专题15椭圆、双曲线、抛物线-2018年高考理数二轮复习精品资料(教师版)

1、专业文档珍贵文档37 336 + =4=2 ，专题“椭圆、双曲线*抛物线x2y21已知双曲线旷/ =1（a0，b ）的左、右焦点分别为F1,F2，以F1,F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）2 2x2y2A.-=116922x2y2B. =1342 2x2y2c-=19162 2x2y2D=143【答案】c【解析】臥F, F为直径的圆的方程为用+尸一 C 又因为点七在圆上所次齐+ #=小所以心，双曲线的一条渐近线方程为尸扫且点）在这条渐近线匕所以|斗又砂岸=425,解得0=4,所以双曲线的方程为曽-話=1,故选C.x2y22椭圆初+/1的焦点为F1和F2，

2、点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么1PF11是|PF21A . 7 倍 B . 5 倍 C . 4 倍 D . 3 倍线段PFi的中点M在y轴上,可设P(3 ,b),x2y23把P(3,b)代入椭圆 i2 + 3 =1，得b2= 4.专练【答案】A【解析】 由题设知 |PFi| =专业文档珍贵文档73|PFi|2二 =7.故选 A|PF21323 已知Fi,F2为双曲线C：x2y2= 1 的左、右焦点，点P在C上，/F1PF2= 60。，卯PFi|PF2| =( )A 2 B. 4 C 6 D 8【答案】B【解析】由余弦定理得_|PFi|2+ |PF2|2 |FiF2|2cosZ

3、F1PF2=2|PFi|PF2|(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|P|PF1|P|= 4.cos 60专业文档珍贵文档二双曲线C的离心率尸討适.故选B4 设F1,F2分别是双曲线2 2x2y2C：a忘=1的左、右焦点,占P八、 、且PF1丄PF2,则双曲线C的离心率等于（【答案】B【解析】根据已知条件得:专业文档珍贵文档x2y25 .已知抛物线C的顶点是椭圆一+ = 1 的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该43275A. B. C- D. 2333p伫匚 1,0），即抛物线C的焦点为（1 ,0）,二 2 = 1，二p= 2 , 2p= 4 ,

4、抛物线C的方程为y2= 4x,联立43.y2= 4x.5|PF1|= 2a |PF2|= 4 3x2y26.已知双曲线H汉=1（a0，b）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（一 2 , 1），则双曲线的焦距为（ ）牛=4,【答素】B【解析】由题意得-=-2,广1=（2吋严心一厂b=i二双曲线的焦距2尸2衣故选B.7 .抛物线y2= 4x的焦点为F,准线为I，经过F且斜率为-3 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交椭圆在第一象限的交点为P,椭圆的左焦点为Fi，则|PFi|=（【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a2= 4,b2= 3，

5、二c=a2b2= 1，故椭圆的右焦点F2为(1 ,3/ P为第一象限的点,25|PF2|= 1 + =,337，故选 B.345x=33D.专业文档珍贵文档 k0, k=223 .故选B.于点A,AK丄I,垂足为 心则厶AKF的面积是()A. 4 B. 33 C. 43 D. 8【答案】C【解析】/y2= 4x, F(1 , 0),I：x=- 1，过焦点F且斜率为 3 的直线Il:y= 3(x1)，与y2= 4x联立，解得x= 3 或x=(舍)，故A(3 , 2 3), AK= 4 , SAKF= _X4X32故选 C.8 .已知直线y=k(x+ 1)(k0)与抛物线C：y2= 4x相交于A,

6、B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=()1 2 2 2 - 2 A. B. C. D.亠3333【答案】B【解析】设A,B的纵坐标分别为yi,y2,由|FA|= 2|FB|得yi= 2y2(如图).又y1,y2是该方程的两根,43y2= yTy2=k，4k2y2=y1y2= 4 ,jk(42由得，2=y2=Qk丿由y=k(x+ 1)得，x=y 1,代入kC：y2= 4x并整理得ky2 4y+ 4k= 0,专业文档珍贵文档x2y2o9 .设椭圆的方程为 +2= 1(ab0)，右焦点为F(c, 0)(c0)，方程ax2+bxc= 0 的两实根分别a2b2为XI，X2,贝U P

7、(X1，X2)()A .必在圆x2+y2= 2 内B. 必在圆x2+y2= 2 夕卜C. 必在圆x2+y2= 1 夕卜D .必在圆x2+y2= 1 与圆x2+y2= 2 形成的圆环之间 .【答案】D【解析】椭圆的方程为+卡=如妙)，右焦点为列 G0)(00),方程ax- + bx-c=Q的 两实根分别为拭和塩，-.bc则肋 + 二一：XXiaa昭十迟=(简 + 贮J2-2xXi + L，- = 1 + H)a o (x因为 gxl即 W所以13+ 12,所以对+愈4,厂捉lac贰+圧+以一又-二為A A託所以1+迟b0)的左焦点为F,右顶点为A，抛物线y2= (a+c)x与椭圆交于B,a2b2

8、8C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于()15421A. B. C.D.81532专业文档珍贵文档x2y2【答案】D 【解析】椭圆_+ _= 1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A, A(a, 0),F(c, 0).a2b215抛物线y2=(a+c)x与椭圆交于B,C两点，8专业文档珍贵文档解析：由双曲x22= 1, b2=3,故 c=a2+ b2= 2,所以A(1,0)，渐近线方程为y= 土 3x.B,C两点关于x轴对称，可设B(m,n),C(m, -n).四边形ABFC是菱形，解析：由題竜得|功|=阴|,所以幽阳+珂=尸=皿姑|=2.所以点P的轨迹星臥出F为焦点的椭圆且尸尸、&

9、amp; &所臥匸晶匸晶所汰动点p的轨迹方程対+=1.答案：D渐近线于点 B,则 SABF=(Bh3V3D. 8?!f/ 、L (ac)1寸 15 丨?-(ac), b,再代入椭圆方程，得a22勺1524丿 + = 1 十b21,1 (ac)2116，13化简整理，得 4e2 8e+ 3 = 0,解得e=；1 不符合题意，舍去).故选 D.11.已知 A( 1, 0), B 是圆 F: x2 2x+ y2 11 = 0(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF于 P,则动点 P 的轨迹方程为(A.y_11B.Q36y_35C.x_312 .已知双曲线 C : x22y1=

10、13的右顶点为 A，过右焦点 F 的直线 l 与 C 的一条渐近线平行，交另一条A. 33、3C. 4将B(m，n)代入抛物线方程，得专业文档珍贵文档不妨设 BF 的方程为 y= 3(x 2),代入方程 y= 3x,解得 B(1, 3),所以SAFB= 2|AF| |yB|= 2X1 汽 3 = -23.答案：B13.已知抛物线 C: y2= 8x 的焦点为 F ,准线为 I , P 是 I 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若 FP=4FQ，则 |QF|等于_.ff解析：过点 Q 作 QQ 丄 I 交 I 于点 Q,因为 FP = 4FQ，所以|PQ| : |PF|= 3 : 4

11、.又焦点 F 到准线 I 的距离为 4,所以|QF|= |QQ| = 3.答案：32 214.已知抛物线 y2= 2px(p0)上的一点 M(1, t)(t0)到焦点的距离为 5,双曲线X2y= 1(a0)的左a 9顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数 a 的值为_ .解析：由題设1時=,所不妨设点3/在x轴上方,则项项 1,4)由于双曲线的左顶点Aaf0),且屈M平行一条渐近线，所舛土二右则尸3-答案：3x2y215 已知双曲线 石=1(a0 ,b0)的右焦点为F,由F向其渐近线引垂线，垂足为P,若线段a2b2PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _ .【解析】方

12、由题意设F(c, 0),相应的渐近线方程为by=x，根据题意得aakpF= ,设P x,b Iaa2a2ab；/1a2ab1/ / 、ac代入kPF= 一得x= 一，贝UP一，,则线段PF的中点为一+c，代入双曲线方程得一一 + 一bccc.丿 =1，即一+e442专业文档珍贵文档x2y2x y方法二：双曲线22= 1(a 0 ,b 0)的渐近线方程为土 = 0,焦点F到渐近线的距离d=a2b2a b专业文档珍贵文档bb2M(xo,yo),则其到两条渐近线的距离分别为b ,2,距离之积为, ,16 .已知Fi,F2分别是双曲线 3x2y2= 3a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y2= 8ax

13、与双曲线的一个交点，若|PFi| + |PF2|= 12，则抛物线的准线方程为 _ _【解析】 将忍曲线方程化为标淮方程得岸-話=1，抛物线的准线为为联立解得x=3如即点P的横坐标为3口十PF：|=12,而由PFi-PFla解得,.r.PF2=a+2a=6-af解得应=1,二抛物线的准线方程为A=-2.【答案】x= 217 设椭圆中心在坐标原点，A(2 , 0),B(0, 1)是它的两个顶点，直线y=kx(k 0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点.若Eb= 6DF,贝U k的值为_ _x2【解析】 依题意得椭圆的方程为+y2= 1 ,直线AB, EF的方程分别为x+ 2y= 2,y

14、=kx(k0).如4则2c2b22，=b.设线段a2b2c2，a2b2【答案】2专业文档珍贵文档设D(xo,kxo),E(xi,kxi),F(X2,kx2)，其中xivX2，则xi,X2满足方程(1 + 4k2)x2= 4，故X2= 2T T1510 xi=.由ED= 6DF知xoxi= 6(x2xo)，得xo= (6x2+xi)=X2=.由D在直线AB上1 + 4k2777 1 + 4k223【答案】或38OA OP= 72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 _ .【解析】T升0-1屈,.OP=iOAf则 6P,三点共线.OAOP=72S设线段。卩与x轴的夹角为比设迪心百対点，在x轴的

15、投影,则线段协在迪的投影长度为朝卄晋 S 命当且仅当 X 二爭寸等号成立.则线段OP在X-轴上的投嶷长度的最大值为15【答案】 15图,2 2知，32kxo=2，1071 + 4k223，化简得24k2-25k+6=0，解得k= 3 或k= 8.18 .在平面直角坐标系x2y2xOy中，已知点A在椭圆 2；+=1 上，点P满足AP=(入一 1)OA(入 R),且专业文档珍贵文档19 .已知抛物线C:y2= 2px(p0)的焦点为F(1 , 0)，抛物线E：x2= 2py的焦点为M.(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；专业文档珍贵文档(2)若直线MF与抛物线C交于A

16、,B两点，求OAB的面积.解：由题意得抛物线C：y2= 2px(p0)的焦点为F(1 , 0)，抛物线E x2= 2py的焦点为M，所以p= 2 ,M(0 ,1),当直线l的斜率不存在时，x= 0,满足题意；当直线I的斜率存在时，设方程为y=kx+ 1，代入1y2= 4x,得k2x2+ (2k 4)x+ 1 = 0,当k= 0 时，x=，满足题意，直线I的方程为y= 1 ;当k工0时，4=(2k 4)2 4k2= 0，所以k= 1，方程为y=x+ 1，综上可得，直线I的方程为x= 0 或y= 1 或y=x+1.结合(1)知抛物线C的方程为y2= 4x，直线MF的方程为y= x+ 1，y2= 4

17、x，联立得y2+ 4y 4 = 0，y= x+1，设A(x1，y1)，B(X2，y2)，则y1+y2= 4，y1y2= 4，(xi 2)(X2 2)专业文档珍贵文档当MA，MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线I在y轴所以 |y1y2|= 42.y2=4-6x的焦点相同，又椭圆C上有(1)求椭圆C的方程;专业文档珍贵文档上截距的取值范围. 解： 抛物线尸二也念的焦点为0),又椭lc有一点以2,1),由題意设椭圆方程为： +挙=1 心方0),解得C1一2二椭圆C的方程対壬+石=111/l/OM?ki=koM= 一，设直线在y轴上的截距为m，则直线I:y=x+m.2

18、2直线I与椭圆C交于A,B两点.1y=2x+m,联立22消去y得x2y2+= i8 2x2+ 2mx+ 2m2-4 = 0, / = (2m)2-4(2m2 4) = 4(4 -m2)0 ,m 的取值范围是m| 2vm 2，且m丰丰0,设MA,MB的斜率分别为ki,k2,ki+k2= 0 ,yi 1则A(xi,yi),B(X2,y2)，则ki=xi 2yi 1y2 1-ki+k2=+Xi 2X2 2(yi 1 )(X2 2) + (y2 1)(xi 2)(Xi 2)(X2 2)xiX2+(m 2)(xi+X2) 4 (m 1)y2 1k2=,X1X2= 2m2 4 ,xi+X2X2 22m,/

19、 1_X1+m 1 (X2 2) +、2/ 、1_X2+m专业文档珍贵文档(xi 2)(X2 2)专业文档珍贵文档所以2=砸又由已知得C=1,所我椭圆c的离尤痒总=夕=事=.X2由(1)知，椭圆C的方程为+y2= 1.设点Q的坐标为(x,y).当直线I与x轴垂直时，直线I与椭圆C交于(0,1) ,(0， 1)两点，此时点Q的坐标为0当直线I与x轴不垂直时，设直线I的方程为y=kx+ 2.因为 M ,N在直线I上，可设点 M ,N的坐标分别为(X1,kx1+ 2), (X2,kx2+ 2),则|AM|2= (1 +k2)x1,|AN|2= (1 +k2)x2.2m2-4 2m2+ 4m 4m+

20、4= =0,(xi 2)(X2 2)故MA, ,MB与x轴始终围成等腰三角形时,直线I在y轴上的截距m的取值范围是m| 2vmb0)的两个焦点分别为Fi( 1 ,0) ,F2(1 ,0)，且椭圆C经过点P(1)求椭圆C的离心率;2 1 1设过点A(。，2)的直线1与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且両=而+丽，求点Q的轨迹方程.解：由椭圆定义潮la- PD4-PFi专业文档珍贵文档又 |AQ|2=x2+ (y 2)2= (1 +k2)x2.专业文档珍贵文档2 1 1由 =+o,|AQ|2|AM|2|AN|22 1 1= +(1 +k2)x2(1 +k2)x1(1 +k2)x2x2将

21、y=kx+ 2 代入+y2= 1 中，得 (2k2+ 1)x2+ 8kx+ 6 = 0.由=阳一42 1严60得由可去D, Q+尤=电诂，工必=帀匚亍代入中并化简得壬=器？因为点0在直线尸氐+2上，所以匸宁，代入中并化简 得1呛_即_3疋=1&由及氓氓, ,可知即尼尼- -黑黑“血收又点G 2-班満足恥2F 32故启启- -龟龟辱由题意知Q(x,y)在椭圆C内,所以一 1 茫 1.又由 10(y 2)2= 18 + 3x2有1 痔 1,所以点Q的轨迹方程为 10(y 2)2 3x2= 18 ,即x2=x2+x2=(X1+X2)2x2x22X1X2-(y-2)25,4， 且-专业文档1珍

22、贵文档x2y222 .如图，已知M(xo,yo)是椭圆C： 一+一= 1 上的任一点，从原点0向圆M: (xxo)2+ (yyo)263P,Q.=2 作两条切线，分别交椭圆于点(1)若直线OP,0Q的斜率存在，并记为ki,k2,求证：kik2为定值;(2)试问|0P|2+ |0Q|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.解：证明：因为直线卯：oo：尸血与圆M相切，所以&二vi + frt化简得：(xo-2用一2切価+-2=0,同理：(xo-2)匹一lx 叮血叮血+ H-2=0；所次也启是方程(甥-2)解-肚卩址+讯一2=0的两个不相等的实数根，因为点MX Jt列)在椭圆C上所以

23、金+乎=1即yi3 -札所以矗圧=是?=-1为定值(2)|OP|2+ |OQ|2是定值，定值为 9.理由如下:方法一：当直线OP,OQ不落在坐标轴上时，设P(xi,yi),Q(X2,y2),x2=解得61 + 2k?6k21 + 2k2所以x2+y2=6 (1 +k2)1 + 2k26 (1 +k2)，同理得x2+y2=1 * 2k2专业文档珍贵文档又因为kik2= - 2,所以 |OP|2+ |0Q|2=x2+y2+x2+y26 (1 +k2)6 (1 +k2)1 + 2k2+ 1 + 2k2:6(1+k2) +6J +1+2k11+29 + 18k2-=91 + 2k19.当直线OP,0Q

24、落在坐标轴上时，显然有|0P|2+ |0Q|2= 9 ,综上：|0P|2+ |0Q|2= 9 为定值.方法二方法二: :当直线。凡0Q不落在坐标轴上时，设巩小VI), 4忙)， 因为小定=黑所以二d民，因为Pg vi),如血在椭圆C上,勺+世=1“ 6+3lf所以 / ， 即彳忑丄1三+蔦1 二b液乞整理得:ri+込二爲所以戶+戶=b-扁+3 -儿所以OP：+ 0。g当直线凶落在坐标轴上时，显燃有0P-+ 0Q-=9?综上0P0Q-=9为定值.23 .已知动点P到定点F(1 , 0)和到直线x= 2 的距离之比亠，设动点P的轨迹为曲线E2作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点，直线I：y=

25、mx+n与曲线E交于C,D两点,AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;2k1丿过点F与线段专业文档1珍贵文档(2)当直线I与圆x2+y2= 1 相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应 的直线I的方程；若没有，请说明理由.解：(1)设点P(x,y)，由题意可得,(x- 1)2+y22|x- 2| 2 ，x2整理可得+y2= 1.2、x2 曲线E的方程是一+y2= 1.2(2)设C(xi, ,对对f f,沖),由已知可得AB =迈迈当唧=0时不合題意*当0时由直线I与圆可得卡=1,即咄+1二也 烟+1=檢+社,麻立壬、,消去得;？+*尸+吳ix+wm*二二斗wPn241m24-Tjt?!2 1)=2:0,C:y2= 4x,过点A(1 , 2)作抛物线C的弦AP,AQ.则Al=-2咖+需2wP+ 17 7 邮一百邮一百2?r +11当且仅当 2|m|经检验可知，直线2 6y= 2x-2和直线y=-x +空符合题意.2 2壮一肋=时等号成立，此时22 专业文档珍贵文档(1)若AP丄AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标;假设直线PQ过点T(5 , - 2),请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ?若存在，求出APQ的个数，若不存在，请说明理由