数学分析三试卷及答案

1、精品文档数学分析( 三 ) 参考答案及评分标准一 .计算题（共8 题，每题 9 分，共 72 分）。1.求函数 f ( x, y)3x sin 13y sin 1 在点 (0,0)处的二次极限与二重极限 .yx解： f ( x, y)3 x sin13 y sin13 x3 y，因此二重极限为 0 . (4分)yx因为 lim 3x sin 13y sin1 与 lim 3x sin 13y sin 1 均不存在，x 0yxy 0yx故二次极限均不存在。 (9分)2. 设 yy( x), 是由方程组z xf ( xy), 所确定的隐函数 , 其中 f 和 F 分别zz(x)F ( x, y,

2、z)0具有连续的导数和偏导数, 求 dz .dx解： 对两方程分别关于x 求偏导 :dzf (xy)xfdy，dx( x y)(1)dx (4分)FxFydyFzdz0。dxdx解此方程组并整理得dzFyf ( x y)xf ( xy)( FyFx ) (9分)dxFyxf (xy)Fz.3.取 ,为新自变量及w w( ,v) 为新函数，变换方程2 z2 zzz 。x2x yx设xy ,xy ,wzey （假设出现的导数皆连续） .22解： z 看成是 x, y 的复合函数如下：zwy , w w( , ),x y ,x y 。(4 分)e22代人原方程，并将 x, y, z变换为 , ,w

3、。整理得：2 w2 w2w 。 (9分)24. 要做一个容积为 1m3 的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省 ?解： 设圆桶底面半径为 r , 高为 h , 则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数 :S表2 rh2 r 2 ,。1欢迎下载精品文档约束条件 :r 2 h1。r 2r 2h 1) 。 (3 分)构造 Lagrange 函数：F (r , h,)2rh 2(令Fr2h4 r2 rh0,(6 分)Fh2rr 20.解得 h 2r，故有 r31, h34由题意知问题的最小值必存在，当底面半2.径为 r31高为 h34时，制作圆桶用料最省。 (9 分),2y35.

4、 设 F ( y)e x2 y dx , 计算 F ( y) .y2解：由含参积分的求导公式F ( y)y3x2 ydxy32x2 y2ex2 y2 yex2 y (5 分)y2 ey2x edx 3yx y3x y2yy32ydx 3y2e y72 ye y5y2 x2 e x7 y2e y75 ye51y32ydx 。(9 分)y2 e x222yyx2y22xy6. 求曲线所围的面积，其中常数a,b, c0.a2b2c2解：利用坐标变换xacos ,由于 xy0 ，则图象在第一三象限，从而可y b sin .以利用对称性，只需求第一象限内的面积。,02,0ab2 sincos 。 (3

5、分)c则1(x, y)ab2V 2d d22dc 2 sincos (6 分)( , )00ab da2b22 sincosdc20a2b2(9 分)2c2.52, 其中 L 是 圆柱面 x2y 21与平面7. 计算曲线积分 3xdyydzzdxLz y 3的交线（为一椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向 .解： 取平面 z y 3上由曲线 L 所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面 ，定向为上侧，则 的法向量为。2欢迎下载精品文档cos,cos,cos0,1,1。(3 分)22由 Stokes 公式得coscoscos3zdx5xdy 2 ydzdSLxyz3z5x2 y2dS(6

6、 分)22dxdyx2 y2 12(9 分)8. 计算积分, S 为椭球 x2y2z21的上半部分的下侧.yzdzdxa2b2c2S解：椭球的参数方程为 xa sin cos, ybsinsin , z c cos，其中02,02, 且( z, x)ac sin2sin。 (3 分)(,)积分方向向下，取负号，因此，yzdzdx22 bac2 sin3 cossin2d (6 分)0d0bac22d2 sincosd0sin 2304abc2 (9 分)二 . 证明题（共3 题，共 28 分）。9. （9 分）讨论函数 f (x)xy3,x2y20x2y4在原点 (0,0) 处的连续性、0,x

7、2y20可偏导性和可微性 .解：连续性：当 x2y20 时，xy2x2y4yy，当 x, y0,0 ，f ( x)x2y4 yx2y4 220从而函数在原点 0,0处连续。 (3 分)可偏导性： f x 0,0limf0x,0f0,00，0xxfy0,0limf0,0yf0,00 ，yy0。3欢迎下载精品文档即函数在原点0,0 处可偏导。 (5 分)ffx x f y yx y31不存在，可微性： limx2y2limyx2x2y2 0x2 y2 0 x24y2从而函数在原点 0,0处不可微。 (9 分)10. （ 9 分） （9 分） 设 F x, y 满足：（1）在 Dx, yx x0a,

8、y y0b 上连续，（2） F x0 , y00 ，（3）当 x 固定时，函数 Fx, y是 y 的严格单减函数。试证：存在0，使得在xxx0上通过 F x, y0 定义了一个函数 yy(x) ，且 yy( x) 在上连续。证明：（i ）先证隐函数的存在性。由条件（ 3）知，F x0 , y在y0b, y0b上是y的严格单减函数，而由条件（2）知 F x0 , y00 ，从而由函数 Fx0 , y 的连续性得F x0 , y0b 0 ， F x0 , y0b 0 。现考虑一元连续函数 F x, y0b 。由于 Fx0 , y0b 0 ，则必存在 1 0 使得F x, y0b 0 ， x O (

9、 x0 , 1 ) 。同理，则必存在20 使得F x, y0b 0 ， x O ( x0 , 2 ) 。取min( 1, 2 ) ，则在邻域 O (x0 , ) 内同时成立F x, y0 b0 ， F x, y0 b0 。 (3 分)于是，对邻域 O( x0 ,) 内的任意一点 x ，都成立F x, y0 b0 ， F x, y0 b0。固定此 x ，考虑一元连续函数 Fx, y。由上式和函数 Fx, y 关于 y 的连续性可知，存在 F x, y 的零点 y y0b, y0b 使得F x, y 0。而 F x, y 关于 y 严格单减，从而使 F x, y 0 的 y 是唯一的。再由 x 的

10、任意性，证明了对 :O ( x0 , ) 内任意一点，总能从 Fx, y 0 找到唯一确定的 y 与 x 相对应，即存在函数关系f : xy 或 yf ( x) 。此证明了隐函数的存在性。 (6 分)（ ii ）下证隐函数 yf ( x) 的连续性。设 x* 是 : O ( x0 , ) 内的任意一点，记 y* : fx* 。对任意给定的0 ，作两平行线y y*，y y*。由上述证明知。4欢迎下载精品文档F x* , y*0 ， F x* , y*0 。由 F x, y的连续性，必存在 x* 的邻域 O (x* , ) 使得F x, y*0 ， F x, y*0，x O (x* , ) 。对任

11、意的 xO (x* ,) ，固定此 x 并考虑 y 的函数 F x, y，它关于 y 严格单减且F x, y*0 ， F x, y*0 。于是在 y*, y*内存在唯一的一个零点y 使F x, y0 ，即 对任意的 xO (x* , ) ，它对应的函数值 y 满足 yy*。这证明了函数y f ( x) 是连续的。(9 分)111dx 在 02 上是否一致收敛，并给出证明。11. （ 10 分）判断积分xsin0x证明：此积分在 02 上非一致收敛。证明如下：作变量替换 x1 ，则t11sin11sin tdt 。 (3 分)0 xdxt2x1不论正整数 n 多么大，当 tA , A 2n, 2

12、n3时，恒有44sin t2 。 (5 分)2因此，A1sintdt2A1dt (7 分)At 22At 2214t2At222时。20 ，当42n344因此原积分在 02 上非一致收敛。 (10 分)注：不能用 Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：尽管对任意的 B1 积分Bsin tdt 一致有界，且函数1关于 x 单调，但是当1t221x时，关于0,2并非一致趋于零。事实上，取t n, 相应地取1t1112，则 limlim1 0 ，并非趋于零。nt211tnn nlim nnn 数学分析 3模拟试题一、解答下列各题（每小题5 分，共 40 分）。5欢迎下载精品文档1

13、、 设 zln(xy ), 求xzyzxy ；uz sin y ,x3s22t , y4s 2t 3 , z 2s23t 2 ,u ,u2、x求stuexsin(x2 u( 2,1),xy)3、设y求在点处的值；4、求由方程 xyzx 2y 2z 22 所确定的函数 zz( x , y) 在点 (1,0, 1)处的全微分 dz ；5、求函数 uln( x 2y 2z2 ) 在点 M (1,2, 2) 处的梯度 gradu (1,2,2) ；6、求曲面 zez2 xy3 在点（ 1，2， 0）处的切平面和法线方程；e xe 2 x7、计算积分：0xdx；8、计算积分：I1dx1e y2dy0x；x 2y 2z21二、 (10 分 ) 求内接于椭球a 2b 2c 2的最大长方体的体积， 长方体的各个面平行于坐标面。三、（ 10 分 ） 若 D 是 由 xy 1和两坐标轴围成的三角形区域，且1f ( x )dxdy( x )dx( x).D0，求ydarctg, 其 中 D 是 由 圆 周 x2y 2四、（ 10分）计算 Dxy0y x 所围成的在第一象限内的闭区域.五、（ 10Ie x ( 1cos y)dx ( y sin