数学分析试题库--计算题、解答题--答案

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢数学分析题库（1-22 章）四计算题、解答题求下列极限解： . lim n24lim (n2)(n2)lim (n2)nn 2nn2n lim(111L1)n1 223n( n1)lim(11111L11)n1223nn1lim(11)1nn1 lim ex1limex11x 0cos xx0 cos x1. 这是 0 型，而0(111 ln(1x)x) x ex1111(1x) x ln(1x)x2x1x(1x)1xx(1x) ln(1x)x2 (1x)故原极限 lim(1x)1xx(12x) ln(1x)x0x(1x)e lim1ln(1x)12x3

2、x2x0e lim1126 xx1x05lim n 31lim (n1)(n 2n1)lim ( n2n1) 3n 1 n 1n 1( n 1)n 16 lim(1112 ) nnnn精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢n2n (n1)lim(112 ) n 1n2nnn1因 limn(n1)limn 2n21，n 1nn故原极限 e1e .7用洛必达法则lim 12sin xlim2 cos x3xcos3xx63sin 3x368.lim( 11)lim ex1xx 0 xex1x 0 x(ex1)limex1limex1ex12ex2x 0 xexx 0 xex9.lim t

3、an xx ;x 0 xsin x解法 1：limtan xxlimsec2 x1xsin x1 cos xx0x0lim1cos2xcos x）x0 cos2 （x1lim1cosxcos2 xx0解法 2：2lim tan xxlim sec2 x 1x0 x sin xx01cosxlim 2sec2 x tan xx0sin xlim2x0 cos3 x2110 lim(sin 2xcos x) xx0精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢解sin2x cosx 12cos2 xsin x因 limxlim12 ，x0x 0故1sin 2 xcos x1原式 lim(1sin

4、 2xcosx1)sin 2 xcos x1x= e2x0求下列函数的导数11.yex cosx12.yln(ln x)13.yxsin x14.求 ysin x 的各阶导数 .解 11 yex cos xex sin x12y111ln xxx ln xsin x)13y(esin x ln x )x sin x (cos x ln xx14 .ycos xsin( x)2ysin xsin( x2)2ycosxsin(x3)L2y( n )sin(xn)215yex sin 2x2ex cos2x16y1(sin x1)cos xln xx17yesin xln(cos x) (cos x

5、) sin x (cos x ln(cos x)tan x)18y (n )sin(x(n1)2),(n1,2,) .191tan xx12 x1x23secxln 3 ；20. 求下列函数的高阶微分：设u(x)ln x, v(x)ex ，求 d 3 (uv), d 3 ( u)v解因为d 3 (uv)122x1x1xdx3u v C 3u v C 3 u v uvx 3e3x2 e3xe(233ln x)exx3x2x（3 分）ln x ex精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢所以d3(uv)d3 (uv)dx3x233ln x) dx3dx3e (x3x2xd 3udx3 ()

6、ve x ( 23xd 3dx 3 (ln x3 3x 2 xex)2x31x) 31exln x ( ex)x3 e2 ( exxln x)所以 d 3 ( u) e x ( 233ln x)dx3vx3x2x21.y(arctan x3 ) 2 ;y2arctan x3 (arctanx3 )6x2 6 arctan x31x22. y xxx ;解：令 y1 xx , ln y1 x ln x两边对两边对x 求导有y1ln x 1, (xx ) xx ln x xxy1ln yxx ln x两边对 x 求导有 y yy23. 求由参量方程( xx ln x)(x x ) ln xxx (

7、ln x)(x x ln xx x)ln xxx1xxx( x x ln xxx )lnxxx 1 )xxxx x (ln 2xln xx 1 )xet cost ,所确定的函数的二阶导数yet sin t ;2d y :xet cost ,解法 1：yet sin t ;由含参量方程的求导法则有精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢dyet costet sin tcostsin tdxet costet sin tcostsin t求 d2ydycostsin t,dxcostsin t即求参量方程的导数dx2xte cost;dy(cost sin t )2(costsin t

8、) 2d2 yd ( dx)(costsin t) 22dx2dxet (costsin t )et (cost sin t )3xet cost ,解法 2：yet sin t ;由含参量方程的求导法则有dyetcostetsin tcostsin t)dxetcostetsin tcosttan(tsin t4求 d 2 y 即求参量方程 dx2dytan(t),dx4的导数txe cost;2d ( dy)sec2 (t)2 e t sec3(tdydx4)dx2dx2etcos(t)24424设 yx3ex ,试求 y(6).解 基本初等函数导数公式，有(x3 )3x2 ,(x3 )6x,( x3 )6,( x3 )( k ) =0,k 4,5,6,(e x) (k)ex, k 1,2,L,6 ,应用莱布尼兹公式（ n6）得y(6)x3ex6 3x2ex15 6x