数理统计充分统计量精品资料

1、充分统计量教程一、补充讲解条件分布例题 1：随机变量 X 和 Y 相互独立， X Poisson1，Y Poisson2，若已知X Y n 发生，求此时 X 的条件分布（比如，害虫产卵问题）例题 2：射击选手每次射击同样目标，每次击中的次数X 是总体，服从01 分布，1 PX0 P X 1 p ，现在进行测试（ n 次），结果为X1 ,., X nx1,., xn ，已知总共击中次数 x1 . xnt 次，求P X1,., X nx1 ,., xn X1 . X n t 。例题 2：随机变量X和Y联合概率密度 p x, y ，证明，y发生前提下， X Y yY的条件概率密度为 f X |Yxp

2、x, yypY y证明：先求条件概率分布函数FX |Y y xP Xx |Yylim PXx | yYy hh 0P Xx, y Y y hP (X ,Y)(s, t ) : s x, y t y hlimP y Y y hlimP s s : y s y hh 0h 0ps, t dsdtxyhps,t dt dslimsx, y t y hlimyy hyhh 0pYs dsh 0pYs dsyyx1y hs, t dt dsxhpps, y dslimy1y hpYyh 0s dshpYy因此 f X |Ypx, yyxypY例题：已知包装机械包装白糖的各种可能重量X Na,0.1 2（

3、斤），包装 n 袋白糖的总重量 t 已知前提下，求 X1 .X nt 的具体情形 X1x1 ,.X n xn对应的条件概率密度p( X ,.,X)|T t x1,., xn 1,t (x1,., xn 1)p( X ,.,Xn 1, Xn) x1 ,., xn 1 ,t (x1 . xn 1)1n 1, XnpT (t )1p( X1,., Xn 1 ,X n )|Tt x1,., xn 1 , xnp( X1,., X n 1 ,X n )x1,., xn 1, xnpT (t)n1( xia ) 2ne20.12t 2 / nxi21n 1i 1i 12 0.1tna2ne 20.0112

4、0.1e 20.01n20.1n二、充分统计量定义背景问题统计数据收集效率： 假如已经确定总体的分布是正态分布，所不知道的，是总体的期望和方差而已，那么，在做统计数据收集的时候，是否有必要把样本观察值的每个数据都详细记录下来？另一方面，我们在使用统计量进行统计推断的时候， 所用到的统计量是否把样本中感兴趣的问题的信息全部包含进来？比如， 射击选手每次射击同样目标， 每次击中的次数 X 是总体，服从 0 1 分布， 1 P X 0 P X1p ，我们感兴趣的是估计 p 的值，假定现在进行测试（ 10 次），结果为X1,., X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1 ，我们只记录总共击中次数

5、TX1. X10 8 次可以吗？总共击中8 次是否已经包含p 的所有信息？换句话说， 是否在已知击中8 次 T8前提下再去追究具体情况X1,., X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1发生的概率已经不再包含p 的任何信息，即PX1 ,., X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1 T8不再是p 的表达式？定义1：对于离散总体X Fx,，（在这里可以是未知的参数向量，比如(1,2) ），样本X1 ,., X n观察值为( x1,., xn ) ，统计量 T X1 ,.,Tn此时对应取值Tt，若PX1,., X nx1 ,., xnT t 与无关，则称 TX1,., Tn为 的充分统计量

6、 。（ Tt 包含了的所有信息）定义 2：对于连续总体 X f x, ，（在这里可以是未知的参数向量，比如( 1, 2)），样本 X1 ,., X n观察值为( x1,., xn ) ，统计量 T X1 ,.,Tn此时对应取值 Tt ，若T x1 ,., xnf X1 ,., X nx1,., xn与无关，则称 TX1 ,.,Tn为 的充分统计量。t 时f T t（ Tt 包含了的所有信息）三、因子分解定理 ：总体概率函数 f(x, ) ，样本 ( X1,., X n ) ，统计量 T ( X1 ,., X n )为未知参数的充分统计量的充要条件是样本在已发生情形( X1,., X n )(

7、x1 ,., xn ) 处的联合概率函数可以分解为T ( x1 ,., xn )t 和 的函数g(t ,)与样本观察值的函数h(x1,., xn ) 的乘积。应用例题定理证明：只就离散情况证明，必要性x1 . xn tP( X1x1 ,., X nn | Tt)h( x1 ,., xn ) 与 无关因此 P( X1x1,., X nxn )P(X1x1,., X nxn | Tt) P(Tt )h( x1 ,., xn )P(Tt)g(t ,)h(x1,., xn )充分性x1 .xn t现在已知 P( X1x1 ,., X nxn )g(t ,)h( x1 ,., xn )P(T t )P(

8、X1x1 ,., X nxn )T x1 ,.,xntg(t , )h(x1,., xn )g(t ,)h( x1,., xn )T x1 ,., xntT x1,., xntx1. xn tP( X1x1 ,., X nxn ,Tt )因此 P( X1x1 ,., X nxn |Tt)P(Tt )P(X1x1 ,., X nxn ,Tt )P( X1x1 ,., X nxn )g (t ,)h(x1,., xn )g(t,)h( x1 ,., xn )T x1 ,.,xntTx1,., xntP(X1x1 ,., X nxn ,Tt )P( X1x1 ,., X nxn )g (t ,)h(x1,., xn )g(t,)h( x1 ,., xn )T x1 ,.,xntTx1,., xntg (t,)h( x1,., xn )h(