动点问题题型方法归纳

1、动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形， 所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位 置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点31、（ 2009年齐齐哈尔市）直线y x 6与坐标轴分别交于 A B两点，动点P、Q同时4从O点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O t

2、B t A运动.（1 ）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒， OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；48（3） 当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O、P、Q为顶点的平行四边形的第5四个顶点M的坐标.提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点 O P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知 线段身份不同分类-OP为边、OQ为边，OP为边、OQ为对角线，OP为对角 线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、( 2009年衡阳市)如图，AB是O O的直径，弦 BC=2cm，/ ABC=60 0.(1 )求0

3、 O的直径；(2 )若D是AB延长线上一点，连结 CD，当BD长为多少时，CD与O O相切；(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点 F以1cm/s的速度 从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(S)(0 t 2)，连结EF,当t为何值时， BEF为直角三角形.注意：第(3)问按直角位置分类讨论D3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线 y a(x 1)2 3 ： 3( a 0)经过点A( 2, 0)，抛 物线的顶点为 D，过O作射线OM / AD 过顶点D平行于x轴的直线交射线 OM于点 C , B在x轴正半轴上，连结 BC.(1 )求该抛物线的解析式；(2)若

4、动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 OM运动，设点P运动的 时间为t(s).问当t为何值时，四边形 DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1个长度单面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/DAB=60当厶OPC面积最大时，四边形 BCPQ勺面积最小。二、特殊四边形边上动点4、（ 2009年吉林省）如图所示，菱形 ABCD的边长为6厘米， B 60° 从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿 A C B的方向运动，点 Q 以2厘米/秒的速度沿

5、ABC D的方向运动，当点 Q运动到D点时，P、Q两点 同时停止运动，设 P、Q运动的时间为x秒时， APQ与厶ABC重叠部分的面积为y平 方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O的三角形），解答下列问题：（1 ）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当 APQ是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式.提示：第问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ; 提醒-一 高相等的两个三 角形面积比等于底边的比 。5、（ 2009年哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四边形 ABCO是菱 形，点A的坐标为（3, 4）,点C在x轴的正

6、半轴上，直线 AC交y轴于点M , AB边交y轴于点H.(1) 求直线AC的解析式；(2) 连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线 ABC方向以2个单位/秒的速度向终 点C匀速运动，设 PMB的面积为S ( S 0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的 函数关系式(要求写出自变量 t的取值范围)；(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角，并求此时直线 OP与 直线AC所夹锐角的正切值.第(3)问发现/ MBC=90，/ BCC与/ ABM互余，画出点 P运动过程中, / MPB2 ABM勺两种情况，求出 t值。利用OBL AC,再求0P与AC夹角正切值.6、

7、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A( . 3 , 0) , B(3-. 3 , 2) , C( 0, 2).动点D以每秒1个单位的速度从点 0出发沿OC向终点C运动，同时动点 E以每秒2个单位的速度从点 A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA DF.设运 动时间为t秒.求/ ABC的度数；当t为何值时，AB/ DF;设四边形AEFD的面积为S. 求S关于t的函数关系式； 若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2 3时，求m的取值范围(写出答案即可).注意:发现特殊性,DE/ OA7、( 07黄冈)已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 AB

8、CO是菱形，且/ AOC=60。，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点 Q从点O开始以每秒a (K a< 3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0 t 8)秒后，直线PQ交OB于点D.(1) 求/ AOB的度数及线段 OA的长；(2) 求经过A, B, C三点的抛物线的解析式；4 L(3) 当a 3,OD 3时，求t的值及此时直线 PQ的解析式；3(4 )当a为何值时，以 O, P, Q , D为顶点的三角形与 OAB相似？当a为何值时，以O , P, Q , D为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明8

9、、(08黄冈)已知：如图，在直角梯形 COAB中，OC / AB，以O为原点建立平面直角 坐标系，A B, C三点的坐标分别为 A(8,0) B(810), C(0,4)，点D为线段BC的中点， 动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t 秒.(1) 求直线BC的解析式；(2) 若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形 COAB面积 的-?7(3) 动点P从点O出发，沿折线 OABD的路线移动过程中，设 AOPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围；（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上

10、找到一点Q，使四边形CQPD为矩 形？请求出此时动点 P的坐标；若不能，请说明理由.9、（09年黄冈市）如图，在平面直角坐标系xoy124中,抛物线y x x 10与x轴的交点为189点A,与y轴的交点为点 B.过点B作x轴的平 行线BC,交抛物线于点 C,连结AC.现有两动点 P,Q分别从O,C两点同时出发，点P以每秒4个 单位的速度沿 OA向终点A移动，点Q以每秒1 个单位的速度沿 CB向点B移动,点P停止运动 时,点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE / OA,交CA于点E射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t（单位:秒）求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶

11、点的坐标；当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程； 当0 v tv 9时, PQF的面积是否总为定值 ?若是 ，求出此定值，若不是，请说明理由2当t为何值时， PQF为等腰三角形？请写出解答过程.提示：第（3）问用相似比的代换，得PF=OA（定值）。第（4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF PQ=FQ QF=PF.三、直线上动点2& (2009年湖南长沙)如图，二次函数y ax bx c ( a 0)的图象与x轴交于 A B两点，与y轴相交于点C 连结AC、BC, A、C两点的坐标分别为 A( 3,0)、C(0, 3),且当x 4和x 2时二次函数的函数值 y相等.

12、(1) 求实数a, b, c的值；(2) 若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 BA BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结 MN，将 BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3 )在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与 ABC相似？如果存在，请求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.(2)问发现特殊角/ CAB=30 , / CBA=60特殊图形四边形BNPM为菱形；第问注意到相似的 BNQ，再判断是否在对称轴上。 ABC为直角三角形后，按直角位置对

13、应分类；先画出与 ABC19、( 2009眉山)如图，已知直线 y x 1与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。1 2y x bx c与直线交于 2求该抛物线的解析式；PAE是直角三角形时，求点 P的坐标P。M的坐标。AE为斜边时，以 AE动点P在x轴上移动，当为直径画圆与x轴交点即为所求点 P,A为直角顶点时，过点 A作AE垂线交x轴于点P, E为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009年兰州）如图，正方形 ABCDK点A B的坐标分别为（0,10）,（ 8，4）,点 C

14、在第一象限.动点P在正方形 ABCD勺边上，从点A出发沿 g 4C-D匀速运动，同时动 点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时 间为t秒.当P点在边AB上运动时，点 Q的横坐标x （长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图 象如图所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P运动速度；（2）求正方形边长及顶点 C的坐标； 在（1）中当t为何值时， OPC的面积最大，并求此时 P点的坐标； 如果点P、Q保持原速度不变，当点 P沿A- B- C- D匀速运动时，OP与PQ能否相等， 若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.注意：第（4）问按点P

15、分别在AB BC CD边上分 类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中， ABC三个顶点的坐标分别为_ 1A 6,0 , B 6,0 , C 0,4 '、3，延长 AC 到点 D,使 CD= - AC ,过点 D 作 DE / AB 交2BC的延长线于点E.(1 )求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y kx b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直 线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b与轴的交点出发，先沿 y轴到达G点，再沿GA到达 点，若P点

16、在y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。（要 求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证明）提示：第（2）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（3）问，转化为点G到A的距离加G到（2）中直线的距离和最小；发现（2）中直线与x轴夹角为6 0°.见“最短路线问题”专题。12、（2009年上海市）段BD上的动点图1点Q在射线（1 ）当AD=2且点Q与点（2）在图8中，联结AP当AD 3,且点2Q在线段AB上时，设点B Q之间的距离为x ,y，其中Sa apq表示 APQ的面积， SPBCSa pbc表示 PBC的面积，

17、求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域;（3）当AD AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图 3所示），求 QPC的大小.注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作 找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PCL BD时，点Q B重合，x获得最小值；当P与D重合时，x获得最大值。第（3 ）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证/BQP=Z BCP得B、Q C P四点共圆也可求解。13、（08宜昌）如图，在Rt ABC中, AB=AC P是边AB （

18、含端点）上的动点过 P作BC 的垂线PR R为垂足，/ PRB勺平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线 段PT为一边作正方形PTEF其顶点E, F恰好分别在边BC AC上.（ABCtA SBF是否相似，说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB=1,当P在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小 值和最大值.BSPFA（第13题）RTE提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。14、（2009年河北）如图，在 R

19、t ABC中，/ C=90° , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC返回； 点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动.伴随着 P、Q的运动， DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当 点Q到达点B时停止运动，点 P也随之停止.设点 P、Q运动的时间是t秒（t > 0）.（1 ）当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是;（2） 在点P从C向A运动的过程中，求 APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围

20、）（3） 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能， 求t的值.若 不能，请说明理由；提示：（3）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，DE/QE,PQ/EC;（4）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形,CQ=CP = AQ= t 时，QC = PC=6-t 时.215、（2009年包头）已知二次函数y ax bx c （ a 0）的图象经过点 A（1,0）, B（2,0）, C（0, 2），直线x m（ m 2 ）与x轴交于点D .（1 ）求二次函数的解析式；（2） 在直线x m （ m 2 ）上有

21、一点E （点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、0、C为顶点的三角形相似，求 E点坐标（用含 m的代数式表示）；（3） 在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF为平行四边形？若存在，请求出 m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由.提示：第（2 ）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形 ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且 AB=EF，对第（2） 问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点216、（ 2009年湖北十堰市）如图，已知抛物线y ax bx 3（ a丰0）与x轴交于点A（1,0）和点B （ 3,

22、0）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点卩，使厶CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时 E点的坐标./¥r1章C./a注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P坐标-C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P,M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P,P为顶点时，线段 MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。17、(2009年黄石市)正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E, BC交x轴负半轴于F , OE 1，抛物线y ax2 bx 4 过 A、D、F 三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) Q是抛物线上 D、F间的一点，过Q点作平行