单个正态总体的假设检验

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use薈第二节单个正态总体的假设检验蒃i.单个正态总体数学期望的假设检验蒂（1） 异已知关于的假设检验（Z检验法（Z-test）虿设总体XN （ 1 , （T 2）,方差（T 2已知，检验假设ZN ( 0,1),所以螇H0：1 = 1 ° H1:1工1 0 （1 0为已知常数）腿由螁我们选取X -二节 X N ( 1 , ) ,- N (0, 1),n0 / d nX - 1袅 Z=二(8.2)二 / , n蚆作为此假设检验的统计量，显然当假设Ho为真（即1

2、= 1 °正确）时,对于给定的显著性水平 a，可求乙/2使羃 P I Z |> Za/2= a ,薈见图8-1,即膈 PZV -Za /2+PZ> Za/2= a .肅从而有螃 PZ> 乙 /2= a 12,蕿 PZ < 乙 /2=1- a /2.莆图8-1蒅利用概率1- a /2，反查标准正态分布函数表，得双侧a分位点（即临界值）乙/2.蒄另一方面，利用样本观察值 Xi, X2,，Xn计算统计量Z的观察值(8.3)蚈如果：（a）| zo | > za /2，则在显著性水平a下，拒绝原假设 H。（接受备择假设 Hi）,所 以| Zo |> Za /

3、2便是H0的拒绝域.袄（b）| Zo |< Za/2，则在显著性水平 a下，接受原假设 Ho,认为Ho正确.芄这里我们是利用 H0为真时服从N （0，1）分布的统计量 Z来确定拒绝域的，这种检验 法称为Z检验法（或称U检验法）.例8. 1中所用的方法就是 Z检验法.为了熟悉这类假设检 验的具体作法，现在我们再举一例 .蒈例8. 2根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布，方差 异=1.21.从该厂产品中随机抽取 6块，测得抗断强度如下（单位：kg cm-2）:螇 32.5629.6631.6430.0031.8731.03莃检验这批砖的平均抗断强度为32.50

4、kg cm-2是否成立（取a =0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？蚀解 提出假设Ho：卩=卩0=32.50; H1：卩工卩o.薀选取统计量袅Z=X， -/ . n '螃若Ho为真，则ZN （ 0，1）芇这里 Zt /2=Z0.025=1.96 .蒆计算统计量Z的观察值:薁 P I Z |> Za /2= a ,賺I Z0 I =31.1332.503.05.1.1.6莈 判断：由于I zo | =3.05> Zo.o25=1.96，所以在显著性水平a =0. 05下否定Ho,即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg cm-2.莆把上面的检验过程加

5、以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值卩的检验步骤：祎(a)提出待检验的假设 H。: 1 = 10； H1:卩工卩0.羁(b)构造统计量Z,并计算其观察值Z0：x-i螈(c)对给定的显著性水平a，根据芅 P | Z | > Za/2= a , PZ> za /2= a /2 , PZ< z/2=1- a /2蚂查标准正态分布表，得双侧a分位点Za /2.蒁(d)作出判断：根据H0的拒绝域袇若I z0 | > Za/2，则拒绝H0,接受比；螄若I Z0 | < Za/2，则接受H0.蒂(2)方差t 2未知，检验i (t检验法(t- test)芈设总体XN ( 1

6、 , t 2),方差t 2未知，检验艿 H0:1 = 1 0； H1:1工1 0.X 卩膄由于T 2未知，X 丄便不是统计量，这时我们自然想到用T 2的无偏估计量一一样本方差S2代替c2,由于t (n-1)莀故选取样本的函数莇 t=x二S/ . n(8. 4)薃图8-2袃作为统计量，当H。为真(卩=卩°)时tt (n-1),对给定的检验显著性水平a，由蒁 P I t |> ta/2 ( n-1) = a ,蒆Pt>ta/2 (n-1) = a /2,芆见图8-2，直接查t分布表，得t分布分位点t a/2 (n-1)蚃利用样本观察值，计算统计量t的观察值袈因而原假设H0的拒

7、绝域为蚆 I t° | =X-%sb, n> ta /2 (n-1)(8.5)莄所以，若I t° |> ta佗(n-1)，则拒绝H°,接受H仁若| t° |w t a /2 (n-1)，则接受原假设Ho.芀上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法.羆在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的问题.膅例8. 3用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数据是 1250° ,1265°, 1245°,1260° , 1275°，而用别的精确办法测得温度为1277。(

8、可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差？袀这里假设测量值 X服从N （卩，d 2）分布.莁解问题是要检验肅Ho：卩=卩0=1277 ; H1:卩工卩o.芀由于d 2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量莆 t=x-% .S/ , n袅当Ho为真时，tt （n-1）, t的观察值为膃 I to I =1259 -1277. '(570)/(4 5)-185.399> 3.螀对于给定的检验水平a =0.05，由肇 P I t |> ta/2 ( n-1) = a ,羆 Pt > ta /2 (n-1) = a /2,芁 Pt > to.025(4)=

9、0.025 ,腿查t分布表得双侧a分位点袇ta/2 (n-1) =t°.025(4)=2.776.羇因为I t° |> 3>t°.025（4）=2.776，故应拒绝H°,认为该仪器间接测量有系统偏差蚄（3） 双边检验与单边检验蕿上面讨论的假设检验中，H。为卩=卩0,而备择假设H1：卩工卩0意思是可能大于0,也可能小于1 0,称为双边备择假设，而称形如H。： 1 = 1 0, H1： 1工1 0的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所 考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总

10、体均值较以往正常生产的 大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设(8.6)薈H。：1 = 1 0； H1:1 > 1 0.，形如(8.6)的假设检螅(我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差) 验，称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设螂 Ho：0； Hi：卩<卩 0.( & 7)节形如(8. 7)的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验莈下面来讨论单边检验的拒绝域祎设总体XN ( 1 , d 2),异为已知，Xi, X2,，Xn是来自X的样本观察值给定显著性 水平a，我们先求检验问题膅 H o: 1 = 1 ° H i:

11、o.蚁的拒绝域.X _ A肇取检验统计量Z=X 一 0 ,当Ho为真时，Z不应太大，而在 Hi为真时，由于X是1的-/无偏估计，当1偏大时，X也偏大，从而z往往偏大，因此拒绝域的形式为X - 蚃Z=0- > k, k待定.-/ . nX - k芃因为当Ho为真时，0 N (0, 1)，由 / J n賺 P拒绝 Hol Ho 为真=P X'，0_k =g/JnJ> Za蝿得k=Za，故拒绝域为(8.8)莁类似地，左边检验冋题薀Ho：1 = 1 o； Hi:1<1 o.蕿的拒绝域为8. 9)螄例8. 4 从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为卩，由于信号传送时有噪声迭

12、加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布N （ 0, 22）,从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布 N （卩，22）的随机变量设甲地发送某信号 5次，乙地收到的信号值为：罿 8.410.59.19.69.9艿由以往经验，信号值为8，于是乙方猜测甲地发送的信号值为8,能否接受这种猜测？取a =0.05.薄解按题意需检验假设袂 H0:卩=8; Hi:卩 >&肀即Z=z0.05=1.645.荿这是右边检验问题，其拒绝域如（8. 8）式所示，薅而现在9.58芅 Z0=1.68 > 1.645,2/ . 5肂所以拒绝H。，认为发出的信号值卩> 8.薆2.单个正态总体方差的

13、假设检验（2 检验法(2 - test)蚆（1） 双边检验莃设总体XN （卩,d 2） , （1未知，检验假设薂H 0:H1：d 2工芇其中d 02为已知常数S2蒄由于样本方差S2是/的无偏估计，当 Ho为真时，比值2 一般来说应在1附近摆动,%蒁 2("S22-02(n-1).(8. 10)而不应过分大于1或过分小于1,由第六章知当H。为真时羁所以对于给定的显著性水平 a有(图8-3)羇图8-32 2 2薅 P 1_-./2 5-1)ww ./2 (n-1) =1- a .(8. 11)袄对于给定的a,查2分布表可求得2分布分位点2_./2 (n-1)与2/2( n-1)莀由(8.

14、 11)知，Ho的接受域是螇 12_：./2 (n-1)< 2 < 2/2 (n-1)；(8. 12)薇Ho的拒绝域为羂 2 V 二./2 (n-1)或2 >2/2 (n-1) .(8.13)袀这种用服从2分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为2检验法.蒈例8. 5某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差d 2=5000 (小时2)的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取 26只电池，测得其寿命的样本方差s2=9200 (小时2).问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化(取a =0.02

15、)?莄解本题要求在a =0.02下检验假设2 2莄 H°： d=5000 ; H1 ： d 丰 5000.艿现在n=26,芈：./2 (n-1) = 0.0： (25)=44.314 ,2 2蒅工戎2 (n-1)= %.99 (25)=11.524,蒃 cq2=5000.羂由（& 13 ）拒绝域为(n-1)s22-0> 44.314蒇或(n -1)s22V 11.524莂由观察值s2=9200得（n £丄=46 >44.314,所以拒绝Ho,认为这批电池寿命的波动性较以ao往有显著的变化.蝿（2）单边检验（右检验或左检验）芄设总体XN （卩，d 2）,卩

16、未知，检验假设羃 Ho： d 2 W CQ2； H 1 : （T> CQ2.（右检验）螁由于XN （卩，d 2）,故随机变量21)S(n-1)莅当H°为真时，统计量(n- 1)S262芁对于显著性水平a，有膀 P*2 >,2 (n-1) = a莇图8-4蒄(图8-4).于是有蚀P 2 > .2 (n-1) < P *2 > .2 (n-1) = a .羀可见，当a很小时，2 >.2 (n-1) 是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生,所以Ho的拒绝域是：2 (n- 1)S22>(n-1)(右检验).(8. 14)薃类似地，可得左检验假设H

17、o：异6 02, Hl : (T 2< (T 02的拒绝域为聿 2 <.2 (n-1)(左检验).(8. 15)1 -st蒆例8. 6今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取 25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s2=0.00066 ,已知革新前零件直径的方差t 2=0.0012 ,设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？ ( a =0.05)芆解(1)提出假设 Ho： t 2> t o2=O.OO12 ; H1： t 2< t o2.(n- 1)S2蚁(2)选取统计量2-02腿工*2 = (n-?S 乂2(门-1),且当Ho为真时,莇(3

18、) 对于显著性水平 a =o.o5，查 2分布表得-. 2 - 2肃上 y (n-1)=上°.95 (24)=13.848 ,膂当Ho为真时,膄故拒绝域为羇 P 2<I ：2(n-i)三 p (n -)S :2 CF2 2膂 <2. (n-1)=13.848.蚁(4)根据样本观察值计算2的观察值(n-1)s224 0.000660.0012=13.2.膆(5)作判断：由于 2 =13.2V 仁2 (n-1)=13.848，即2落入拒绝域中，所以拒绝Ho：/ Ac 02，即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统

19、计蒄最后我们指出，以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在实 际问题中较多至于均值已知的情况下， 量为n(Xi)22 i=12-0莈当c 2= c 02为真时，2 2 ( n)8-2.芇关于单个正态总体的假设检验可列表蚂表8-2蒀检肄验条袀H。衿比肆H0的拒绝域肃检验用的虿自由 度腿分位点膈羅荿统计量参件数节数肂学荿期羄望薄2(T蒂已膀知羆 = 蚂 w 0袁 0薆工 0肇 > 0肅 V 0芀 |Z|> Za/2莆 Z> Za袅 Z V -Z a7又_卩0 膃Z=二a /亦螀肇土 Z/2羆Za芁-Za袇2 (T羇未蚄知蕿口 = 薈0® 0螂工 0节 > 0莈 V 0祎 | t | > ta /2膅 t > ta蒇 t V -tas/你n-1± t aat a-t a方差 未 知2 2CT = 002v2C w o 02>2C 庐C 02 土2C产C 02、2C > C 022C V C 072 >T /22> a/2了 2了