数学系常微分方程期末试卷B及答案

1、人题审线师教课任_封号学_密名姓班级系院学计数精品文档试卷（ B）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分 数阅卷人试卷说明： 1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2 、考试所用时间： 120 分钟。3 、使用班级 数计学院 数 11 级一、填空题（每小题3 分，本题共15 分）1方程 dy1y 2 的常数解是。dx2方程 y4 y0 的基本解组是。3方程 dyx 2sin y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是。dx4线性齐次微分方程组的解组Y1 (x), Y2 ( x), , Yn ( x) 为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式W (x)0 。5方程 dyy sin( x

2、y) 的任一非零解与 x 轴相交。dx二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6方程 dy23y 3 过点 (0, 0)有（）dx(A)无数个解(B)只有一个解(C) 只有两个解(D) 只有三个解7.方程 dyy1（）奇解dx（ A）有一个（ B）有两个（ C）无（D）有无数个8 fy( x,y) 有界是方程dyf(x, )）条件dxy 初值解唯一的（ A）必要（B）必要非充分（ C）充分（ D）充分必要第1页（共5页）。1欢迎下载精品文档年月日9 、 微分方程 x ln xyy 的通解（）A、 yc1 x ln xc2B、 yc1x ln x1C 、 yx ln xD、 yc1 x

3、ln x1c210 n 阶线性非齐次微分方程的所有解（）（ A）构成一个线性空间（ B）构成一个n1 维线性空间（ C）构成一个n1维线性空间（ D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11. 解方程 dy ex ydx12. 解方程 dy y tan ydxxx线封密。2欢迎下载精品文档第 2页（共 5 页）年月日 13. 解方程 dy y xy 5dx线14. 解方程 2 d(x2y2 )dy0xy x封密15 试讨论方程组 dxby, dyaxcy 的奇点类型，其中 a,b,c 为常数，且 ac 0。dtdt。3欢迎下载精品文档第3页（共5页）年月日四、计算题

4、（每小题10 分，本题共 20 分）16求方程y5 y5x 2 的通解17解方程组：xxy,y3y2x。4欢迎下载精品文档第 4页（共 5 页）年月日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，本题共 20 分）18设 y1 ( x) 和 y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有 共同的零点线封19已知微分方程( x2y) dx f (x)dy 0x , 试求所有可能的函数 f ( x) .有积分因子密。5欢迎下载精品文档12-13-2学期期末考试常微分方程B 参考答案及评分标准（数计学院）一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1 y12 sin 2x,

5、cos 2x3 xoy 平面4充分必要5不能二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6A7C8C9D10D三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11解分离变量得eydyex xd等式两端积分得通积分e yexC12解 令 yu ，则 dyux du ，代入原方程，得xdxdxu x duutan u ， x dutan udxdx当 tanu0 时，分离变量，再积分，得dudxln Ctan uxln sin uln xln C即通积分为：sin yCxx13解方程两端同乘以y 5，得y 5 dyy 4xdxdydz ，代入上式，得令y 4z ，则4 y 5dxdx1 dzzx4

6、 dx制卷审核（3 分）（6 分）（2 分）（4 分）（5 分）（6 分）（2 分）（3 分）。6欢迎下载精品文档通解为zCe 4xx14原方程通解为y 4Ce 4 xx1414解：因为M2xNy，所以原方程是全微分方程x取 ( x0 , y0 )(0,0) ，原方程的通积分为xyyCxy xy 22d0d0即x2 y1 y 3C315解：因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件（ 6 分）（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）ab0 ，故奇点为原点（ 0，0）2分0acc又由 det(A-ab2(ac)ac0 得 1 a2c4分E)=c0所以，方程组的奇点（0， 0）可分为以下类型：a c奇

7、点为结点a0, c0, 稳定结点ac 0a 0, c 0,不稳定结点a， c 为实数ac0奇点为鞍点（不稳定）6分b0,奇点为退化结点a0,c，稳定结点0a c0, 奇点为奇结点a0, c0, 不稳定结点b四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16解：对应齐次方程的特征方程为250（1 分）特征根为：特征根为10，25，齐次方程的通解为yC1C 2e5x因为0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1 ( x)x( Ax2BxC )代入原方程，比较系数确定出112A， B， C3525原方程的通解为（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）。7欢迎下载精品文档y C1C2 e5 x 1 x

8、31 x 22 x（10 分）352517解： 其系数矩阵为：A11，（2 分）23特征多项式为：det( AE)1124 5，23其特征根为：1，22 i, ，（4 分）当2 i 时，由方程组1 i1a，21 i0b可解得特征向量为：1T（6 分）1i由e( 2 i )t1e2tcostie 2tsin t，（8 分）1 icost sintcostsint可知方程组的基本解组为：e2tcostsin t.（10 分）cost，e2tcost sintsin t五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，本题共 20 分）18证明 由于 y1 (x) 和 y2 ( x) 是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x)1 ( x)2 ( x)（* ）（5 分）1 ( x)02 ( x)假如它们有共同零点，那么存在一个点x0 ，使得1 (x0 ) =2 ( x0 )0于是W (x0 )1 (x0 )2 ( x0 )001 (x0 )2 ( x0 )1 ( x0 )02 ( x0 )这与（ * ）式矛盾（ 10）。8欢迎下载精品文档19解:令Mxy x2y, N ( x, y)f ( x), 由所给方程有积分因子x 知(, )( xM )( xN ) ,（4 分）yx即 x xf ( x)f ( x) , 因此函数 f (x) 满足一阶线性方程f ( x)f