数列知识点及常用结论

1、精品文档数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式： ana1(n 1)d（从第 1 项 a1 开始为等差）anam(nm)d（从第 m项 am 开始为等差）an amndanam (n m)dan amdmn前 n 项和公式：Snn(a1an )n(n1)2na1d2（2）证明等差数列的法方定义法： 对任意的 n，都有 an 1 and （ d 为常数） an 为等差数列等差中项法：2an 1anan 2 （ nN * ） an 为等差数列通项公式法：an =pn+q (p， q 为常数且 p 0) an 为等差数列即： 通项公式位 n 的一次函数，公差dp ，首项 a

2、1 p q前 n 项和公式法： Snpn2qn (p， q 为常数 ) an 为等差数列即： 关于 n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论若数列 an ， bn 为等差数列，则数列 an k ， k an ， an bn ， kan b (k ， b 为非零常数 ) 均为等差数列 .若 m+n=p+q (m， n，p， q N * ) ，则 anam =a p aq .特别的，当 n+m=2k时，得 anam = 2ak 在等差数列 a 中，每隔 k(k* ) 项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍nN为等差数列，且公差为 (k+1)d( 例如： a1 ， a4 ， a7 ， a10仍为

3、公差为 3d 的等差数列 )。1 欢迎下载精品文档 若数列 an 为等差数列，则记 Ska1a2ak ，S2 kSkak 1 ak2a2 k ，S3kS2ka2k 1 a2k 2a3k，则Sk，S2kSkS S仍成等差数列，且公差为kd， 3k2k2 若 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，则数列 Sn 也为等差数列 .n anS1 ,( n 1)此性质对任何一种数列都适用Sn Sn 1 ,( n2)求 Sn 最值的方法：I:若 a1 >0，公差 d<0，则当ak0ak时，则 Sn 有最大值 , 且 Sk 最大；10若 a1 <0，公差 d>0，则当ak0时，则 S

4、n 有最小值，且 Sk 最小；ak 10II：求前 n 项和 Snpn2qn 的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当 nk 时， Sk为最值，是最大或最小，通过Sn 的开口来判断。二、等比数列（1）等比数列的基本公式通项公式：ana1qn 1（从第 1 项 a1 开始为等比）anam qn m（从第 m项 am 开始为等差）前 n 项和公式：Sna1 (1qn ) ,( q 1) ， Sn na1,( q 1)1 q（ 2）证明等比数列的法方定义法： 对任意的 n，都有 an1 qan (an0)an 1q (q 0) an 为等比数列an等比中项法：a2aa（an 1 an 1） a

5、n为等比数列nn 1 n 10通项公式法： anaq n 1 (a, q是不为 0的常数 ) an 为等比数列。2 欢迎下载精品文档（3）常用结论若数列 an ， bn 为等比数列，则数列 1 ， k an ， an2 ， a2 n 1 ， an bn an anbn(k 为非零常数 )均为等比数列 .若 m+n=p+q (m， n ， p ， qN * ) ，则 an am = ap aq .特别的，当n+m=2k时，得 an am = ak2在等比数列 an 中，每隔 k(k N *) 项取出一项， 按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 qk 1 ( 例如： a1， a4 ，

6、 a7 ， a10仍为公比 q3的等比数列 )若数列 an 为等差数列，则记Sk a1a2ak ， S2kSkak 1 ak 2a2k ， S3kS2ka2k 1 a2k 2a3k，则 Sk， S2kSk ， S3 kS2k 仍成等比数列，且公差为q k。3 欢迎下载精品文档三、求任意数列通项公式an 的方法（ 1）累加法： 若 an 满足 an+1=an+f(n) 利用累加法求： anana1(a2a1 )( a3a2 )(a4a3 )(anan 1)例题：若 a11，且 an 1an2n，求： an练习题： 若数列 an 满足 an 1 an 2n 10 ，且 a1 0。4 欢迎下载精品文档（2）累乘法： 若 an 满足 an 1f (n)an 利用累乘法求： anan a1 ( a2 ) ( a3 ) ( a4 )( an )a1 a2 a3an 1例题：在数列 an 中， a11 ,an 1n 1 an ，求： an .2n练习题： 在数列 an 中， a11且 annan