江苏省徐州市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题理

1、2012-2013 学年度第一学期期末抽测高二数学试题( 理科 )注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4页，均为非选择题 ( 第 1题一第 20题，共 20题) 。本卷满分 160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题纸一并交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸的规定位置。3 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4如需作图，须用28铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：球的表面积为 S4R2 ，其中 R 表示球的半径锥

2、体的体积 V1 Sh ，其中 S 为底面积， h 为高3一、填空题：本大题共14小题。每小题5 分。共计 70分请把答案填写在答题纸相应位置上1命题“xR， x2x3 0 ”的否定是2直线 xy30 的倾斜角为3抛物线 y 24x 的焦点坐标是4双曲线 x 2y 21 的渐近线方程是495已知球 O 的半径为3，则球 O 的表面积为6若一个正三棱锥的高为5，底面边长为 6，则这个正三棱锥的体积为7函数 f (x)x 2在点 (1 ， f (1) ) 处的切线方程为8已知向量 a(3,2, z)， b (1, y,1) ，若 a/ b ，则yz的值等于.9 已 知 圆 x 2y2m 与 圆 x2

3、y 26 x 8 y 110 相 内 切 ， 则 实 数 m 的 值为10已知命题 p : x22x1m2 0 ；命题 q：x2x60，若 p 是 q 的充分不必要条件，则正实数 m 的最大值为。11 已 知 两条 直 线 a1x b y4 0和 ax by 40都过点A(2 ，3)，则过两点122P1 ( a1 ,b1 ) ， P2 (a2 , b2 ) 的直线的方程为.- 1 -12已知 F1 是椭圆x2y2P 是椭圆上的动251 的左焦点，9点， A(1,1) 是一定点，则 PAPF1的最大值为13如图，已知 AB2c( 常数 c0) ，以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD ，且

4、AB / CD ，若椭圆以 A ， B 为焦点，且过 C ， D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，椭圆的离心率为14设函数 f (x)1，g( x) ax 2bx ，若 yf (x) 的图象与 yg( x) 的图象有且仅有x两个不同的公共点，则当b (0,1)时，实数 a 的取值范围为二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题纸制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 ( 本小题满分14 分 )如图，在正方体ABCDA1 B1C1 D1 中， E ， F 分别为棱AD ， AB 的中点(1) 求证： EF 平面 CB1 D1 ；(2) 求证：平面 CAA1C1

5、 平面 CB1 D1 16 ( 本小题满分l4 分 )已知圆 C 经过三点 O(0,0) ， A(1,3) ， B(4,0) (1) 求圆 C 的方程；(2) 求过点 P(3,6) 且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程17 ( 本小题满分14 分 )- 2 -已知在长方体ABCDA1B1C1D1中， AB4， AD2 ， AA13 ， M ， N 分别是棱 BB1，BC 上的点，且 BM2 ， BN1，建立如图所示的空间直角坐标系求：（ 1）异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦值；（ 2）直线 DM 与平面 AMN 所成角的正弦值。18 ( 本小题满分l6 分 )现有一张长 80 厘米、

6、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为 l00 ，不考虑焊接处损失方案一：如图(1) ，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图(2) ，若从长方形ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼 ?。- 3 -19 ( 本小题满分l6 分 )在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x2y21(a b 0) 的焦点为 F1 ( 1,0) ， F2 (1,0) ，a2b 2左、右顶点分别为A ， B ，离心率为3 ，

7、动点 P 到 F1 ， F2 的距离的平方和为 63(1) 求动点 P 的轨迹方程；(2) 若 C（ 3，,3）， D（ 3， ,3）， Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点， 直线 AQ ， BQ 分别交直线 CD于点 M ， N(i)当直线 AQ 的斜率为 1 时，求AMN的面积；2(ii) 求证：对任意的动点 Q ， DM CN 为定值20 ( 本小题满分l6 分 )已知函数，f (x) x3bx 2cx d 在点 (0, f (0)处的切线方程为 2x y 1 0 (1) 求实数 c ， d 的值；(2)若过点 P(1, 3) 可作出曲线 yf ( x) 的三条不同的切线，求实数b 的取

8、值范围；(3)若对任意 x1,2 ，均存在 t(1,2 ，使得 et ln t 4 f (x)2x ，试求实数 b 的取值范围- 4 -2012 2013 学年度第一学期期末抽测高二数学（理）参考答案与评分标准一、填空题：1 x R ， x2x 3 02 45o3 (1,0)4 y = ?3x5 362615 37 2x y 1 08 29 1102 11 2 x 3 y 4 012 10 +1013 3114 (2323)9,二、解答题：915（ 1）连结 BD ，在 ABD 中， E 、 F 分别为棱 AD 、 AB 的中点，故 EF /BD ，又 BD/B D，所以EF/B D， 2 分

9、D11 111C1又 B1D1平面 CB1 D1， EF平面 CB1 D1 ，A1B1所以直线 EF 平面 CB1D1 6 分（ 2）在正方体 ABCD A1 B1 C1 D1 中，底面 A1 B1C1 D1是正方形，则ACB D，8 分EDC111 1又 CC平面 ABCD ，BD平面ABCD，AFB11111111111则 CC1B1D1 ， 10 分（第15题图）又AC11CC1 C1 ， A1C1平面 CAAC1 1， CC1平面 CAAC11 ，所以 B1D1平面CAAC11 ，又 B1 D1平面 CB1 D1 ，所以平面 CAAC11平面 CB1D1 14 分ì?F= 0

10、,16（ 1）设圆 C的方程为 x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0，则? 3 分?1+9+D+3E+F=0,í?16+ 4D+ F = 0,?解得 D=- 4，E=- 2，F=0 ，6 分所以圆 C 的方程为 x2 + y 2 - 4x - 2 y = 0 7 分（ 2）若直线斜率不存在，直线方程为x = 3 ，经检验符合题意； 9 分若直线斜率存在，设直线斜率为(x -)k ，则直线方程 y - 6 = k3 ，即 kx - y - 3k + 6 = 05-k12 分，则= 1 ，解得 k = 12 ，1+ k25所以直线方程为 12x -5y - 6 = 0 综上可

11、知，直线方程为x = 3 和 12 x -5 y - 6 = 0 14 分17由题意知， D(2,0,0) ， B(0,4,0)， A1 (0,0,3) ， M (0,4,2)， N(1,4,0)，（ 1） DM ( 2,4,2) ， AN(1,4,0) ，- 5 -cos DM , ANDMAN214420 7102 ， 5 分DMAN2617102可得异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦值为7102 7 分102（2） AM(0,4,2)， AN(1,4,0)，设平面 AMN 的法向量为 m( x, y, z) ，则 m AM0 ，即 4 y 2z0 ，解得x4y ，m AN0x4 y0

12、z2y不妨取 x4 ，则 y1 ， z2，故平面AMN 的一个法向量为m(4,1,2) ， 10 分则 cos DM , mDMm244(1)2 22 14 ，12 分DMm262121根据图形可知，直线 DM 与平面 AMN 所成角的正弦值为214 14 分2118方案一：设小正方形的边长为x ，由题意得4x60 ， x15，所以铁皮盒的体积为65301529250(cm3 ) 4 分方案二：设底面正方形的边长为x(0x60) ，长方体的高为y ，2由题意得 x24 xy4800，即 y4800x，4 x2所以铁皮盒体积 V ( x)x2 yx24800x1x3 1200 x， 10 分4

13、x4V / ( x)3x21200 ，令 V / ( x)0 ，解得 x40 或 x40（舍），4当 x (0,40) 时， V (x)0 ；当 x(40,60) 时， V ( x)0 ，所以函数 V (x) 在 x40 时取得最大值 32000cm3 将余下材料剪拼成四个长40cm，宽 20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可15 分答：方案一铁皮盒的体积为29250cm3 ；方案二铁皮盒体积的最大值为32000cm3 ，将余下材料剪拼成四个长40cm，宽 20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可16 分19（ 1）设 P( x, y) ，则 PF12PF226 ，即 ( x1)2y

14、 2( x1)2y 26 ，整理得， x 2y 22 ，yDNCM所以动点 P 的轨迹方程为 x2y224分a2b21Qa3 ，（ 2）由题意知，13，解得b22AOBxa3所以椭圆方程为x2y 216分32（第 19题图）则 A(3,0)， B( 3,0)，设 Q( x0 , y0 ) ， y00 ，则 2 x022，3 y06- 6 -直线 AQ 的方程为 yy0( x3) ，令 y3，得M(3 x03 y033)，x03y0,直线 BQ 的方程为 yy0( x3) ，令 y3，得 N(3 x03 y033) ，x03y0,1 时，有y01（ i ）当直线 AQ 的斜率为x032，消去 x

15、0并整理得， 11y0283y00，22 x023y02683或 y00（舍），10 分解得 y011所以 AMN 的面积S AMN3MN33x03 y033x03y0322y0y033y09 12分y08（ ii ） DM3x03 y0 333x03,CN3x03 y0333x03 ，y0y0y0y0所以 DMCN3x033x033x0293x0299 y0y0y0 26 2 x0223所以对任意的动点Q，DMCN 为定值，该定值为9 16 分20（ 1） f '( x)3x222bx c ，由题意得，切点为(0,1) ，则f '(0)2c2 4 分f (0)，解得d1123

16、2（ 2）设切点为 Q( x0 , y0 ) ，则切线斜率为k3x02bx02 ， y0x0bx02x0 1，所以切线方程为y(3x022bx02)(x x0 )y0 ，即 y (3x022bx02) x2x03bx021， 6 分又切线过点 P(1, 3) ，代入并整理得x02x02(b3)x02b0，由题意，方程 2x02(b3) x02b0有两个不同的非零实根， 8 分所以 (b3)216b0 ，解得b或b9，12b0b0故实数 b 的取值范围为 (,0)(0,1)(9,) 10 分（ 3）由（ 1）知， f (x)x3bx22x1，则不等式 etln t4f ( x)2x，即 et ln tx3bx23 ，由题意可知，etln t 的最小值应小于或等于x3bx23 对任- 7 -意 x 1,2 恒成立， 12 分令 h(t)etln t ，则 h '(t)e1et1，令 h '(t ) 0 ，解得 t1，列表如下：ttet(0, 1)1( 1 ,)eeeh