数学选修2-1测试题(含答案)

1、.数学选修 2-1 综合测评时间： 90 分钟满分： 120 分一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1与向量 a(1， 3,2)平行的一个向量的坐标是 ()1，1，1B ，A. 3(13,2)C. 1，3， 1D( 2， 3， 2 2)22解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即 b0，ab?ab，a(1， 3,2)113，故选 C.， ，122答案： C若命题 ： ? x ， ，tan x>sin x，则命题 綈 p：()2p22 A? x0 2，2 ，tan x0sin x0

2、B? x0 2，2 ，tan x0>sin x0 C? x0 2，2 ，tan x0sin x0D? x0 ， 2 2， ，tan x0>sin x0解析： ? x 的否定为 ? x0，>的否定为 ，所以命题綈p 为? x0 2，2 ，tan x0sin x0.;.答案： C3设 ，是两个不重合的平面， l，m 是两条不重合的直线，则的充分条件是 ()Al? ，m? 且 l，mBl? ，m? 且 lmCl，m且 lmDl，m且 lm解析：由 l ，lm 得 m，因为 m，所以 ，故 C 选项正确答案： C22以双曲线 x y 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程4412为(

3、)x2y2x2y2A.16121B.12161x2y2x2y2C.164 1D.4161x2y2y2x2解析：由 4121，得 124 1.双曲线的焦点为 (0,4)，(0， 4)，顶点坐标为 (0,2 3)，(0， 2 3)x2y2椭圆方程为4 161.答案： D5已知菱形 ABCD 边长为 1， DAB60°，将这个菱形沿AC折成 60°的二面角，则 B，D 两点间的距离为 ();.3133A. 2B.2C.2D.4解析：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 ACBD，沿 AC折叠后，有 BOAC，DOAC，所以BOD 为二面角 BACD 的平面角，

4、即BOD60°.11因为 OBOD2，所以 BD2.答案： B若双曲线 x22相切，则y 1 的渐近线与圆 (x 3)2y2r2(r>0)663r()A. 3 B2 C3 D6x2y22解析：双曲线6 3 1 的渐近线方程为 y±2 x，因为双曲线的渐近线与圆 (x3)2 y2r22(r>0)相切，故圆心 (3,0)到直线 y±2 x 的;.| 2×3±2×0|距离等于圆的半径 r，则 r 3.24答案： A在长方体ABCD1111 中，底面是边长为 2 的正方形，高7ABCD为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离

5、为 ()8343A.3B.8C.3D.4解析：取DA，DC，DD 1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面 AB1D1 的法向量为 n(2，2,1)故 A1 到平面 AB1D1|AA1·n|4的距离为 d|n|3.答案： C8等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点， |AB|43，则 C 的实轴长为 ()A. 2 B2 2 C4 D8解析：抛物线 y216x的准线方程是 ，所以点A(4,2 3)x4在等轴双曲线 C：x2y2a2(a>0)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为

6、4. 答案： C;.9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为 A1B1，CC1的中点， P 为 AD 上一动点，记 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角，则 的集合是 ()A. 2B. 62C. 42D. 32解析：取 C1D1 的中点 E，PM 必在平面 ADEM 内，易证 D1N平面 ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解答案： A2210已知 P 是以 F1，F2为焦点的椭圆 x2y21(a>b>0)上的一点，ab 21，则此椭圆的离心率为 ()若PF1·20，tanPF1PFF2;.1215A. 2B.3C.3D. 3 1，解析：由

7、PF · ，得为直角三角形，由1 PF20PF1F2tan PF1F22设|PF2|s，则 |PF1|2s，又 |PF2|2|PF1|24c2(ca2b2)，即 4c253sc55s2，c 2 s，而 |PF2|PF1|2a3s，a 2 ，ea 3 ，故选D.答案： D二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )11若命题“ ? xR,2x23ax9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是 _解析：原命题的否定形式为 ? xR,2x23ax90，为真命题即2x23ax90 恒成立，只需(3a)24×2×90，解得 2

8、 2 a2 2.答案： 2 2，2 212在平面直角坐标系xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP·OA4，则动点 P 的轨迹方程是 _解析：由OP·OA4 得 x·1y·24，因此所求动点 P 的轨迹方程为 x2y40.答案： x2y4013在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，底面 ABCD 为边;.长是 1 的正方形，PA2，则 AB 与 PC 的夹角的余弦值为 _ ××解析：因为 AB· · AC)· · 2cosPCAB (PAAB PAABAC 145&

9、#176;1，又 |AB|1，|PC|6， AB·PC 1 6 cos AB，PC 1× 6 6 .|AB|PC|6答案： 614过双曲线 C：x2y21(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2y2a2b2a2 的两条切线，切点分别为 A，B.若 AOB120°(O 是坐标原点 )，则双曲线 C 的离心率为 _解析：由题意，如图，在RtAOF 中，AFO30°，AOa， OF c，OAa1sin 30 °OFc2.;.cea2.答案： 2三、解答题 (本大题共 4 小题，共 50 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )15(12

10、 分)已知命题 p：不等式 |x1|>m1 的解集为 R，命题 q：f(x) (52m)x 是减函数，若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求实数 m 的取值范围解：由于不等式 |x1|>m1 的解集为 R，所以 m1<0，m<1；因为 f(x) (52m)x 是减函数，所以 52m>1，m<2.即命题 p：m<1，命题 q：m<2.因为 p 或 q 为真， p 且 q 为假，所以 p 和 q 中一真一假m<1，当 p 真 q 假时应有m 无解m2，m1，当 p 假 q 真时应有1m<2.m<2，故实数 m 的取值范

11、围是 1m<2.x2y2216(12 分)已知椭圆 b2a21(a>b>0)的离心率为2，且 a22b.(1)求椭圆的方程；(2)直线 l ：xym0 与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数 m，;.使线段 AB 的中点在圆 x2y25 上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由c2解得 a 2，解： (1)由题意得a 2 ，a22b，c1，所以 b2a2c21，故椭圆的方程为x2y21.2(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)联立直x2y221，22线与椭圆的方程得即 3x 2mxm 20， xym0，(2m)24×

12、;3×(m22)>0，m2<3，所以 x0x1x2m23 ，y0x0m2mm2mm2m3 ，即 M 3， 3 .又因为 M 点在圆 x2 y25 上，所以32 325，解得 m±3 与 m2<3 矛盾实数 m 不存在分)已知点，圆： m)2y29过点 A32 ，17 (13P(1,3)C (x21，2点 F 为抛物线 y22px(p>0)的焦点，直线 PF 与圆相切(1)求 m 的值与抛物线的方程； (2)设点 B(2,5)，点 Q 为抛物线上的一个动点，求BP·BQ的取值范围解： (1)把点 A 代入圆 C 的方程，得;.(1m)2 32

13、2 229，m1.9圆 C：(x1)2y22.当直线 PF 的斜率不存在时，不合题意当直线 PF 的斜率存在时，设为k，则 PF：yk(x1)3，即 kxyk30.直线PF 与圆 C 相切，3 2 k21 2 .|k0k3|解得 k1 或 k 1.当 k1 时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 2，不合题意，舍去当 k1 时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为4，p16x. 4.抛物线方程为 y22(2)BP(1， 2)，设 Q(x，y)，BQ(x2，y5)，则 BP·BQ (x2)(2)(y5)y2 x2y12 162y12;.1 16(y16)22828.BP·B

14、Q的取值范围为 (，2818(13 分)如图，在四棱锥ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE，BC2，CD2，ABAC.(1)证明： AD CE；(2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°，求二面角 CADE 的余弦值解：;.(1)证明：作 AOBC，垂足为 O，则 AO底面BCDE，且 O 为 BC的中点以 O 为坐标原点，射线OC 为 x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系 Oxyz.设 A(0,0，t)由已知条件知 C(1,0,0)，D(1，2，0)，E(1，2，0)，CE(2，2，0)，AD(1，2， t)，所以 CE·AD0，得 ADCE.(2)作 CFAB，垂足为 F，连接 FE，如图所示设 F(x,0，z)，则 CF(x1,0，z)，BE(0，2，0)， CF·BE 0，故 CFBE.;.又 ABBEB，所以 CF平面ABE，故CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角，CEF45°.由 CE 6，得 CF 3.又 CB2，所以FBC60