江苏省2012届高三数学二轮专题训练解答题(5)

1、江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练：解答题（5）本大题共6 小题， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 ( 本小题满分 14 分 )平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 向 量 AB 6, 1 , BC x, y , CD2, 3,且AD/BC （ 1）求 x 与 y 之间的关系式；（ 2）若 AC BD ，求四边形 ABCD 的面积2 ( 本小题满分14 分 )nn*设定义在 R 上的函数 f ( x) sin xcos x (0, n N ) 的最小正周期为 T （1）若 n1， f(1) 1 ，求 T 的最大值；（2）若 n4 ， T4 ，求 f (1) 的

2、值3 ( 本小题满分 14 分)在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别是a， b， c，且 b2aca2c2bc b sin B（ 1）求 c 的值；（ 2）试判断 ABC 的形状，并说明理由4 ( 本小题满分16 分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A 到两条平行河岸线l1、 l2 的距离分别为4m、 8m，河岸线l 1 与该养殖区的最近点D 的距离为1m， l2与该养殖区的最近点B 的距离为2m（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得BAD60 ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD 的大小的情况下，估算

3、出养殖区的最小面积l1Dl1DAACCBBl2l2（图甲）（图乙）5 ( 本小题满分16 分)若函数 f ( x) 为定义域D 上单调函数，且存在区间a，bD （其中 a b ），使得当x a，b 时，f ( x) 的取值范围恰为a，b，则称函数 f (x) 是 D 上的正函数，区间a，b 叫做等域区间1（1）已知 f ( x)x 2是 0，) 上的正函数，求 f (x) 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数 g ( x)x2m是，0 上的正函数？若存在， 请求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由6 ( 本小题满分146 分)设 f k (n) 为关于 n 的 k (kN

4、) 次多项式数列 an 的首项 a11 ，前 n 项和为 Sn 对于任意的正整数 n， anSn fk (n) 都成立（1）若 k0 ，求证：数列 an 是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列 an 能成等差数列1 ( 本小题满分 14 分 )平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 向 量 AB 6, 1 , BC x, y , CD2, 3,且AD/BC （ 1）求 x 与 y 之间的关系式；（ 2）若 AC BD ，求四边形 ABCD 的面积【解】（1）由题意得AD AB BCCD( x 4，y2), BCx, y ,2分因为 AD/BC ，所以 (x4) y( y2

5、) x0 ，即 x 2 y 0 ， 4 分（2）由题意得ACA(，B6B ， CxBD BCCD(x2，y3) ， 6 分因为 ACBD ，y 2 ) y ，22所以( x6 x ) (即xy 4x 2y 15 0， 8 分x2，x6，由得y1，或 y 3. 10 分x，21当 y1时， AC4) ，则 S四边形 ABCD =(8，0) ， BD(0，2AC BD16 12分x，6S=1 AC BD16当 y3时， AC(0，4) ， BD( 8，0)，则四边形 ABCD214 分所以，四边形ABCD 的面积为 162 ( 本小题满分14 分)设定义在 R 上的函数 f ( x)sin nx

6、cosnx (0, nN* ) 的最小正周期为T （1）若 n1 ， f (1)1 ，求 T 的最大值；（2）若 n4 ， T4，求 f (1) 的值【解】（ 1）当 n1 ， f (1)1 时， sincos1 (0) ，sin22 ，化简得2 分因为0，所以min，即min，所以，T的最大值为86 分（ 2）当 n4 时， f (x)sin 4xcos4x2x2x222sincos2sinx cosx12 sinx cos2x11 sin 2 2x211 1cos4x221 cos4 x3(0) ， 1044分T244因为，所以8 ， 12 分f ( x)1 cosx3此时，424，所以f

7、 (1)34 14 分3 ( 本小题满分14 分 )在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别是222a， b， c，且 bac ac bc b sin B（ 1）求 c 的值；（ 2）试判断 ABC的形状，并说明理由【解】（ 1）由 b 2a2c2cos Ab 2c2a 212bc2 ，bc 得在ABC中，A3 分，由 b2b sin Ba sin Bac 得cc ，a sin Bsin Ac由正弦定理得，所以，b s B3inc2； 7 分（2）ABC为等边三角形，下证之：9 分222bc 知由 bac ac不失一般性，可设c1，则 b2a a2b1，消去 a24b1 ，即 (b1)(b

8、3b21) 0，得 bb所以b 1，a1，即证14 分4 ( 本小题满分16分 )如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线l1、 l2 的距离分别为4m、 8m，河岸线 l 1 与该养殖区的最近点D 的距离为1m， l2 与该养殖区的最近点B 的距离为2m（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得BAD60 ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点 A 的两侧，试在该小组未测得 BAD 的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积1l1lDDAACCBBl 2l2【解】（ 1）如图甲，设AD与 l1所成夹角为，则 AB 与 l2 所成夹角为60，

9、（图甲）（图乙）36sinsin 60，对菱形 ABCD 的边长“算两次”得2 分tan3解得5 ，4 分3212所以， 养殖区的面积 Ssinsin60 9 1tan2sin60 42 3 (m ) ； 6 分（2）如图乙，设AD 与 l1 所成夹角为，BAD120 ，180，则 AB 与 l2 所成夹角为180，36对菱形 ABCDsinsin 180，的边长 “算两次” 得8 分tansincos ，解得210 分所以，养殖区的面积32154cosSsin9 1sin9sintan2sin，12 分S9 5 4cos9 5cos4 0由sinsin 2得cos45 ， 14 分cos42

10、5 时，养殖区的面积 Smin =27(m) 经检验得，当16 分答：（ 1）养殖区的面积为42 3 m 2 ；（2）养殖区的最小面积为27m 2 5 ( 本小题满分 16 分 )若函数 f ( x) 为定义域D 上单调函数，且存在区间a，bD （其中 a b ），使得当x a，b 时，f ( x) 的取值范围恰为a，b，则称函数 f (x) 是 D 上的正函数，区间a，b 叫做等域区间1（1）已知 f ( x) x2是 0，) 上的正函数，求f (x) 的等域区间；m ，使得函数 g ( x)2，0（2）试探究是否存在实数x m 是上的正函数？若存在， 请求出实数 m 的取值范围；若不存在，

11、请说明理由【解】（ 1）因为 f ( x)x 是0，上的正函数，且 f ( x)x 在 0，上单调递增，fa，aaafb，所以当 xa，b时，b即bb3 分解得 a 0，b 1，故函数fx的“等域区间”为0，1 ；5 分2m 是，0（2）因为函数 g (x) x上的减函数，g a，2bam，bg b，2，所以当 xa，babm时，即a 7分22两式相减得abba，即ba 1 ， 9 分220 ，代入 a mb 得 a a m 1由a b 0，且ba1得1a12 ， 11 分a 的 方 程a 21， 1故 关 于a m 1 0在 区 间2内有实数解，13 分记 h aa 2a m 1 ，h10，

12、h10，则2解得m1， 316 分4 6 ( 本小题满分146 分 )设f k (n) 为关于 n 的 k (k N) 次多项式数列 an 的首项 a1 1 ，前 n 项和为 Sn 对于任意的正整数 n， anSnf k (n) 都成立（ 1）若 k 0 ，求证：数列 an 是等比数列；（ 2）试确定所有的自然数 k，使得数列 an 能成等差数列【证】（ 1）若 k0 ，则 fk ( n) 即 f0 ( n)为常数，不妨设f 0 (n)c （ c 为常数）因为 an Sn f k ( n) 恒成立，所以 a1S1 c ，即 c2a12 而且当 n2 时， anSn2 ，an1Sn 12 ， 得

13、2anan10( nN，n2) 若 an=0，则 an1=0 ， a1=0，与已知矛盾，所以an0(nN*) 1故数列 an 是首项为1，公比为2 的等比数列4 分【解】（ 2）(i)若 k=0，由（ 1）知，不符题意，舍去(ii) 若 k=1，设 f1 (n) bn c （ b，c 为常数），当 n2 时， anSnbn c ，an 1Sn 1b( n 1) c ，得2anan 1 b(n N，n2) 7 分要使数列 an 是公差为 d（ d 为常数）的等差数列，必须有anbd （常数），而 a1=1，故 an 只能是常数数列，通项公式为an =1nN*，故当 k=1 时，数列 an 能成等差数列，其通项公式为an =1nN *，此时 f1 (n)n 1 9 分(iii)若 k=2，设 f2 ( n)an2bnc （ a0 ， a，b， c 是常数），当 n2 时， anSnan2bn c，an 1Sn 1a(n1)2b(n1)c ， 得2anan 12anba (nN，n2) ， 12 分要使数列 an 是公差为 d（ d 为常数）的等差数列，必须有an2a