勾股定理的证明及简单应用

1、B表示斜边，Z C=RTZ时，c表示斜边。勾股定理的证明及简单应用知识要点1、直角三角形屮，直角所对的边叫做斜边，是直角三角形屮最长的边。互相垂直的两条边叫做直角边。在我国古代，人们把短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦。一般地，如图，Z A所对的边，用a表示。ZB所对的边用b表示， ZC所对的边用c表示。当Z A=RTZ时，a表示斜边，当Z B二RTZ时,2、勾股定理:勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即 a2 +b? =c2特別地，勾股定理的运用，必须找准斜边，即直角所对的边, 当没有明确的直角时，斜边为三边中最长的边。3、勾股定理的简单证明:如图，已知 ABC中ZC为直

2、角，BC=a,AC=b,AB=c.延长AC到E,使AE=BC,过E作CE的垂线DE交CE于点E,取DE=ACo连接AD,BD求证：a2 4-b2 =c24、基本勾股数若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式"+b2 =c2 我们称(a、b、c)为基本勾股数组。 记一记：(3,4,5) £,12,13 ,) 1,24,25 ),(8,15,17(9,40,41 ) 1(1,60,61 ,)均为基本勾股数组。写岀下表的勾股数从屮发现什么规律?3, 4, 55,12,13,7, 24, 258,15,179, 40, 412 倍 6, 8, 103倍15,

3、36, 3927, 120, 1234倍28, 96,1005倍40, 75, 85N倍时，对于任何满足 a2 +b2 =c2的a、b、c,都成立吗？试证明!5. 解题技巧。(1) 利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边。(2) 作辅助线构造直角三角形解题。(3) 30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系。(4) 数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展 开成平面图形等知识点。【典型例题】例1.已知一个直角三角形的两直角边分别是6、8,那么斜边长是多少?例 2.在 ABC 中，Z C=90° ,(2)若 b=7,c=9 ,则 a2=

4、(1) 若 a=5,b=l2 ,则 c= o(3)若 c=10,a:b=3:4 ,则 a= , b 2Q_I4> cn -J' Q ABC2, S =(S> rqc-7 ABC用a表示例4.如图Rt A ABC中ZC为直角，Z B=60° , CD垂直AB,若BC长为a, AB,AC,CD,BD的长度，并且求岀BC:AC:AB的值。若Z B=45°呢？例5.求下列直角三角形中未知边a,b的长度（如下图所示）【课堂练习】1. 在4bc中，若z a/ g c的度数比是5： 2： 3,则Axbc是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定2.适

5、合下列条件的厶ABC中，直角三角形的个数为（)(1)3 , b1 1 “,c = ； G23 A= 323ZB=58严(3) a=7 , b=24,345c 25 ；(4) a 2.5 , b2=, c 3 二A. 1个B. 2个C. 3个D4个3.下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（)A. 5,12, 13B. 7, 24, 25C. 8,15,17D. 4, 6, 94. 一个直角三角形三边长为连续自然数，则这三个数为（)A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 3 ,4, 5D. 3.5 , 4.5 ,5.55.下列语句：（1）若 ABC中，a2 +b2 -c2 ,则 ABC不

6、是直角三角形;（2）若厶ABC为直角三角形，Z C=90° ,则a2 +b2 =c2 ；（3）若厶 ABC 屮，C2 =a2 +b2 ,则Z C=90° ；（4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方，则此三角形为直角三角形”其中正确的个数是（）。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 三角形三边长分别为6, 8, 10,那么它最长边上的高为（）A. 6B. 4.8C. 2.4D. 87如图：在四边形 ABCD 中，AB二2 , CD=1, ZA=60° , Z B=Z D=90° ,求 BC 和AD的长。8如图，A、B是笔直公路1同侧的

7、两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别为 300m和500 m ,两村庄之间距离为2OO/on ,现要在公路上建一汽车停靠点, 使两村到停靠点的距离之和最小。问最小值是多少？DC9如图，已知 ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9 cm , AC=7 cm , BC=8 cm ,求 DE 的长。10如图为一圆锥，已知Z AOB=60 ° , OA=4 cm , C为OB的中点，求点A沿圆 锥表面运动到点C的最短距离。A勾股定理作业1. 在厶 ABC 中， C=90° oZ(1) 若 a=2, b=5,则 c=o(2) 若 c=61, b=60,则 a=o(3) 若 a : b 3: 4 , c 10,贝 ij a=, b=2. 边长为4的等边三角形的面积等于o3. 等边三角形一边上的高为6,则它的边长等于4. 直角三角形的两直角边为6、8,则斜边上的高等于5. 直角三角形的两边长为5、12,则另一边的长为学习好资料欢迎下载6. 己知 ABC 中，AB二AC, AB=6cm, BC=4cm。求(1) Saabc(2)腰AC上的 BEo7. 如图所示，在厶 ABC 中，D