勾股定理与其应用

1、第五次课勾股定理及其应用本章知识要点A.勾股定理及其逆定理。B.验证、证明弓勾股定理及其依据（面积法）C.勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D.勾股定理及其逆定理的应用。T SE.感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。内容/概念表示方法/举例勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果一个三角形的三边满足:短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角如果用a ，的两直角边，用 a,b,c (b表示直角三角形c表示斜边，那c为最长边）表示三角形的三边，如果a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形2 2 2满足a b c的三

2、个正整数，常见的勾股数有：3,4,5；勾股数5,12,13； 6,8,10； 7,24,25；称为一组勾股数8,15,17 等基本勾股数组满足a2b2 c2且a,b,c 互质的常见的基本勾股数组有：3,4,5； 5,12,13； 7,24,25；三个正整数，称为一组基本勾股8,15,17 等数组重点知识勾股定理的验证验证方法验证 过 程（美）伽菲尔德总统拼图赵爽弦图如右图， 直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所1ab c ，即2 2如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以的小正方形和一个边长为b a为边长c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为c2，又因为大正方形被分割成了

3、四个全等的直角 U边长分别为a, b的直角三角形和一个边长为b a的正方形，所以其面积为4ab b (a - 2)(所以 c 241 ab2从而 c2 a2b2 .刘徽：青朱出长的正方形面积等于分别以a,b为边长的两个正方形的面J 1 <1入图I y积之和rr*1：A itefl 倂1;朱t M k |Ha用拼图法验证勾股定理的思路：图形经过割补拼接后，"- 有 没一如右图，通过拼图，以c为边名师提示叠、没有空隙，那么面积就不会改变；根据同一种图形面积的不同'表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理重点知识描述将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方圆柱的侧面展开图是一

4、个长方形确定几何体上的最短路纟示意图DEJ/fE展开乙展开BBaB bA bB"(1) 对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径名师提示(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征， 转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。放置，可验证勾股定理 .连接AC, AC , CC ,BCC D例1两个全等的长方形如图1-1-1a , b , c ,请利用四边形设 AB= BC= AC=DA图 1-1-1Ba

5、c例2(1)在下列数组3，4，A Z =40，41; 8，15，17； 10，5 : 4，5，6; 5，12，13; 6，8，10 : 7，SM24，26中，勾股数组有： ;基本勾股数组有 。(2) 已知 ABC 中，B 90 o，A, B,C的对应边分别是 a, b, c ，且a 5,b 12则c2(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为例 3 已知，如图 1-1-2 ，四边形 ABCD中，AB=3cm AD=4cm BC=13cm CD=12cm且/ A=90。，求四边形 ABCD的面积例4如图1-1-4，已知在 ABC中,AB=10，BC=21,B的长.例5( 1 )

6、已知 Rt ABC的两直角边 AC=5 , BC=12 D是BC上一点.当 AD是/ A的平分线时，求 CD的长？(2) 如图1-1-5 ，一张长 为8cm,宽为4cm的矩 形纸 片ABCD沿EF折叠，点C恰好 落在点A上，求AE的长。图 1-1-5(3) 如图1-1-6, 将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知 AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.n例 6.( 1 )如图 1-2-9 I (1),有一路程是多少米？(先画出示意图，然后再求解)I it -鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短图 1-2-9(1)(2)如图1-1-9(2)，台风过 后，一希望小

7、学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？峭图 1-1-9( 2例7如图1-2-6 , A、B两个小镇在河流 CD同侧，到河的距离分别为AC = 10千米，BD= 30千米，且CD= 30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用图 1-2-6f >I)例8如图1-2-7，一架长2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，求梯子底端将向左滑

8、动多少米？图 1-2-75、12,则它斜边上的高为（）60 D30A 13B8.5C134.图1-1-1中两个正方形阴影部分面积分别为的面积为（）2 2 2A. 6 cm B. 12 cm C. 24cmA=16cm132则直角三角形,B=25 cm ,2D. 3 cm家庭作业1.下列结论错误的是（)A.三个角度之比为1 : 2 : 3的三角形是直角三角形；B.三条边长之比为3 : 4 : 5的三角形是直角三角形；C.三条边长比为8 :16 : 17的三角形是直角三角形；D.三个角度之比为1 : 1 : 2的三角形是直角三角形。2.在Rt ABC 中，斜边 AB=1，则式子 AB 2BC 2A

9、C 2的值为A 、2;B、4;C 、6;D 、83.直角三角形的两直角边分别为图 1-1-15. ABC中，AB= 25, BC= 20, CA= 15, CM和 CH 分别是中线和高。那么 S ABC=,CH=, MH=6. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 _7. ABC中，AB=AC=17cm , BC=16cm, AtK BC 于 D，贝U AD=.8. 如图 1-1-2, DABC 的边 BC 上的一点，已知 AB=13 , AD=12 AC=15,BD=5,则BC的长为图 1-1-29. 如图1-1-5 ，A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流 CD上选择水厂的位置M使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BA图 1-1-510. 如图1-1-6 ，一架梯子的长度为 25米，如图斜靠在墙上，梯子顶