地下水渗流基本方程及数学模型

1、 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型2-1 2-1 一、一、含水层的状态方程含水层的状态方程含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。 1、地下水的状态方程、地下水的状态方程 Hooke定律：定律： 式中：式中：E体积弹性系数（体积弹性模量），体积弹性系数（体积弹性模量），20时，时， E=2.1105N/cm2。其倒数为压缩系数。其倒数为压缩系数。等温条件下，水的压缩系数等温条件下，水的压缩系数(coef. of compressibility)为为dVdpVEdpdVV1 Ch2

2、 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型)(00ppeVV)(00ppe)(1 00ppVV)(1 00pp 0)(VddVVddpVdVd积分（积分（pp0，VV0）改写得：）改写得：体积：体积：密度：密度：按按Taylor级数展开，得到近似方程：级数展开，得到近似方程：和和 因因 （质量守恒），故有（质量守恒），故有 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型2 、多孔介质的状态方程、多孔介质的状态方程 多孔介质压缩系数（多孔介质压缩系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在）表示多孔介质在压强变化时的压缩性的

3、指标，用压强变化时的压缩性的指标，用 表示。表示。 多孔介质压缩系数多孔介质压缩系数 的表达式为：的表达式为：式中，式中，VbVs+Vv多孔介质中所取单元体的总体积；多孔介质中所取单元体的总体积； Vs单元体中固体骨架（单元体中固体骨架（solid matrix）体积；）体积； Vv为其中的孔隙（为其中的孔隙（voids）体积。）体积。 介质表面压强；介质表面压强；ddVVbb1 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型psnn)1(ddVVsss1ddVVvvp1sn)1(pnddVVddVVvbsb11ddVVnddVVnvvss1VvnVb；Vs(1-n)Vb式中

4、式中 多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，体颗粒本身的压缩性的指标， s p； 多孔介质中孔隙压缩系数多孔介质中孔隙压缩系数（Compressibility of the pores of a porous medium），表示多孔介质中孔），表示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。隙的压缩性的指标。 n多孔介质的孔隙度。多孔介质的孔隙度。因因 ，故，故 。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型3、 贮水率和贮水系数贮水率和贮水系数 考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面考虑承压含水层受力情况，取一

5、水平横截面AB，按，按Terzaghi（18831963）观点：）观点：式中式中 上覆荷重引起的总应力（上覆荷重引起的总应力（total stress）；）； 作用在固体颗粒上的粒间应力作用在固体颗粒上的粒间应力 (intergranular stress)； 横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占的水平面积比；横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占的水平面积比； p 水的压强。水的压强。Terzaghi令令 = 称为有效应力（称为有效应力（effective stress）。）。 很小，很小，(1- )p p，因此有：，因此有：ps)1 (ssps Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分

6、方程及数学模型图图11 一个可压缩的承压含水层（一个可压缩的承压含水层（J. Bear） Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 在水位下降为在水位下降为H时，有时，有 。即作用于固体骨架上的力增加了即作用于固体骨架上的力增加了H。 作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导致水的膨胀。致水的膨胀。 含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水层中释出，前者就象用手挤压充满了水的海绵会挤出水层中释出，前者就象用手挤压充满了水

7、的海绵会挤出水样。样。)()(HHp Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型思考题思考题1、在松散层覆盖的岩溶地区，建立高楼群时，出现地表塌陷，如何解释这一现象？、在松散层覆盖的岩溶地区，建立高楼群时，出现地表塌陷，如何解释这一现象？2、一列火车经过一个松散含水层附近的观测孔，该孔水位如何变化？、一列火车经过一个松散含水层附近的观测孔，该孔水位如何变化？3、我国不同地区因开地下水引起的地面沉降如何理解？、我国不同地区因开地下水引起的地面沉降如何理解？ Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型因因Vs=constant，故，故 只在垂直方向上有压

8、缩，只在垂直方向上有压缩， 故故上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关系。系。水头降低时含水层释出水的特征，取面积为水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为、厚度为l m (即体积为即体积为l m3)的含的含水层，考察当水头下降水层，考察当水头下降1m时释放的水量。此时，有效应力增加了时释放的水量。此时，有效应力增加了H g1= g。介质压缩体积减少所释放出的水量（介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为）为与水体积膨胀所释放出的水量（与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和）之和ggdpVdVbb1ndnVdVbb

9、1dzzdVdVbb)( dpzzd )(dpndn)1 ( ()dVV dpngng Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型上述二者之和所释放出的水量为上述二者之和所释放出的水量为或或式中式中 s 贮水率贮水率释水率释水率（specific storativity），量纲），量纲 L-1，为弹性，为弹性释水释水贮水贮水 ；式中式中 M含水层厚度含水层厚度(m)； *贮水系数（贮水系数（storativity）。）。 *= sM贮水系数贮水系数 *和贮水率和贮水率 s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水动力学计算中具有重

10、要的意义。动力学计算中具有重要的意义。gngdVdVbs)(ngs Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型贮水率贮水率 表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。单位存）的弹性水量。单位1/L。贮水系数贮水系数又称又称释水系数或储水系数释水系数或储水系数，为含水层水头变化一个单位时，从底，为含水层水头变化一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚度的柱体中所释放（或贮存）的水量面

11、积为一个单位，高度等于含水层厚度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用于承压含水层，也变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。适用于潜水含水层。 贮水率贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动

12、，当研究整个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。gns)( Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型潜水含水层）承压含水层.()()(.ZHMEss *范围值：范围值：n10-3 n10-5； 范围值：范围值：0.05 0.30。实际测出的值往往小于理论值。实际测出的值往往小于理论值。 上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干滞后疏干现

13、象。现象。 弹性释水与重力给水弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给出存在着不同。出存在着不同。 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。现象。 当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用当水头下降时，可引起二部分水的排

14、出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用给水度给水度 表示表示重力排水重力排水的能力；在下部饱水部分则引起的能力；在下部饱水部分则引起弹性释水弹性释水，用贮水率，用贮水率 *表示这表示这一部分的释水能力。一部分的释水能力。 必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水瞬时完成的。只要水头下

15、降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数层的弹性释水，可用贮水系数 *表示这种释水的能力。表示这种释水的能力。 4 、导压系数、导压系数 描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层的导水描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。sKETa Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型二、二、 渗流连续方程渗流连续方程连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程水均衡的基本思想：水均衡的基本思想：对

16、某一研究对象，对某一研究对象，流入流入 流出流出V 研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体。研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体。u 大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价。大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价。u 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。 为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 由

17、于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。 在渗流场中任意取一点在渗流场中任意取一点P(x, y, z)，以，以P为中心沿直角坐标轴取一微小的为中心沿直角坐标轴取一微小的六面体，体积为六面体，体积为 ，称为，称为特征单元体特征单元体，设单元体无限小，但保证单元，设单元体无限小，但保证单元体穿过介质骨架和空隙。体穿过介质骨架和空隙。zyx),2(1zyxxP设vx x，vy y，vz z分别

18、为该点在X、Y、Z方向上的渗流速度。Abcd面中点 。沿X轴方向流入：tzyzyxxMxxxi),2(1 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型流出：流出：利用利用Taylor级数展开，略去二阶导数以上的高次项，有：级数展开，略去二阶导数以上的高次项，有：单元体本身水质量在单元体本身水质量在t时间内的变化量时间内的变化量 为液体密度。为液体密度。 由质量守恒定律由质量守恒定律,得到得到渗流的连续性方程渗流的连续性方程:tzyzyxxMxxxo),2(2tzyxxtzyxxMMMxxxxxoxix)(21)(21tzyxxx)(=同理 tzyxxMxy)(tzyxzMz

19、z)(MMMMzyx()Mnxyztt Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型或或 上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个“局局部部”所必须满足的质量守恒定律。所必须满足的质量守恒定律。 若把含水层看作刚体，若把含水层看作刚体， =constant，n不变，即水和介质不变，即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，

20、则渗流连续性方程为没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为tzyxntzyxzyxzyx)()()()()()(zyxntzyxdiv0)(zvyvxvdivzyx Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体积，即积，即体积守恒。体积守恒。 连续性方程连续性方程是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程

21、建立起来的。起来的。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型2-2 2-2 一、一、承压水运动的基本微分方程承压水运动的基本微分方程基本假设：基本假设：（1）单元体体积无限小，为承压含水层；）单元体体积无限小，为承压含水层；（2）含水层侧向受到限制，）含水层侧向受到限制， x、 y为常量为常量, z为变量为变量,存在垂向压缩，水的密存在垂向压缩，水的密度度 、孔隙度、孔隙度n和随压力和随压力p而变化；而变化；（3）由）由 引起的变化引起的变化 远小于单元体内液体质量的变化量（含远小于单元体内液体质量的变化量（含 ） ，可忽略不计；，可忽略不计；（4）水流服从）水流服从

22、Darcys Law；zyxzyxzyx)(czngrad Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型（5）K不因不因 的变化而变化；的变化而变化；（6） s和和K也不受也不受n变化（由于骨架变形）的影响。变化（由于骨架变形）的影响。 流体的质量：流体的质量： 由于含水层的侧向受到限制，可假设由于含水层的侧向受到限制，可假设 x、 y为常量，只考虑垂向压缩。为常量，只考虑垂向压缩。于是，只有水的密度于是，只有水的密度 .孔隙度孔隙度n和单元体高度和单元体高度 z三个量随压力而变化，于三个量随压力而变化，于是有：是有： 由含水层状态方程，由含水层状态方程，)( pzyxnV

23、MyxtznzyxnttM)()(yxtppzntppnztppzn)(=yxtppznpnzpzn)(=zdpzdndpdndpd)(),1(, Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型因为因为 所以有所以有 ，Z为定值，则为定值，则 则可得到：则可得到：于是于是连续性方程连续性方程变为：变为：又又则则 pZH)(ZHpdhdpzyxtHgnyxtHznnzzntM2)()1(zyxtHgnzyxzyxzyx2)()()()(tptHgtgZHtHgtp)(tHgtHpgtp1 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型令令 则则根据连续性原理有

24、：根据连续性原理有：则有：则有：即：即：将将 代入整理得：代入整理得： gns)(zyxtHtMszyxzyxtMzyx)()()(zyxzyxzyxtHtMzyxs)()()(zyxtHzyxzyxszyx)()()（zhKyhKxhKzyx, Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型所以有所以有上式为上式为三维流微分方程三维流微分方程，也可写成：，也可写成：物理意义：物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。积含水层中的弹性水量的

25、变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。zyxtHzyxzHKzyHKyxHKxs)()()(tHzHKzyHKyxHKxs)()()(tHhgradKdivs)( Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型基本微分方程基本微分方程(Basic Differential Equation)是研究承压含水层中地下水运动是研究承压含水层中地下水运动的基础。它反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时的基础。它反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左端）等于同一时间内单位体间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左

26、端）等于同一时间内单位体积含水层弹件释放积含水层弹件释放(或弹性贮存或弹性贮存)的水量（右端）。它还通过应用的水量（右端）。它还通过应用Darcy定律定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了渗流区中任何一个渗流区中任何一个“局部局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。都必须满足质量守恒和能量守恒定律。数学意义：数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。在柱坐标系中，基本微分方程为：在柱坐标系中，基本微分方程为：tHKzHHrrHrrrs222221)(1

27、Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型或或由地下水流基本微分方程，在均质各向同性介质中，方程简化为：由地下水流基本微分方程，在均质各向同性介质中，方程简化为：对于各向异性介质，若把坐标轴方向和各向异性介质的主方向定为一致，对于各向异性介质，若把坐标轴方向和各向异性介质的主方向定为一致，则有则有在二维流情况下，基本微分方程可表示为：在二维流情况下，基本微分方程可表示为：tHKzHHrrHrrHs222222211tHKzHyHxHs222222tHzHKzyHKyxHKxszzyyxx)()()(tHyHTyxHTx)()( Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗

28、流微分方程及数学模型 上式即为上式即为承压水平面二维流微分方程承压水平面二维流微分方程，该方程是研究承压水含水层中，该方程是研究承压水含水层中地下水运动的基础，反映了承压水含水层中地下水运动的质量守恒关系，地下水运动的基础，反映了承压水含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时间流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体表明单位时间流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或贮存）的水量。积含水层弹性释放（或贮存）的水量。 在实际渗流问题中若存在抽、注水及越流影响，只要在微分方程中的在实际渗流问题中若存在抽、注水及越流影响，只要在微分方程中的左端中通过加

29、、减左端中通过加、减W项，通常把该项称为源汇项。所谓的源项表示在垂直项，通常把该项称为源汇项。所谓的源项表示在垂直方向上有水流入含水层，此时方向上有水流入含水层，此时W为正；汇指在垂直方向上有水流出含水层为正；汇指在垂直方向上有水流出含水层，此时，此时W为负。为负。此时微分方程变成：此时微分方程变成：tHwzHKzyHKyxHKxs)()()( Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型二维流情况下：二维流情况下：在二维流情况下，令压力传导系数（导压系数），则在二维流情况下，令压力传导系数（导压系数），则均质各向同性含水层均质各向同性含水层基本微分方程为：基本微分方程为：

30、非均质各向同性含水层中的稳定流运动：非均质各向同性含水层中的稳定流运动：均质各向同性含水层中的稳定流运动：均质各向同性含水层中的稳定流运动： 上式也称上式也称Laplace方程。稳定运动方程的右端都等于零，意味着同一时间内流入方程。稳定运动方程的右端都等于零，意味着同一时间内流入单元体的水量等于流出的水量。这个结论不仅适用于承压含水层，也适用于潜水含单元体的水量等于流出的水量。这个结论不仅适用于承压含水层，也适用于潜水含水层和越流含水层。水层和越流含水层。tHwyHTyxHTx)()(tHawyHxH122220)()()(zHKzyHKyxHKx0222222zHyHxH Ch2 地下水渗流

31、微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型二、潜水运动的基本微分方程二、潜水运动的基本微分方程 1、Dupuit 假设假设在潜水面上任意取一点在潜水面上任意取一点P，有：，有：图图1-16 Dupuit假设假设sindsdzdsdHJ Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 该点的流速该点的流速v方向与潜水面相切，则由达西定律有：方向与潜水面相切，则由达西定律有：vs=-KJ=-Ksin。 当当很小时，很小时，tg=sin。此时，。此时，(1) 潜水面比较平缓，等水头面呈铅直潜水面比较平缓，等水头面呈铅直，水流基本水平，可忽略渗流速度的垂直分量，水流基本水平，可忽

32、略渗流速度的垂直分量vZ；0.01.02.03.04.05.0111213141516171角度qtan(q)/sin(q)tgqsinq图图 tg 、sin 与角度与角度 的关系的关系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型（2）隔水底板水平，铅垂剖面上各点的水头都相等，各点的水力坡度）隔水底板水平，铅垂剖面上各点的水头都相等，各点的水力坡度和渗流速度都相等，可以近似地用代替，此即著名的和渗流速度都相等，可以近似地用代替，此即著名的Dupuit 假设。假设。 渗流速度：渗流速度： ，H=H(x) 通过宽度通过宽度B的铅直平面的流量为的铅直平面的流量为 ，H=H(x)

33、 式中式中Qxx方向的流量；方向的流量； h潜水含水层厚度；潜水含水层厚度；h=H（隔水层水平时）。（隔水层水平时）。dxdHKvxdxdHKhQx Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型对于更一般情况，对于更一般情况，H=H(x，y)有：有：则得：则得： 由于由于Dupuit假设的引入，将垂直方向的水流速度忽略，减少了假设的引入，将垂直方向的水流速度忽略，减少了z变量，变量，简化了计算，但会产生一定的误差，经验证明当简化了计算，但会产生一定的误差，经验证明当 时，产生时，产生的误差很小，误差表达式为：的误差很小，误差表达式为：,yHKVxhKVyxyHKhBQxHK

34、hBQyx,12idxdhiiihhHhh,1222022222 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型Dupuit假设无效的地区：假设无效的地区：(1)存在入渗的潜水分水岭地段；存在入渗的潜水分水岭地段；(2)渗出面附近。渗出面渗出面附近。渗出面(seepage surface)是在下游边界面上，潜水面以下是在下游边界面上，潜水面以下、下游水面以上的地段。渗出面上潜水面往往和边界面相切，有较大的、下游水面以上的地段。渗出面上潜水面往往和边界面相切，有较大的垂向分速度。垂向分速度。(3)垂直的隔水边界附近。垂直的隔水边界附近。图图1-17 Dupuit假设无效的地区假

35、设无效的地区 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型2 ）Boussinesq方程方程 根据根据Dupuit假设，可建立有关潜水含水层中的地下水流方程。假设，可建立有关潜水含水层中的地下水流方程。图图1-18 潜水的非稳定运动潜水的非稳定运动 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型（1）潜水一维流方程（沿）潜水一维流方程（沿x方向运动）方向运动）在在t时间内，上、下游流入、流出单元体的水量差为：时间内，上、下游流入、流出单元体的水量差为： 在该段时间内，垂直方向的补给量为在该段时间内，垂直方向的补给量为0，故，故t时段水量总的变化量为时段水量

36、总的变化量为 由于水量的变化引起潜水面的升降，设其变化的速率为由于水量的变化引起潜水面的升降，设其变化的速率为 ，则在，则在t时段，由于潜水面的变化而引起的小土体内的水体积的增量为时段，由于潜水面的变化而引起的小土体内的水体积的增量为 则有则有txxHtxxqtxxqqtxxqqx)()2()2(txWxHx)(tHtxtHtxWxhx)(txtH Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型将将 （均质各向同性）代入上式，可以得到有入渗补给的潜（均质各向同性）代入上式，可以得到有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的一维流方程，又称为水含水层中地下水非稳定运动的一维流方

37、程，又称为Boussinesq方程：方程：式中式中K、 潜水含水层的渗透系数、给水度；潜水含水层的渗透系数、给水度； W含水层单位时间、单位面积上的垂向补排量，补给为正含水层单位时间、单位面积上的垂向补排量，补给为正，排泄为负。，排泄为负。dxdhKxtHKKWxHhx)( Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型(2)潜水二维流方程潜水二维流方程均质各向同性含水层均质各向同性含水层，Boussinesq方程为：方程为：式中式中h=H-Z，Z=0时，时，h=H。非均质含水层，非均质含水层，Boussinesq方程为：方程为： 在推导潜水基本微分方程时应用了在推导潜水基本

38、微分方程时应用了Dupuit假设，忽略了弹性储存假设，忽略了弹性储存，所选的单元体是一个包括了整个含水层厚度在内的土柱，这与承压，所选的单元体是一个包括了整个含水层厚度在内的土柱，这与承压水非稳定运动时选取的无限小的单元体不同。所以，应用潜水运动基水非稳定运动时选取的无限小的单元体不同。所以，应用潜水运动基本方程得到的本方程得到的H(x，y，t) 只能代表该点整个含水层厚度上平均水头的只能代表该点整个含水层厚度上平均水头的近似值，不能用来计算同一垂直剖面上不同点的水头变化。近似值，不能用来计算同一垂直剖面上不同点的水头变化。tHKKWyHhyxHhx)()(tHWyHKhyxHKhx)()(

39、Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型(3)潜水三维流方程潜水三维流方程若不用若不用Dupuit假设，假设，Boussinesq方程的一般形式：方程的一般形式： 在上面的潜水基本运动微分方程中右端项为在上面的潜水基本运动微分方程中右端项为贮水率贮水率而不是而不是给水度给水度，其原因在于，当不考虑其原因在于，当不考虑Dupuit假设时，单元体位于渗流区内部，其贮存假设时，单元体位于渗流区内部，其贮存量的变化只能是弹性释水而不是疏干排水，因此推导出的潜水非稳定运量的变化只能是弹性释水而不是疏干排水，因此推导出的潜水非稳定运动方程和承压水非稳定运动方程形式一样。在这种情况下

40、，地下水非稳动方程和承压水非稳定运动方程形式一样。在这种情况下，地下水非稳定运动的特点由边界条件来反映。定运动的特点由边界条件来反映。tHzHKzyHKyxHKxs)()()( Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型对于对于各向异性介质各向异性介质，坐标轴方向同主方向，有：，坐标轴方向同主方向，有： 假设固体骨架是不可压缩的，假设固体骨架是不可压缩的， ，同时假设忽略水的压缩性，同时假设忽略水的压缩性,即即 常数，有：常数，有：或：或：tHzHKzyHKyxHKxszzyyxx)()()(0s0)()()(zHKzyHKyxHKx0)()()(zHKzyHKyxHKx

41、zzyyxx Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型（4）潜水稳定运动的微分方程）潜水稳定运动的微分方程没有入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为：没有入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为：非均质非均质或或均质均质 （5）地下水运动基本微分方程的统一形式：）地下水运动基本微分方程的统一形式： 0)()(yHKhyxHKhx0)()(yHhyxHhxtHEWyHFyxHFx)()(潜水含水层区在承压含水层区)(ZHKKhKMTF潜水含水层区在承压含水层区*EZ含水层底板标高。含水层底板标高。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型三、越流含水层中

42、地下水运动的基本微分方程三、越流含水层中地下水运动的基本微分方程 在自然界中，存在以下情况，承压含水层的上、下岩层并不是绝对隔在自然界中，存在以下情况，承压含水层的上、下岩层并不是绝对隔水的，其中一个或两个可能是水的，其中一个或两个可能是弱透水层弱透水层(Aquitard)。 虽然含水层会通过弱透水层和相邻含水层发生水力联系，但它还是处虽然含水层会通过弱透水层和相邻含水层发生水力联系，但它还是处于承压状态，将其称为于承压状态，将其称为半承压含水层半承压含水层(Semi-confined aquifer)。 当该含水层和相邻含水层间存在水头差时，地下水就会从高水头含水当该含水层和相邻含水层间存在

43、水头差时，地下水就会从高水头含水层通过弱透水层流向低水头含水层。这种现象称为层通过弱透水层流向低水头含水层。这种现象称为越流越流(Leakage)。 半承压含水层称为半承压含水层称为越流含水层越流含水层(Leakage aquifer)。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 假设：假设：主含水层渗透系数主含水层渗透系数K远远大于若透水层的渗透系数远远大于若透水层的渗透系数K1；主含水；主含水层弹性释放的水量、弱透水层的越流量远远大于弱透水层弹性释放的水量层弹性释放的水量、弱透水层的越流量远远大于弱透水层弹性释放的水量。主含水层中的水流近似地看作二维流问题，。主含水

44、层中的水流近似地看作二维流问题， 对于均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程对于均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程(continuty equation)： M0t)dzz,y,H(x,M1t)y,H(x,H Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型tyyQQyyQQtxxQQxxQQyyyyxxxx)2()2()2()2(tyxtHtyxvv)(12 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 式中，式中，v1，v2分别为通过上部和下部弱透水层的垂直越流速率或越流强分别为通过上部和下部弱透水层的垂直越流速率或越

45、流强度，即度，即 其中，其中，H1(x, y, t)和和H2(x, y, t)分别为上含水层和下含水层中的水头，如分别为上含水层和下含水层中的水头，如T表示主含水层的导水系数，则得到不考虑弱透水层弹性释水条件下非均表示主含水层的导水系数，则得到不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动的基本微分方程：质各向同性越流含水层中非稳定运动的基本微分方程： 对于均质各向同性介质来说，有：对于均质各向同性介质来说，有：2122222111111,mHHKzHKvmHHKzHKvtHmHHKmHHKyHTyxHTx222111)()(tHTBHHBHHyHxH2222112222 C

46、h2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型式中式中分别称为上、下两个弱透水层的越流因素。分别称为上、下两个弱透水层的越流因素。 越流因素越流因素B (Leakage Factor)的量纲为的量纲为L。弱透水层的渗透性愈小，厚度越大。弱透水层的渗透性愈小，厚度越大，则，则B越大，越流量越小。在自然界中，越流因素值的变化很大，可以从几米到若越大，越流量越小。在自然界中，越流因素值的变化很大，可以从几米到若干公里。对于一个完全隔水的覆盖层来说，干公里。对于一个完全隔水的覆盖层来说，B为无穷大。为无穷大。 另一个反映越流能力的参数是越流系数另一个反映越流能力的参数是越流系数s 。其

47、定义为：当主含水层和供给越。其定义为：当主含水层和供给越流的含水层间的水头差为一个长度单位时，通过主含水层和弱透水层间单位面积流的含水层间的水头差为一个长度单位时，通过主含水层和弱透水层间单位面积界面上的水流量。界面上的水流量。因此，因此，K1、m1分别为弱透水层的渗透系数和厚度。分别为弱透水层的渗透系数和厚度。 s越大，相同水头差下的越流量越多越大，相同水头差下的越流量越多。222111,KTmBKTmB11mK Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型2-3 2-3 一、一、 数学模型的有关概念数学模型的有关概念 同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动

48、规律，而同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。而且对对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。而且对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。这些信息包括：这些信息包括：（1）微分方程中

49、的有关参数）微分方程中的有关参数， 当这些参数确定后，微分方程才能被当这些参数确定后，微分方程才能被确定下来。确定下来。WT, Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型（2）渗流区范围和形状，）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方程求解。程求解。（3）边界条件）边界条件(boundary conditions)：表示渗流区边界所处的条件，用表示渗流区边界所处的条件，用以表示水头以表示水头H（或渗流量（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环

50、境相互制约的关系。流区内水流与其周围环境相互制约的关系。（4）初始条件）初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态，某一选定的表示渗流区的初始状态，某一选定的初始时刻初始时刻(t=0)渗流区内水头渗流区内水头H的分布情况。的分布情况。 将边界条件和初始条件并称为将边界条件和初始条件并称为定解条件定解条件(definite solution condition)，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 1、数学模型：、数学模型：描述某一研究区地下水流运动

51、的数学方程与其定解条件描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。共同构成的表示某一实际问题的数学结构。 亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。一种数学结构。 其中微分方程表示地下水的流动规律，

52、定解条件表明研究对象所处的特其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。 定解问题定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问题。是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问题。 建立模型建立模型是指建立数学模型的过程。是指建立数学模型的过程。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型2、 定解条件定解条件 1 ）定解条件）定解条件定解条件指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规律，定解条件指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规

53、律，这种变化规律是由流场外部条件引起的，但它不断地影响流场内部的这种变化规律是由流场外部条件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在整个期间一直起作用。渗流过程并在整个期间一直起作用。定解条件包括边界条件和初始条件。定解条件包括边界条件和初始条件。 2）边界条件）边界条件边界条件是渗流区边界所处的条件，用以表示水头边界条件是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。相互制约的关系。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及

54、数学模型 (1) 第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet条件条件)：如果在某一部分边界如果在某一部分边界(设为设为Sl或或1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这部分边界就称为第一类上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为边界或给定水头的边界，表示为:或或 给定水头边界不一定就是定水头边界。给定水头边界不一定就是定水头边界。可以作为第一类边界条件可以作为第一类边界条件来处理来处理的情况：的情况： 河流或湖泊切割含水层，河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作为第一类边界处

55、理。此时，水头为第一类边界处理。此时，水头是一个由河湖水位的统计资料得到的关是一个由河湖水位的统计资料得到的关于于t的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。条件来处理。1),(),(| ),(1szyxtzyxtzyxHs1),(),(| ),(1yxtyxtzyxH Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖

56、泊，也不一定能在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况，以及处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井边界来处

57、理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一定是定水头边界。界不一定是定水头边界。 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水头边界。头边界。 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型(2)第二类边界条件第二类边界条件(Neumam条件条件)：当知道某一部分边界当知道某一部分边界(设为设为S2或或2)单位单位面积面积(二维空间为单位宽度二维空间为单位宽度)上流入上

58、流入(流出时用负值流出时用负值)的流量的流量q时，称为第二类时，称为第二类边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为:或或式中，式中，n为边界为边界S2或或2的外法线方向。的外法线方向。q1和和q2则为已知函数，分别表示则为已知函数，分别表示S2上上单位面积和单位面积和2上单位宽度的侧向补给量。常见的这类边界条件：上单位宽度的侧向补给量。常见的这类边界条件： 隔水边界（流线、分水岭）：隔水边界（流线、分水岭）：21),(),(2StzyxtzyxqnHKS22),(),(2yxtyxqnHT0nH Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程

59、及数学模型 抽水井或注水井：抽水井或注水井： 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。（3）第三类边界条件：）第三类边界条件：某边界上某边界上H和和 的线性组合是已知的，即有：的线性组合是已知的，即有：又称混合边界条件，又称混合边界条件， ， 为已知函数。为已知函数。边界为弱透水层（渗透系数为边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为，厚度或宽度为m1），），wwrQnHT2nHHnH11Km),()(11tzyxqHHmKnHKn Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型),()(11tzyxqHHmKnHKn Ch2

60、 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型在在s3上上,在在 上上,浸润曲线的边界条件：浸润曲线的边界条件：当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量q为：为：式中，式中， 为给水度，为给水度， 为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。03HHnHKnS303HHMnHTnqnHKc2cos*tHq Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 3) 初始条件初始条件初始条件初始条件:某一选定的初始时刻某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头渗流区内水头H的分布