数量积几何意义的应用

1、数量积几何意义的应用一【问题背景】向量是沟通代数与几何的一座天然的桥梁，向量能进行数量积运算是向量应用广泛的一个重要原因a 与 b 的数量积 a b 的几何意义是：a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos的积，其中为 a ， b 的夹角由于数量积满足分配律，因此，对向量进行数量积运算就是不断地运用“有向线段的和在直线上的投影等于各有向线段的投影的和”这一结论二、【与平面几何定理的关联】射影定理： 在 Rt ABC 中， ACBC,CDAB于D，则 AC2ADAB ，BC 2BD BA证明： 由数量积的几何意义知 ACABADAB ，C又AC ABAC (ACCB

2、)2AC2 ，AC所以 AC2ADAB ，同理 BC2BD BAAD圆幂定理： 过点 P 的直线与圆 O 相交于 A, B 两点，则 PA PBPO2R2 ，其中 R为圆 O 的半径证明： 当在圆 O 上时，结论显然，否则，连结BO 并延长交圆 O于点 C ，连结 AC, PC ，则BPPC PB(PO OC) (PO OB)(POOC) (PO OC)OPO2OC 2PO 2R2 另一方面，根据数量积的几何意义，图 1当 P 在圆 O 内时（如图2）， PC PBPA PB，B当 P 在圆 O 外时（如图3）， PC PBPAPB ，O故PA PBPO 2R2图 2三、【范例】BACAPC例

3、 1在正ABC 中，D 是边 BC 上的点，且 AB3, BD1，则 ABAD 的值为.解： 如图，过 D 作 DDAB于 D ，则 BD1，BD cos60152 AD3，2215D'由数量积的几何意义得ABADABADB2变式 在ABC 中， BAC90， AB 6， D 在斜边 BC上，且 CD2DB ，则 ABAD 的值为.例 2在ABC 中， ADAB, BC3BD ,AD 1,则ACADABCD这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考，不仅思路自然，而且过程简单解 1：设点 C 直线 AD 上的射影为DC 1DCC1 ，则3 1，ADBD3 1，则 AC

4、1B于是 DC13 ，由数量积的几何意义得 AC ADAC1 AD3 精选文库ADC.ACDC1当然，考虑 AD 在 AC 上的投影同样可解另外，若注意 ADAB，先利用ACABBC将ACAD 转化为 BCAD 可得如下简解：解2：ACAD(ABBC) ADBC AD3 BDAD3AD3 解法 2 充分利用了已知的垂直条件和数量积的几何意义，未添加一条辅助线， 当为此题最佳解法例 3 如图，三个边长为2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 B3C3 上有 100 个不同的点P1，P2P， 记mi AB2 APi， (i1， 2， 100) ，100求 m1m2m100 的值B1B2B3P1

5、00P2P1AC1C2C3-2精选文库D解：延长 AB2 ,C3 B3交于点 D ，由 AC1B2C1C1C2 知B 1B 2B 3AB2 B2C2 ，从而 AB2B3C3，P iAC1C2C3由数量积的几何意义得miAB2 APi AB2 AD2 3 33 18， m1m2 m100181001800 变式 ：如图，在直角三角形ACB中，AC1CD上有 10 个点，斜边上的高P1 , P2 , , Pi , P10 ，则 ( AP1AP2AP10 ) AB.CP1PiAP10BD例 4如图，正六边形 ABCDE 中， P 是CDE 内（包括边界）的动点，设APABAF( 、R) ，则的取值范

6、围是EPDFCAB解： 不妨设正六边形边长为1， APABAF ， AP ABAB ABAF AB1，21AP AFAB AFAFAF，2两式相加得 1 (1 AP)AP ABAPAFAD ，即AP AD，22根据数量积的几何意义，考查AP 在 AD 上投影的变化，注意到ADEC，点 A与CDE 内（包括边界） 的点的最短长度为点A到 EC的距离3 ，最长长度为点A与点D的距离 2，即 32AP AD2，故 34 2反思： 从上述解题过程可以看到，将“APABAF ”分别点乘 AB 和 AF 再相加，实际上只要直接点乘AD 即可-3精选文库四、【练习】1在ABC 中， AB3, AC5，若O为ABC 的外心，则 AOBC的值.解： 如图，过点 ODAB于D，OEAC于 E，则AAO BC AO (ACAB)AO ACAO ABAEACADABE1 (AC2AB2)1 (5232) 8DO22BC2如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 2, AD1,DAB60，点M为AB的中点，点 P 在 BC 与 CD 上运动（包括端点） ，则 AP DM 的取值范围为AMBDPC解：AP DM( DPDA) DMDP DM1，2考查 DP 在 DM 上的投影的变化，当P 在 D 处时，投影最小为0；当 P在B处时，投影最大为3 ，2DP DM 0,3 ，故 APDM 的取值范围为 1,