勾股定理竞赛培训题

1、.勾股定理竞赛培训题1、如图 1， ABC和 CDE都是等腰直角三角形， C=90°，将 CDE绕点 C 逆时针旋转一个角度 （ 0° 90 °），使点 A， D， E 在同一直线上，连接 AD， BE（ 1）依题意补全图 2；求证： AD=BE，且 AD BE；作 CM DE，垂足为 M，请用等式表示出线段 CM， AE， BE之间的数量关系；（2）如图 3，正方形ABCD边长为，若点 P 满足 PD=1，且 BPD=90°，请直接写出点A到 BP的距离.2、（ 1）问题发现：如图 1， ACB和 DCE均为等边三角形，当 DCE旋转至点 A， D，

2、E 在同一直线上，连接 BE，易证 BCE ACD则 BEC°；线段AD、 BE之间的数量关系是（2）拓展研究：如图 2， ACB和 DCE均为等腰三角形，且ACB DCE90 °，点 A、 D、 E 在同一直线上，若 AE 15， DE 7，求 AB的长度（3）探究发现：如图 3， P 为等边 ABC内一点，且 APC 150°，且 APD 30°， AP 5， CP4， DP 8，求BD的长.3、如图 1， ABC中， CD AB于 D，且 BD： AD： CD=2：3： 4，（1）试说明 ABC是等腰三角形；（2）已知 S ABC=10cm2，如图

3、 2，动点 M从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 BA 向点 A 运动， 同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点 M运动的时间为 t （秒），若 DMN的边与 BC平行，求t 的值；若点 E 是边 AC的中点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.4、已知， ABC中， AC=BC， ACB=90°， D 为 AB 的中点，若 E 在直线 AC上任意一点， DF DE，交直线 BC于 F 点 G为 EF 的中点，延长 CG交 AB于点 H（ 1）若 E 在边 AC

4、上试说明 DE=DF；试说明 CG=GH；（ 2）若 AE=3， CH=5求边 AC的长.5、如图，在矩形ABCD中， AB 5， AD， AE BD，垂足是E. 点 F 是点 E 关于 AB的对称点，连结AF， BF.(1) 求 AE和 BE的长(2) 若将 ABF沿着射线 BD方向平移， 设平移的距离为 m( 平移距离指点 B 沿 BD方向所经过的线段长度 ) 当点 F 分别平移到线段 AB， AD上时，直接写出相应的 m的值(3) 如图，将 ABF绕点 B 顺时针旋转一个角 (0 ° 180° ) ，记旋转中的 ABF为 ABF，在旋转过程中，设A F所在的直线与直线

5、AD交于点 P，与直线BD交于点 Q. 是否存在这样的 P，Q两点，使 DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在， 请说明理由参考答案1、【分析】 （ 1）根据旋转的特性画出图象；由ACD、 BCE均与 DCB互余可得出ACD=BCE，由 ABC和 CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、 DC=EC，结合全等三角形的判定定理 SAS即可得出 ADC BEC，从而得出 AD=BE，再由 BCE= ADC=135°， CED=45°即可得出 AEB=90°，即证出 AD BE；依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用 AE， BE

6、去表示 CM；（ 2）根据题意画出图形，比照（ 1）的结论，套入数据即可得出结论【解答】解：（ 1）依照题意补全图 2，如下图（一）所示证明：ACD+ DCB= ACB=90°， BCE+ DCB= DCE=90°，. ACD= BCE ABC和 CDE都是等腰直角三角形，AC=BC， DC=EC在 ADC和 BEC中，有， ADC BEC（ SAS）， AD=BE， BEC= ADC点 A， D， E 在同一直线上，CDE是等腰直角三角形， CDE= CED=45°， ADC=180° CDE=135°， AEB= BEC CED=135&#

7、176; 45 ° =90°， AD BE依照题意画出图形，如图（二）所示 S ABC+S EBC=SCAE+S EAB，即AC?BC+BE?CM=AE（ CM+BE）， AC2 AE?BE=CM（ AEBE） CDE为等腰直角三角形，DE=2CM， AE BE=2CM（2）依照题意画出图形（三）其中 AB=， DP=1， BD=AB=由勾股定理得： BP=3.结合（ 1）的结论可知：AM=1故点 A 到 BP的距离为1【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）结合题意画出图形；找出ADC BEC；利用分

8、割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）的算式求出结论本题属于中档题，（1）难度不大；难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段AC当成已知量；（ 2）利用类比的方法套入（ 1）的算式即可解决该题型题目时，画出图形，注意数形结合是关键2、解：（ 1） 120 ° 2 分， AD BE4 分（ 2）.（3）如下图所示由（ 2）知 BEC APC， BE=AP 5， BEC= APC 150 °， APD=30°， AP=5， CP=4， DP=8， APD=30°， EPC=60°， BED= BEC- PEC=90

9、°， DPC 120 °又 DPE DPC EPC 120 ° 60° 180°，即 D、 P、 E 在同一条直线上 DE=DP+PE=8+4=12， BE=5， BD的长为 133、【考点】三角形综合题【分析】（ 1）设 BD=2x，AD=3x，CD=4x，根据勾股定理求出AC 根据等腰三角形的判定定理解答；（ 2）根据三角形的面积公式求出三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可；（ 3）分 DE=DM、 ED=EM、 MD=ME三种情况，根据等腰三角形的性质解答【解答】解：（ 1）设 BD=2x， AD=3x， CD=4x，在 Rt

10、 ACD中， AC=5x，又 AB=5x，AB=AC， ABC是等腰三角形；（ 2） SABC=× 5x× 4x=10cm2，解得， x=1cm，则 BD=2cm， AD=3cm， CD=4cm， AC=5cm，当 MN BC时， AM=AN，即 5 t=t ， t=2.5 ，当 DN BC时， AD=AN，则 t=3 ，故若 DMN的边与 BC 平行时， t 值为 2.5 或 3.当点 M在 BD上，即0 t 2 时， MDE为钝角三角形，但DM DE，当 t=2 时，点 M运动到点D，不构成三角形，当点 M在 DA上，即2 t 5 时， MDE为等腰三角形，有3 种可能

11、如果 DE=DM，则 t 2=2.5 ， t=4.5 ，如果ED=EM，则点 M运动到点A，t=5 ，如果MD=ME=t2，则（ t 2） 2（ t 3.5 ）2 =22， t=，综上所述，符合要求的t 值为 4.5 或 5 或【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键4、【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】（ 1）连接CD，推出 CD=AD， CDF=ADE， A= DCB，证 ADE CDF即可；连接 DG，根据直角三角形斜边上中线求出 CG=EG=GF=D

12、G，推出 GCD= GDC，推出 GDH= GHD，推出 DG=GH即可；（ 2）求出 EF=5，根据勾股定理求出 EC，即可得出答案【解答】解：（ 1）连接 CD， ACB=90°， D 为 AB的中点， AC=BC， CD=AD=BD，又 AC=BC， CDAB， EDA+ EDC=90°， DCF= DAE=45°， DF DE， EDF= EDC+ CDF=90°， ADE= CDF，在 ADE和 CDF中 ADE CDF，. DE=DF连接 DG， ACB=90°， G 为 EF 的中点，CG=EG=FG， EDF=90°，

13、 G为 EF的中点，DG=EG=FG， CG=DG， GCD= CDG又 CD AB， CDH=90°， GHD+ GCD=90°， HDG+ GDC=90°， GHD= HDG， GH=GD， CG=GH（2）如图，当E 在线段AC上时， CG=GH=EG=GF， CH=EF=5， ADE CDF， AE=CF=3，在 Rt ECF中，由勾股定理得：， AC=AE+EC=3+4=7；如图，当 E 在线段 CA延长线时，AC=EC AE=4 3=1，综合上述AC=7或 1.5、解：(1) 在 Rt ABD中， AB 5，AD，由勾股定理， 得 BD.S BD

14、83; AEAB· AD， AE 4. ABD在 Rt ABE中， AB 5， AE 4，由勾股定理，得BE 3.(第 27 题图解 )(2) 设平移中的三角形为 A B F，如解图所示由对称点性质可知，1 2.由平移性质可知，AB A B， 4 5 1， BF BF 3.当点 F落在 AB上时， AB A B， 3 4， 3 1 2，BB B F 3，即 m 3；当点 F落在 AD上时， AB A B， 6 2. 1 2， 5 1， 5 6. 又易知A B AD， B F D 为等腰三角形，B D B F 3，BB BD B D 3，即 m. m 3 或（对一个得 2 分）(3)

15、存在理由如下：在旋转过程中，等腰DPQ依次有以下4 种情形：如解 图所示，点Q落在 BD延长线上，且PD DQ，易知 2 2 Q.(第 27 题图解 ) 1 3 Q， 1 2， 3 Q A Q A B 5，F QF A A Q4 59.在 Rt Q中，由勾股定理，得 3.BFBQ( 第 27 题图解 ) DQBQBD3.如解图所示，点Q落在 BD上，且 PQ DQ，易知 2 P. 1 2， 1 P， BA PD，则此时点A 落在 BC边上 3 2， 3 1， BQ A Q， F Q F A A Q 4 BQ.222在 Rt BQF中，由勾股定理，得BF F Q BQ，即 32(4 ) 22，解得.BQBQBQDQ BD BQ如解图所示，点Q落在 BD上，且 PD DQ，易知 3 4.( 第 27 题图解 ) 2 3 4 180°， 3 4， 4 90° 2. 1 2， 4 90° 1. A QB