山东省济钢高中2012年高三5月份高考冲刺题与详细解析(数学理)

1、河南教考资源信息网版权所有·侵权必究济钢高中 2012 届高三 5 月份高考冲刺题理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共8 页，满分 150 分。考试用时120 分钟。参考公式：柱体的体积公式：v sh ，其中 s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 .圆柱的侧面积公式：scl ，其中 c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长 .球的体积公式 V= 4R3 ,其中 R 是球的半径 .32球的表面积公式：S=4 R , 其中 R 是球的半径 .n用最小二乘法求线性回归方程系数公式?ixi yinx y?.1,?nb22a ybxxinxi 1如果事件 A、B 互斥，那么 P( AB)P(

2、 A)P(B) .第 I 卷（选择题共 60分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 A x |1 x1 ， B x | x a 0，若 AB ，则 a 的取值范围是（）A (， 1)B (， 1C 1,)D (1，)2 y (sin xcos x) 21是（）A 最小正周期为2B最小正周期为2的偶函数的奇函数C最小正周期为D 最小正周期为的偶函数的奇函数3下列结论错误的是（） A 命 题 “若 p ， 则 q ”与 命 题 “若 q, 则 p ”互 为 逆 否 命 题 ;B 命 题 p : x 0,1, ex1，

3、命题 q : x R, x2x10, 则 pq 为 真 ;C “若 am2bm2 , 则 ab ”的 逆命题为 真 命 题 ;D 若 pq 为假命题，则p 、 q 均为假命题4求曲线 yx2 与 yx 所围成图形的面积，其中正确的是（）A S1(x2x)dxB S1( x x2 )dx00C S1( y2y)dyD S1( yy )dy005等比数列 an 首项与公比分别是复数i2 ( i是虚数单位)的实部与虚部， 则数列 an 的前 10项的和为（）- 1 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究A 20B 2101C20D2i6如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器

4、中水面的高度h 随时间 t 变化的可能图象是（）正视图侧视图俯视图hhhhOtOtOtOtA B CD7设 l , m, n 为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（）若 l，则 l 与相交若 m， n，lm，ln，则 l若ll，则nl|m ，m |n ，l若m，n，则|n|m ，A 1B 2C 3D 48 a, b是不共线的向量，若 AB1 ab, AC a2 b(1, 2R) ，则 A 、 B、 C 三点共线的充要条件为（）A 121B 12 1C 12 1 0D12109把函数 ysin(x)(0, |) 的图象向左平移个单位， 再将图像上所有点的横6坐标伸长到原来的2 倍

5、（纵坐标不变）所得的图象解析式为ysin x ，则（）A 2，6B2，3C1，D 1 ，1226210 a 是 f ( x)2xlog 1x 的零点，若 0x0a ，则 f (x0 ) 的值满足（）2A f (x0 ) 0B f ( x0 ) 0C f ( x0 )0D f ( x0 ) 的符号不确定- 2 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究11f ( x)x3x, x R，当 0时，f (msin )f (1 m)0恒成立，则实数 m设2的取值范围是（）A （ 0,1）B ( ,0)C (, 1 )D (,1)212已知正六棱柱的12 个顶点都在一个半径为3 的球面上，当正六棱

6、柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为（）A3 3B2 323D 3C3第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置r rrrb13已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ， | a | 1,|b | 3 ，则 axy5014已知实数 x, y满足 x3则目标函数 zx2y 的最小值为xy015在 Rt ABC 中，若C900 , ACb, BCa ，则ABC 外接圆半径 ra 2b 2运用类2比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a, b, c ，则其外接球的半径R =16如图，在正三角形ABC 中， D

7、,E, F 分别为各边的中点， G, H 分别为 DE , AF 的中点，将ABC 沿 DE , EF , DF 折成正四面体PDEF ，则四面体中异面直线PG 与 DH 所成的角的余弦值为- 3 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究三、解答题（共6 小题， 74 分，须写出必要的解答过程）17（本小题满分12 分）ABC 中， a， b ， c 分别是角A，B，C 的对边，向量m = （ 2sinB ， 2-cos2B ），n (2 sin 2 (4B ), 1) , m n 2（）求角 B 的大小；（）若 a3 ， b=1，求 c 的值18（本小题满分12 分）某厂家拟资助三位

8、大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为 “支持 ”或 “不支持 ”的概率都是1.若某人获得两个 “支持 ”，则2给予 10 万元的创业资助；若只获得一个 “支持 ”，则给予5 万元的资助；若未获得 “支持 ”，则不予资助，令表示该公司的资助总额（）写出的分布列；（）求数学期望E - 4 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究19（本小题满分 12 分）2在各项均为负数的数列an 中，已知点an , an 1(n N * ) 在函数 yx 的图像上，且3a2 a58 27（）求证：数列an是等比数列，并求出其通项；（）若数列 bn的前 n 项

9、和为 Sn ，且 bnann ，求 Sn - 5 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究20（本小题满分12 分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF= 90 ,AD=3 ,EF=2 （）求证： AE/ 平面 DCF ；（）当AB 的长为何值时 ,二面角 A-EF-C 的大小为 60 - 6 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究21（本小题满分 12 分）已知椭圆 C1 : x2y 21( ab 0) 的离心率为3，直线 l：y=x+ 2 与以原点为圆心、a2b23椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆O 相切。（ ）求椭圆 C1 的方程

10、；（ ）设椭圆 C11211，且垂直于椭圆的长轴，动的左焦点为 F，右焦点为 F ，直线 l过点 F直线 l2 垂直于 l1 ，垂足为点 P，线段 PF2 的垂直平分线交l 2 于点 M，求点 M 的轨迹C2 的方程；（ ）设 C2 与 x 轴交于点 Q，不同的两点 R、S 在 C2上，且 满足 QR RS 0，求|QS|的取值范围。22（本小题满分14 分）设函数 f ( x)ln x1 ax2bx.21（）当 ab时，求f ( x) 的最大值；2（）令 F ( x)f ( x)1 ax 2bxa ，（ 0x 3 ），其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切2x线的斜率 k 1 恒成

11、立，求实数a 的取值范围；2（）当 a 0， b1，方程 2mf ( x) x2有唯一实数解，求正数m 的值- 7 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究理科数学答案1.【答案】 B 【分析】求出集合B ，结合数轴即可找到 a 的取值范围。【解析】集合 B(a,) ， AB ，则只要 a1 即可，即 a 的取值范围是 (,1 。【考点】集合【点评】本题考查集合的关系，解题中虽然可以不画出数轴，但在头脑中要有数轴。2.【答案】 D【分析】对给出的三角函数式进行变换，然后根据三角函数的性质进行判断。【解析】 y(sin xcos x)212sin x cos xsin 2x ，所以函数

12、y(sin xcos x)21 是最小正周期为的奇函数。【考点】基本初等函数 。【点评】本题考查三角函数的性质，但要借助三角恒等变换，在大多数三角函数性质的试题中往往要以三角恒等变换为工具，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据基本的三角函数的性质对所给的三角函数的性质作出结论。3. 【答案】C【分析】根据命题的知识逐个进行判断即可。【 解 析 】 根 据 四 种 命 题 的 构 成 规 律 ， 选 项A 中 的 结 论 是 正 确 的 ； 选 项B 中 的 命 题p 是 真命 题 ， 命 题 q 是 假 命 题 ， 故 pq 为 真 命 题 ， 选 项B中 的 结 论 正 确 ； 当m

13、0 时 ，22abambm ， 故 选 项 C 中 的 结 论 不 正 确 ； 选 项 D 中 的 结 论 正 确 。【点评】本题属于以考查知识点为主的试题，要求考生对常用逻辑用语的基础知识有较为全面的掌握。4.【答案】 B【分析】根据定积分的几何意义，确定积分限和被积函数。【解析】两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1) ，故积分上限是1，下限是 0 ，由于在0,1 上， xx2，故求曲线 yx2与 y12 )dx 。x 所围成图形的面 S(x x0【考点】导数及其应用。【点评】本题考查定积分的几何意义，对定积分高考可能考查的主要问题是：利用微积分基本定理计算定积分和使用定积分的几何意义

14、求曲边形的面积。5【答案】 A【分析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算。【解析】该等比数列的首项是2 ，公比是 1，故其前 10 项之和是 20 。【考点】数列、复数11【点评】本题把等比数列和复数交汇，注意等比数列的求和公式是分公比等于和不等于两种情况，在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。6【答案】 B【分析】可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断。【解析】容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B。【考点】

15、空间几何体、导数及其应用。【点评】本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这是一种回归基本概念的考查方式，值得注意。7.【答案】 C【分析】根据空间线面位置关系的有关定理逐个进行判断。m, n 的相交，不符合【解析】由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题 正确；由于不能确定直线线面垂直的判定定理，命题 不正确；根据平行线的传递性。l n ，故 l时，一定有 n。【考点】空间点、线、面的位置关系。【点评】这类试题一般称之为空间点线面位置关系的组合判断题，主要考查对空间点、线、面位置关系的概念、定理，考查特例反驳和结论证明，特别是把空间平行关系和垂直关系的相关

16、定理中抽掉一些条件的命题，其目的是考查考生对这些定理掌握的熟练程度。8.【答案】 Duuur uuuruuur uuur【分析】由于向量AC , AB 由公共起点，因此三点A, B, C 共线只要 AC, AB 共线即可，根据向量共线的uuuruuur条件即存在实数使得 ACAB ，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉即得结论。- 8 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究uuuruuuruuuruuur【解析】只要要 AC,AB 共线即可，根据向量共线的条件即存在实数使得 ACAB ，即rrrrrra2 b( 1 ab) ，由于 a, b 不共线，根据平面向量基本定理得11

17、且2，消掉得12 1 。【考点】平面向量。【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理，平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，r rrrrr如果 a, b 不共线，那么1 a2 b1 a2 b的充要条件是11 且22 。9.【答案】 Bysin x 经过变换后的函数解析式， 通过比较即可确定,【分析】根据变换的结果， 逆行变换后即可得到的值。【解析】把ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的1 倍得到的函数解析式是ysin 2x ，再把这2个函数图象向右平移，得到的函数图象的解析式是

18、ysin 2( x)sin(2 x) ，与已知函数比较663得2,。3【考点】基本初等函数 。【点评】本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式是比较有新义的。本题也可以根据比较系 数 的 方 法求 解 ， 根 据 已知 的 变 换 方法 ， 经 过 两 次变 换 后 函 数 ysin(x)，即被变换成ysin(x6) ，比较系数也可以得到问题的答案。10【答案】 B2x【分析】函数f (x)log 2 x 在 (0,) 上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在(0, a) 上这个函数的函数值小于零，即f (x0 ) 0 。【考点】函数的应用。【点评

19、】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。11.【答案】 D【分析】 函数 f (x) 是奇函数且是单调递增的函数，根据这个函数的性质把不等式转化成一个具体的不等式。根据这个不等式恒成立，【 解析】 根据 函数的 性质， 不等 式 f (m sin)f (1 m)0，即 f (m sin)f ( m 1)， 即msinm 1 在 0,上恒成立。当 m0时，即 sinm10m1恒成立，只要m即可，解2m得 0m1；当 m0 时，不等式恒成立；当 m0时，只要 sinm 1m1m，

20、只要 1，只要m0 1，这个不等式恒成立，此时 m 0 。综上可知： m 1。【考点】基本初等函数 。【点评】本题考查函数性质和不等式的综合运用，这里函数性质是隐含在函数解析式中的，其目的是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识。在不等式的恒成立问题中要善于使用分类参数的方法解决问题，本题的解析是分类了函数，把参数放到一个表达式中，也可以直接使用分离参数的方法求解，即 msinm 1可 以 化 为 (1 sin )m 1 ， 当时 ， mR ； 当时 ，122m) ，只要 mf ( ) min 即可，即只要 m1即可。综合两种情况得到 m1。f (1sin12.【答案】 B【分

21、析】根据正六棱柱和球的对称性，球心 O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量。【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面，如图。设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为O1 , O2 ，- 9 -河南教考资源信息网版权所有·侵权必究则 O 是O ,Oa ，高为2h，则a2h29。正六棱柱的体积为12 的中点。设正六棱柱的底面边长为V 63 a2 2h ，即 V3 3(9h2 )h ，则 V '33 (93h2 ) ，得极值点 h3 ，不难知422道这个极值点是极大值点，也

22、是最大值点。故当正六棱柱的体积最大，其高为23 。【考点】空间几何体、导数及其应用。【点评】本题在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式。考生如果对选修系列四的不等式选讲较为熟悉的话，求函数的均值不等式进行，V 3 3 (9 h2 )h 的条件可以使用三个正数23 3 (9 h2 )h3 3 (9 h2 ) (9 h2 ) 2h23 6(9 h2 ) (9 h2 ) 2h23即 V，22243等号成立的条件是 9h22h2，即 h3。13.【答案】13rr 2ruurruurr 2r 2rr【分析】根据向量模的含义ab( ab)g(ab)ab2agb ，讲已

23、知代入即可。r r2ruurr uurr 2r 2rr【 解 析 】 a b(a b)g(a b) ab2agb 1 9 2 1 3 ( 1 ) 13 ， 故rr213 。ab【考点】平面向量。r 2r r【点评】本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念，其中主要的考查点是aaga ，这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系。本题也可以根据向量减法的几何意义，通过余弦定理解决，实际上我们在【解析】中的计算式就是余弦定理的计算式。14.【答案】3 。【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。xy50【解析】不等式组x3所表示的平面区域，如图所示。显然目

24、标函数在点B(3, 3) 处取得最小xy0值 3 。【考点】不等式。【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。a2b2c215.【答案】。2【分析】三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球，与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的，这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。【解析 】作 一个 在同 一个顶 点处棱 长分 别为 a,b, c 的长 方体， 则这个 长方 体的 体对 角线的 长度是

25、a2b2c2 ，故这个长方体的外接球的半径是a2b2c2 ，这也是所求的三棱锥的外接球的半径。2【考点】推理与证明。【点评】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确，但出现在高考试题或者模拟试题中类比推理，不会设计成漫无目标的类比推理试题，而是设计成指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时，一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用，不要被表面现象所迷惑。-10-河南教考资源信息网版权所有·侵权必究216.【答案】。3【分析】折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化到一个三角形的内角的计算。【解析】如

26、图，连接HE ，取 HE 的中点 K ，连接 GK ，则 GK DH ，故PGK 即为所求的异面直2，在 PGK 中， PG 3, GK2线角或者其补角 。设这个正四面体的棱长为3,PK1237 ，22222( 3)2372 。即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是2 。故22cos PGK233332【考点】空间点、线、面位置关系。【点评】本题考查空间想象能力、考查求异面直线角。在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧的一个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧。17.【分析】【分析】根据向量关系式得到角B 的

27、三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于 c 的方程，解这个方程即可。【解析】（ 1）mnmn0,4 sin B sin 2 (B ) cos2B20 2分422sin B1cos(2B)cos2B20,2sin B2 sin2 B12sin 2 B20, （2）a3 b,此时 B， 8分sin B1,分6250B,B或 5.分667方法一 :由余弦定理得: b 2a 2c 22 ac cos B,c23c20,c2或 c1.12分方法二 : 由正弦定理得ba,sin Bsin A13,sin A3,0A,A或 2,9分1sin A2332若 A,因为 B,所以角 C,边

28、 c 2;362若 A2,则角 C2, 边 c b, c 1.3366综上 c=2 或 c=1分12【考点】简单的三角恒等变换、解三角形。【点评】本题第一问主要考查三角恒等变换、第二问考查解三角形。在以三角形为背景的三角类解答题中，方程思想的应用是非常广泛的，实际上正弦定理和余弦定理本身就是一个方程，根据已知和求解目标之间，把问题归结到解方程或者方程组的方法是解决这类试题的一个基本思想方法。18.解：（ 1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,30P(0)1P(5)3P(10)15P(15)532641664P(20)15P(25)3P(30)1643264（2） E531015155

29、201525330115 .3264166432643819. （ 1）把点的坐标代入直线方程， 根据等比数列的定义进行证明，显然公比是，再根据条件 a2a5227-11-河南教考资源信息网版权所有·侵权必究求出首项即可求出这个数列的通项公式； （ 2）数列 bn 是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。【解析】（ 1）因为点 ( an ,an 1)(n*) 在函数 y2an 12,即an 12Nx 的图像上，所以anan, 故333数列 an 是公比 q2的等比数列因为a2 a58 ,则 a1 qa1q 48 ,即 a12 ( 2) 5( 2)3,由于数3

30、272733列 an 的各项均为负数，则 a13所以 an(2) n 2 6 分233 ( 2) n 1 n2（ 2）由（ 1）知， an( 2)n 2 , bn( 2) n 2n ，所以 Snn 9. 12分3332【考点】数列。【点评】本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项

31、求和法。20.【分析】（1）只要过点E 作 BC 的平行线即可；（ 2）由于点 B 是点 A 在平面 BEFC 内的射影，只要过点 B 作 EF 的垂线即可很容易地作出二面角AEFC 的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。【解析】方法一：（ ）证明：过点E作 EGCF 交CF 于G，连结 DG，可得四边形 BCGE 为矩形，又 ABCD 为矩形，所以 AD EG ，从而四边形 ADGE 为平行四边形，故AE DG 因为 AE平面 DCF ， DG平面 DCF ，D所以 AE 平面 DCF 6分AC（ ）解：过点 B 作 BHEF 交 FE 的延长线于

32、 H ，连结 AH 由平面 ABCD平面 BEFC ， ABBC ，得 AB平面 BEFC ，BG从而 AHEF 所以AHB 为二面角 AEFC 的平面角HF在 Rt EFG 中，因为 EG AD3， EFE2 ，所以 CFE60o ， FG1又因为 CEEF ，所以 CF4 ，BHBE gsinBEH33从而 BECG3 ，于是2 ，9因为 ABBH gtan AHB 所以当 AB 为 2 时，二面角 AEFC 的大小为 60o 12分方法二：如图，以点C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴， y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C xyz 设 ABa，BEb，CFc ，则 C (0，0，0) ， A( 3，0， a) ， B( 3，0，0) ， E( 3， b，0)， F (0， c，0) uuur， ，uuur，uuur， ，A（ ）证明： AE(0ba) ， CB(300)，BE(0 b 0)，uuuruuuruuuruuu