数学一模汇编：几何综合题精品资料

1、2012 年北京市中考数学一模分类汇编几何综合等边三角形、等腰三角形+旋转变换1. （燕山）已知：如图，点 P是线段 AB上的动点，分别以 AP、BP为边向线段 AB的同侧作正 APC和正 BPD， AD和 BC交于点 M.（ 1）当 APC和 BPD面积之和最小时，直接写出AP:PB的值和 AMC的度数；（ 2）将点 P 在线段 AB上随意固定，再把 BPD按顺时针方向绕点 P 旋转一个角度 ，当 <60°时，旋转过程中， AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.（ 3）在第（ 2）小题给出的旋转过程中，若限定60°< <120°， AMC的大

2、小是否会发生变化？若变化，请写出AMC的度数变化范围；若不变化，请写出AMC的度数 .CMDAPB8. 1 ， 60° 2 分 不变化 .证明：如图，点E 在 AP的延长线上，CBPE= <60° . （只要画出了符合题意的图形即可得分）3 分 BPC= CPD+60° , DPA= CPD+60° , BPC=DPA.在 BPC和 DPA中，又 BP=DP， PC=PA，M BPC DPA. 4 分AP BCP=DAP. AMC=180° - MCP- PCA- MAC= 120° - BCP - MAC=120°

3、- （ DAP+ MAC） - PCA=120° - PAC= 60 °，且与 的大小无关 . 6 分 不变化， 60° 7 分2. （东城） 已知 ABC=90°，点 P 为射线 BC上任意一点（点 P 与点 B 不重合），分别以AB、 AP为边在 ABC的内部作等边ABE和 APQ,连结 QE并延长交 BP于点 F.（ 1）如图 1，若 AB= 2 3 ，点 A、 E、 P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（ 2）如图 2，当点 P为射线 BC上任意一点时，猜想 EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段） ，并加以证

4、明；（ 3）若 AB= 23 ，设 BP= x ，以 QF为边的等边三角形的面积y，求 y 关于 x 的函数关系DEB式24.（本小题满分7 分）解：（ 1） EF=2 1 分（2）= 2 分EF BF证明： BAP= BAE- EAP=60° - EAP ，60°-， BAP=EAQEAQ= QAP- EAP=EAP在 ABP和 AEQ中，AB=AE， BAP= EAQ， AP=AQ， ABP AEQ AEQ= ABP=90° BEF 180AEQAEB180906030 又 EBF=90° -60 ° =30°， EF=BF 4

5、分(3) 在图 1 中，过点 F 作 FD BE于点 D ABE是等边三角形 , BE=AB=2 3 由（ 2）得EBF30°，在 Rt BDF中， BD3 BF= BG2cos30E=2 EFAABP AEQ , QE=BP=x QF=QE EF x 2 以 QF为边的等边三角形的面积CDBy=32)2323x 3图 1( xx443（顺义） 问题： 如图 1， 在 Rt ABC 中，C90 ，ABC30 ，点 D 是射线上CB任意一点， ADE是等边三角形，且点 D在ACB 的内部，连接BE探究线段 BE与 DE之间的数量关系请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一

6、般情况进行分析并加以证明.（1） 当点 D与点 C重合时（如图 2），请你补全图形由BAC 的度数为，点 E落在，容易得出BE与之间的数量关系为；DE（2） 当点 D在如图3 的位置时， 请你画出图形， 研究线段 BE与 DE之间的数量关系是否与（ 1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明AAC(D)BCBD图2图3E解：（ 1）完成画图如图2，由BAC 的度数为 60 °，点 E落在AB的中点处，容易得出 BE与 DE之间的数量关系为BE=DE； 3分A 2（2）完成画图如图31F猜想： BEDE 证明：取 AB的中点 F，连结 EFCB D1ACB90 ，ABC 30，1 60

7、，CFAFAB 图 3ACAF 2 ACF 是等边三角形4分是等边三角形，2 60，ADEADAE 12 1BAD2BAD 即CADFAE 5 分由得 ACD AFE（SAS） 6分ACDAFE90 F 是 AB的中点， EF是 AB的垂直平分线BE=AE.7 分 ADE是等边三角形， DE=AE. BE DE 8 分4. （延庆）如图 1，已知：已知：等边 ABC，点 D是边 BC上一点（点 D 不与点 B、点 C 重合），求证： BD+DC > AD下面的证法供你参考：A把 ACD 绕点 A 瞬时间针旋转 60 得到 ABE ，连接 ED，则有ACDABE ,DC=EB AD=AE,

8、 DAE 60 ADE 是等边三角形AD=DE在DBE 中， BD+EB > DEBC即： BD+DC>AD图 1 D实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图 2，点 D 是等腰直角三角形ABC边上的点（点D不与 B、 C 重合），求证： BD+DC> 2 ADAABCBCD图2图3D（ 2）如果点 D 运动到等腰直角三角形 ABC外或内时， BD、 DC和 AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论 .（ 1）证明：把 ACD 绕点 A 瞬时针旋转 90 得到 ABE连接 ED， -1 分，A则有ACDABE ,DC=EBAD=AE,DAE90 ADE

9、 是等腰直角三角形DE=2 AD-2分在 DBE 中， BD+EB > DE即： BD+DC> 2 AD -3分（2） BD+DC 2 AD -4分（ 3）猜想 1： BD+DC 2AD证明：把 ACD 绕点 A 顺时针旋转，得到 ABE则有 ACDABE , DC=EB， ACD= ABE -5 BAC+BDC=180 o ABD+ ACD=180 o ABD+ABE=180 o即： E、 B、D 三点共线 -6分E AD=AE, 在 ADE 中 AE+AD>DE即 BD+DC2AD -7分或者猜想 2：BEBC D分ACDAED 是等腰三角形由全等可得：CAD=BAEEA

10、D= 过A作 AF DE于 F点11则 EAF= 2 ,DF= 2 DE= 2 (BE+BD )在 RtAFD 中， DF=AD ?sin-7分12即：(BE+BD )=AD ?sin2间接利用旋转变换添加辅助线25（密云）已知：正方形ABCD 中，MAN45 ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点CB、DCM、 N（ 1）如图 1，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，有 BM DN MN 当 MAN绕点 A 旋转到 BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（ 2）当MAN 绕点 A 旋转到如图3 的位置时，线段BM， DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明解：（ 1）答：（ 1）中的结论仍然成立，即BM DN MN证明：如图2，在 MB的延长线上截取BE=DN，连结 AE 易证 ABE ADN（）SAS AE=AN； EAB=NADBAD90 ,NAM45 ,BAMNAD45.EABBAM45.EAMNAM又AM为公共边，AEM ANMMEMNMNMEBEBMDNBM即DN（ 2）猜想：线段BMMNBM，DN -4和 MN 之间的等量关系为：分DNBMMN证明：如图3，在 DN延长线上截取DE=MB，连结 A E 易证 ABMADE（