15D 172210. 设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，已知3S3a42， 3S2a32 ，则公比 q（）（A）3（B）4（ C）5（D）611已知 an 是等比数列， a21a2a3anan 12 ， a5，则 a1a2（）32 (1 2 n )432 (1A B 16(14

15、n )C 16(12 n )D4 n )3312. 若数列a的通项公式是 an (1)n (3n2) ，则 a1 a2a20 ()n（ A）30（B）29（ C） -30（D） -2913.已知等比数列an满 足an0 n,， 且 a5an25 22 n (n3，)则当n 1时 ，1,2,l o 2ga1l oa2 g 3nal2o g2（）A.n(2 n1)B.(n 1)2C.n2D.(n1)2巳知函数 f (x)cos x, x(0,2) 有两个不同的零点x1 , x2, 且方程 f (x)m 有两个不同的实根x3, x4 . 若把14这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )ABCD15已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn t ·5n 21，则实数 t 的值为 ()541A 4B 5C.5D.516已知等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn， a4+a7+a10=9， S14S3=77，则使 Sn 取得最小值时n 的值为（）A 4B 5C 6D