江苏专转本高等数学多元函数微积分例题加练习

1、第八章多元函数微积分本章主要知识点一阶偏导数计算可微与全微分二阶偏导数二重积分直角坐标系二重积分极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（ 1）显式函数一阶偏导。（ 2）复合函数一阶偏导。（ 3）隐函数一阶偏导数。1显函数的一阶偏导数例 8.1 uxesin( x2 y ) ，求u ,u 。xy解：uesin x2 yxy cos(x2 y)esin x2 y1 xy cos x2 y exyxu x3esin x2 y cos x2 yy例 8.2 ux yyzzxyu ,u ,u 。，求xyzuyxy 1y 1z yxy 1yzy xy 1 ，解：0 y zxxux

2、 y ln xzy z 1zy y lnzx ，yu0 y z ln y x y y z y 1yz ln y yx y z y 1 ，z例 8.3 zlnxx2y2 xy ，求u ,u 。xy解：ux1y21x2xyxy 11y2yxy 1 ，xx2y2x2z1y2x2yxy ln xx2yx2x y ln x 。yxx2y2y2 xy 22复合函数的求偏导我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。例如uf xy, xy, sin x ，其中 f 为已知可微三元函数，求u ,u ,u 。xyz第一步：变量x, y, z 的关系网络图x1yxu2y3x其中 1， 2 ， 3 分别表示x

3、y, xy, sin x第二步：寻找与x 对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”uf 2yf3 cos xf1f 2y f 3 cos xf1 1x同理，寻找与y 对应的路径，uf2 xf1f 2 x 。f1 1y例 8.4 ufsin( xy2 ), ex2 y，求u ,u 。xy解：uf1cos(xy 2 )y 2f2ex2 yxu2 f1cos( xy2 ) xy2 f2ex 2 yy例 8.5 uf (xz2 ,sin(2 z3 y), zexyz) 求u ,u ,u 。xyz解：x1zuf2yzx3yzuf1z2f3z2 yexyzxu3 f2cos(2z3y) f3

4、xz2exyzyu2 f1xz2 f2cos(2 z3y) f3 exyz (1 xyz) 。z3隐函数一阶偏导由方程 F ( x, y, z)0 决定隐函数zz( x, y) 。求偏导公式为：zFx， zFyxFzyFz例 8.6zz(x, y)由方程222x2 y 3 zzzxyze决定，求,。1yx解： F x2y2z2ex 2 y 3 z 1zFx2xex 2 y 3 zxFz3ex2 y 3z2zzFy2y2ex2 y 3z.yFz3ex 2 y 3 z2z例 8.7 x sin(2xy2yz)z21，求z ,z 。xy解： Fxsin(2 xy 2yz)z21zxFxFzsin(2

5、 xy2yz)xycos(2x2x cos(2x2yyz)2zy2yz)zyFyFzx(2 yz)cos(2 x2xy cos(2xyy2 yz)yz) 。2z二、全微分uf ( x, y) ，全微分 dufdxfdyxyuf ( x, y, z) ，全微分 dufffdxdydzxyz例 8.8 u xy tan x ，求 du 。y解：uy tan xyx sec2 x1y tan xxsec2xxyyyyyux2 xxxx2 xxx22 xyx tanyxysecyy2x tan yxyy 2sec yxtanyysecyduuux2xxx22xdxdy( y tanx sec)dx(

6、x tanysec) dyxyyyyy例 8.9 ux yyxxxyy ，求 du 。解 :uyx y 1y x ln y xx (1 ln x)xuxy ln x xyx 1y y (1 ln y)ydu( yxy 1y x ln yxx (1 ln x)dx(x y ln xxyx 1yy (1ln y)dy例 8.10 ux2y2x sin 2 y ，求 du ( x 1, y) 。2解：u2xsin 2yxu2 y2x cos2 yxu2,u2 cos2x x1, yy x 1, y22du2dx(2) dy三、二阶偏导数2222例如 uf ( x, y) ，有四个偏导数u ,u ,u

7、 ,u。分别定义为x2x yy xy22u(u ) ，2ux( u ) ，x2xxx yy2uy(u) ，2 uy( u )y xxy 2y在连续条件下2 u2 u。x yy x例 8.11已知 u3yx2yxy求 u 的所有二阶偏导数x解： ux3x2 y2x1yy2x xuyx3x21y2xuxx6xy23 yy4 x 25uxyuyx3x22 x11y 22 x232x2u yyy3例 8.12 u ln( xx 2y2) 求2 u 。x y解：u1(1x)1xx2x2x2y 2xy 2y 22u12 yyx y2 ( x233y2 ) 2( x2y2 ) 2例 8.13 已知 zz(x

8、, y) 由方程 x2y 2yezz2 决定，求2 z 。x y解：方程两边对x 求偏导得：2xyezz2z z即， 2x( yez2z)z（ ）xxxz2xxyez2z两边对y 求偏导得：2 y ezye z z2z zyyz 2 y ez y yez 2z（ ）两边对 y 求偏导得：0 (ezzz2z)zz2 zyeyyy( ye2 z)x y2 zezz( yez2)( z ) 2yyezyx y2zez2 yez( yez2)(2yez)2yez2zyez2 zyez2zez ( 2 yez )( yez2z)( yez2)(2 yez ) 2。( yez2z)3例 8.14 uf (

9、xy,sin x, x2 ey ) ，其中f 为已知三元函数，求2u 。x y解：uf1yf2 cos xf32 xeyx2 uf1y( f11xf132ycos x( f21xf232y)x yxe )xe 2xey f 32xey ( f31xf33 x2 ey ) 。四、偏导数应用1.曲面的切平面及法线方程（ 1） zf (x, y) 在 p0的法向量 n f x, f y ,1| p0（ 2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在 p0的法向量 n Fx , Fy , Fz| p02.多元函数极值求解流程： （ 1）驻点 ( x0 , y0 ) ， fx(x, y)0, f( x , y)

10、0.00y00（ 2）计算 Afxx ( x0 , y0 ), Bfxy ( x0 , y0 ), Cfyy ( x0 , y0 )；B2AC, 则当0时，无极值；当0 时， A>0 取极小， A<0取极大。例 8.15 求曲面 ezzxy3在点 P(2,1,0)处的切平面和法线方程。解：令 f ( x, y, z)ezzxy3，则 fxy, fyx, fzez1P 点法向量 n fx , f y , f z| (2,1,0) 1,2,0切平面为： ( x1)2( y1)0法线方程为：x 1y1z。120例 8.16 求函数f ( x, y)e2 x ( xy22y) 的极值。f2

11、e2 x ( xy22y)e2x0解得驻点 ( 1解：由x, 1)f2x(2 y2)02yef xx4e2x ( xy22 y1), fxy2e2 x (2 y2), f yy 2e2xA2e0, B0,C2e,B2AC4e20 ,点 (1,1) 取极小值，f mine .22五、累次积分b2 ( x)b2 ( x)累次积分a dx1xf ( x, y)dy a1 ( x) f ( x, y)dy dx例 8.17 计算1x0dx x2xydy11xxy2dx解：原式02x2112x4)dx2x( x01111246241y2例 8.18 dy00sin ydxy1 sin yy2dy1解：原

12、式yy sin ydy00111yd cos yy cos y 0cos ydy001sin1cos1 。cos1 sin y 0六、直角坐标下的二重积分X 型区域y2 xb2 ( x)f ( x, y)dxdydxf ( x, y)dya1 ( x)y1 xoabO图示 8.1Y 型区域y1 yxdDx2 yd2 ( y )f ( x, y) dxdydyf ( x, y) dxDc1 ( y)co图示 8.2x上述 X 型，Y 型区域的定限方法非常重要，将直角坐标下二重积分转换为累次积分，更复杂的区域可以看成（拆分）为若干X 型， Y 型区域组合而成。例 8.19 D 由 yx2 , yx

13、 在第一象限所围的区域，计算( x y) dxdyyD1xy x2y x解： (x y)dxdydx ( x y) dyD0x211 y2 )x( xydx02x2o1( x21 x2x31 x4 )dx0221(3 x21 x4 )dx1113x30222410201图示 8.3x例 8.20 D 由曲线 yln x, x2, xe, x 轴所围的区域，计算ydxdyDeln x1e解：ydxdydxydyy2 |0ln x dxD202 21 e2xdx1xln2eeyln2x |2ln xdx2 221 eln 2 2x ln x |2eeyln x1dx221eln 2 2e2ln 2

14、e22o12ex1 eln 2 22ln 22图示 8.42例 8.21 D 由曲线 yx 在（ 1， 1）点处切线， yx 本身， x 轴所围的区域，计算xydxdyD解： y1，ky|(1,1)122 x切线方程： y 11 (x1)即x 2 y 12y1y2xydxdydyxydxD02 y1112 y 2yx1( yx ) |2 y 1 dy0 211 y5y(2 y1)2 dyox2 0111 y5y(4 y24 y1)dy图示 8.52 01 1 ( y54y34 y2y)dy1 ( 1141 )02 02632例 8.22 D 为从 (1,1) ， (1,1 ) 连线 PQ，正方

15、形 0x 1， 0y 1去除右上角剩余部22分，计算( xy) dxdy。D解：设正方形0x1， 0y1为 G ，右上角部分D1 ，则( xy) dxdy( xy)dxdy( xy) dxdyDGD111y( xy)dxdydx( xy)dyG001111P3( xy21( x)dx1x yy) |0 dx2202011Q122O111x( xy) dxdydx( xy)dy图示 8.6D1132x211 y2 ) |13 x11x( 31 ( 3x)2 dx( xydx xx)1221222222113 x1 (x2 3x9 )dx xx2122242112x51212513( x)dx(

16、xx8x) |1161286222原式=13131616改变累次积分的积分顺序，是考查考生对二重积分定理是否掌握及掌握如何的一个重要填空题型。具体分析的思路应是：原累次积分还原二重积分改变定限方向新累次积分例 8.23 变换下列二重积分的次序12 y33 ydyf (x y)dxdyf ( xy) dx 。0010解：y3y3xx 2 yy x / 21O2x图示 8.723x原累次积分f (xy)dxdydxf ( x, y)dyD0x2例 8.24 改变下列累次积分的次序1y2 a2ax1) dyf ( x, y)dx ，2) dxf ( x, y)dy（ a0 ）0y02axx211 x

17、2eln x3) dxf (x, y)dy ，4) dxf ( x, y)dy1010解： 1)yy x2yx1o1图示 8.81xyx2ay2ax原式f (x, y) dxdydxf ( x, y)dyD0x2a2) y2ax x2o2ax原式f (x, y) dxdy图示 8.9Daaa2y2a2 a2a2adyf ( x, y)dxdyf (x, y)dxdy f ( x, y)dx0y20a a 2 y2ay22 a2ay3) x2y21ox图示 8.1011y2原式f ( x, y)dxdydyf (x, y)dxDy01y24) yln x1o1ex图示 8.111e原式f ( x

18、, y)dxdydy f (x, y)dxr rD0ey七、极坐标系下的二重积分r ( )Orf ( x, y) ddf (r cos , r sin ) rdr图示 8.12D0例 8.25 D 为 x2y 21, x 0, y 0, 计算 xydxdyDy21解：原式d r cos r sin rdr002 1cos sind0 41sin221o808图示 8.13例 8.26 D 为 x 2y 2a2 且 x0，计算x2 y2 dxdyD2ar 2 cos2r 2 sin2y解：原式drdra0222xya22cos2sin 2dO62a22a2图示 8.1424) dI 4 )3(c

19、oscos( I 203a2( 1231)a23242248例 8.27 D :1x2y24且 0yx ，计算xarct an dxdy.Dyy42r sin解：原式 = darctan()rdr01r cos424r 2 12 ddrdr01023 432432o1d40642 0图示 8.15例 8.28 D 为圆周 x2y 22ax 与 x 轴在第一象限所围部分，求Dxa2xyx2 xxydxdy。D解：将圆周x 2y22ax 化为极坐标方程r2a cos ,22 a cos原式0d0r cosr sin rdry2 r 4cossin 02a cos d04x2y22ax(2a)425

20、sind4cos0oa2a4x14a462图示 8.16cos0。63八、二重积分应用1.物体质量物体质量 M( x, y)dxdy ，其中( x, y ) 为面密度函数。D例 8.29 物体形状为D :( x, y) | x2y21, x 0 ，面密度与点到原点的距离一致，求物体的质量。解：( x, y)x2y2，M x2y2 dxdy1rrdr.2 d06D22.曲顶柱体体积Vf ( x, y)dxdy ，其中 Dxy 为柱体在xoy 面上的投影域， zf ( x, y) 为曲面方程。D xy3.曲面面积S1zx2zy2 dxdy ， zf ( x, y) 为曲面方程，Dxy 为曲面在xoy 面上的投影域。D xy例 8.30 旋转抛物面 z 2 x2 y 2 与 z x2 y2 所围立体的体积。解：交线为：x2y21，立体在 xoy 面投影为z1V(2 x2y2 )d( x2y2 ) dDD21 2(1x2y2 )d2 d(1r 2 )rdrD00例 8.31 求旋转抛物面zx2y2 被圆柱面 x2y2解： zx2x, z 2y，积分域 D: x2y22z0,yS1zx2zy2 dxdy14x24y2 dxdyDD2213 .=d14r 2 rdr003单元练习题8yx2y21z0。2