博士生课程空间机器人关键技术

1、博士生课程空间机器人关键技术1 空间机器人概述2 数学力学基础3 冗余自由度机器人4 柔性机械臂5 欠驱动机器人6 机器人灵活手空间机器人的概述1.空间机器人在空间技术中的地位从 20 世纪 50 年代，以美国和苏联为首的空间技术大国就在空间技术领域展开了猛烈的竞赛。i 苏联1957年8月3日，前苏联研制的第一枚洲际弹道导弹 SS-6首次发射成功。不久，前苏联火箭总设计师 柯罗廖夫从美国新闻界得知美国试图在1957-1958年的国际地球物理年里发射一颗人造地球卫星。 因此，他赶忙将SS-6导弹稍加修改，将弹头换上一个结构简单的卫星，抢先将第一颗人造卫星送上了太空。接着，在第一颗人造卫星发射后一

2、个月，即11月3日，又用SS-6导弹作航天运输工具，将装有小狗“莱 伊卡”的第二颗人造卫星送入太空的圆形地球轨道。1959年 5月，前苏联又将“月球” l 号人造卫星送入了月球轨道。ii 美国在 1958年往常，以“红石”近程导弹和“维金”探空火箭为基础，分不研制成“丘比特” C 和“先锋” 号等小型运载火箭，用于发射最初的几个有效载荷仅为数千克至十几千克的小卫星。进展到今天，从地面实验室研究到人造卫星、空间站、载人飞船、航天飞机、行星表面探测器，空间 技术大国都投入了大量人力、物力和财力。空间技术关于天文学、气象、通信、医学、农业以及微电子等 领域都产生了专门大的效益。不仅如此，空间技术关于

3、以后国家安全更具有重要的意义。在空间技术进展 的过程中空间机器人的作用越来越明显。20世纪60年代前苏联的移动机器人研究所（闻名的俄罗斯Rover科技有限公司前身）研制了世界上第一 台和第二台月球车Lunohod-1和Lunohod-2。1976年美国发射海盗一号和二号（Rover-1、Rover-2）的登陆舱 相继在在火星表面登陆，通过遥操作机械臂进行火星表面土壤取样。随着空间技术研究的日益深入，人类空间活动的日益频繁，需要进行大量的宇航员的舱外活动（EVA），这对宇航员不仅危险，而且没有大气层的防护，宇宙射线和太空的各种飞行颗粒都会对宇航员造成损害。 建筑国际空间站，以及以后的月球和火星基

4、地，工程浩大，只靠宇航员也是非力所能及的。还有空间产业、 空间科学实验和探测，这些工作是危险的，但有一定重复性，各航天大国都在研究用空间机器人来代替宇 航员的大部分工作。此外许多空间飞行器长期工作在无人值守的状态，这些飞行器上面各种装置的爱护和修理依靠发射飞 船，把宇航员送上太空的方法既不经济，也不现实。在以后的空间活动中，许多工作仅靠宇航员的舱外作 业是无法完成的，必须借助空间机器人来完成空间作业。2 空间机器人的任务和分类1）空间建筑与装配。一些大型的安装部件，例如无线电天线，太阳能电池，各个舱段的组装等舱外活动 都离不开空间机器人，机器人将承担各种搬运，各构件之间的连接紧固，有毒或危险品

5、的处理等任务。有 人估量，在不久今后空间站建筑初期，一半以上的工作都将由机器人完成。2）卫星和其他航天器的爱护与修理。 随着人类在太空活动的持续进展， 人类在太空的资产越来越多， 其中人 造卫星占了绝大多数。如果这些卫星一旦发生故障，丢弃它们再发射新的卫星就专门不经济，必须设法修 理后使它们重新发挥作用。然而如果派宇航员去修理，又牵涉到舱外活动的咨询题，而且由于航天器在太 空中，是处于强烈宇宙辐射的环境之下，有时人全然无法执行任务，因此只能依靠空间机器人。挑战者号 和哥伦比亚号航天飞机的坠毁引起人们对空间飞行安全的关注，采纳空间机械臂修复哈勃太空望远镜看起 来是一件专门自然的情况。安装上新的科

6、学仪器 （包括一台视野宽敞的摄象仪和一台摄谱仪 ）后，哈勃望远镜 的观测能力可增强十倍以上。空间机器人所进行的爱护和修理工作包括回收失灵卫星，对故障卫星进行就 地修理，为空间飞行器补给物资等。3）空间生产和科学实验。 宇宙空间为人类提供了地面上无法实现的微重力和高真空环境， 利用这一环境能够 生产出地面上无法或难以生产出的产品。在太空中还能够进行地面上不能做的科学实验。和空间装配，空 间修理不同，空间生产和科学实验要紧在舱内环境里进行，操作内容多半是重复性动作，在多数情形下， 宇航员能够直截了当检查和操纵。这时候的空间机器人如同工作在地面的工厂里的生产线上一样。因此， 能够采纳的机器人多是通用

7、型多功能机器人。空间机器人是空间技术研究的重要内容，它是代替宇航员进行空间科学研究和作业的有力工具。空间 机器人按照用途能够分为i 空间站机器人 （ 包括空间站与航天飞机舱内机器人和空间站与航天飞机舱外机械臂 ） ；ii 星载机器人 （包括空间自由飞行机器人和空间自由漂浮机器人 ）；iii 外星表面探测机器人。从空间机器人的结构组成来看，可分为单臂和多臂 （要紧是双臂 ）空间机器人。空间机器人的特点空间环境和地面环境差不专门大，空间机器人工作在微重力、高真空、超低温、强辐射、弱照明的环 境中，因此，空间机器人与地面机器人的要求也必定不相同，有它自身的特点。由于空间机器人在空间微 重力的环境下工

8、作，因此当机械臂运动时，会对载体产生反作用力和力矩，从而改变载体的位置和姿势， 即空间机器人的机械臂和载体之间存在着运动学和动力学耦合咨询题。如果不考虑这种力学耦合咨询题， 而依旧采纳地面固定基座机器人的运动操纵技术，空间机器人就无法完成预定的操作任务。因此研究空间 机器人，第一要解决的是如何考虑这种因素，建立相互作用的运动学、动力学模型及运动操纵算法。另一 个关键咨询题是在地面上模拟微重力条件的地面试验平台，用来验证空间机器人运动专门性、卫星姿势、 捕捉目标路径规划等各种运动操纵算法的可行性。由因此高真空，液体无法附着在固体表面，而且极易挥 发，无法采纳地面上常规的液体润滑和密封技术，而必须

9、考虑固体润滑和磁流体密封。关于舱内空间机器人，要求体积比较小，重量比较轻，抗干扰能力强。其次，要求空间机器人的智能 程度高，功能全。空间机器人消耗的能量要尽可能小，工作寿命要尽可能长。由因此工作在太空这一专门 的环境之下，对它的安全性、可靠性和可修理性要求也比较高。从操纵的角度看，由于空间的遥操作距离远大于地面，时延成为不可忽略的因素，在地面上成功的操纵策略和操纵方法关于空间的遥操作往往行不 通，必须考虑空间机器人的自主性和智能性，以及操纵和通信的智能系统。总之，由于空间活动的成本高昂，空间技术的研究和进展需要强大的经济基础为后盾，这导致空间飞 行器的设计需要采取专门的思路，操纵系统需要采纳先

10、进的策略和软硬件装备。由于空间活动的未知因素 多，必须具备一定的自主工作能力 (智能性和灵活性 )，同时还必须具有良好的容错能力和可靠性。空间发射 成本高，减轻发射重量成为诸多考虑因素的首选因素，这就使空间机器人大多为轻质柔性结构，因此具有 较大的变形。微重力和载体不固定，使得空间机器人系统为非完整系统。因此空间机器人的差不多特点是： 轻质柔性、灵活性、容错性、非完整约束、智能性。此外为了使空间机器人具有容错性，一样都采纳冗余 自由度的构形、欠驱动方式和柔性结构。这些造成空间机器人系统的高度复杂性和综合性。空间机器人的 研究涉及多学科领域，它集成了力学、机械学、操纵工程、运算机科学、测试技术和

11、通信技术等多学科领 域的最新成就。空间机器人进展现状加拿大臂(Canadarm的空间机械臂的正式名称是 SRMS(the Shuttle Remote Manipulator System),长 15. 2m,重410kg。已制造并交付使用了 5套完整机械臂系统。每套臂系统中有 2套手动操纵器，分不操纵3个 移动和3个转动等6个自由度。该臂末端速度为600mm/s空载);有载荷的情形下的速度为60mm/s。已飞向 太空执行任务 34次。在地面上是用气浮方式模拟太空微重力环境,作二维水平运动来试验、爱护的。加拿 大为国际空间站提供一个移动服务系统(MSS)及其有关地面设备。作为回报，加拿大将获得

12、国际空间站3%的使用权。移动服务系统包括空间站遥控机械臂系统(SSRMS)、专用机械手(SPDM)两部分。SSRMS长17.6m，重936kg,负荷时移动速度为6mm/s，空载时移动速度为600mm/s,定位精度10mm/(° )，能搬动重量Canadarm Overview丘如CD TV輕au.I'的IE/id JEfedov为19500kg、尺寸为有效载荷操作以及协.器人每个臂长2m从1981年第一和复杂的18.3mx 4.6飞行于空间站的装配与服务、轨道器的对接与分离、wtstniSPDM是一个双臂机有效国际空间一，能承担目前由舱外活动航天员完成的许多修理和装配任务。S

13、RMS就表现出高可靠性、高效性和万能性，能够对负载进行准确、精细它是由加拿大 MDA公司为美国NASA设计和制造的。以后 NASA又订制了 4台SRMS。 沁纳齢*1990年4月24日加拿大臂稳固地将 Hubbl加拿大臂能够无缝地实现把卫星放入轨道和回收有故障的卫星e空间望远镜放入轨道。从1990年4月到2002年3月它在4次太空飞行中协助宇航员完成了18次太空行土 、卄/一 耳、丄,.TechnicalEXetails走，进仃丿总计I29小时的EVA。杷wiwi hand cui忱I 馆rs di 歸 me movetnM idiri4«ni.Can adarm的非打算性任务包括清

14、除堵塞的废水口的冰块，它们可能对航天飞机返回时收起天线和激活失效卫星重新放入正确轨道造成威逼。在1998年12月，Canadarm在国际空间站的第一次装配任务中发挥了关键作用，实现了美国单元与 俄国空间站3Zarya的对接。Canadarm将会连续在空间站装配中发挥重大的作用。Wisl MnlHi ree dag阳站 M币口他倔皿taridh 齊辭耐加拿大臂由肩关节（2个自由度）、肘关节（1个自由度）和腕关节（3个自由度），整个臂分为上臂和下臂。总质量905磅(410kg)。Rflalnn；!Ccfrr:町Pre 対君$ al mavwT 刃 1Rail up. du mi.1 Lha rm匚

15、oiWe Lh? i把 r, re4, aid 怦 cl !'E ttf2数学力学基础矩阵理论 矩阵的四个差不多子空间线性方程组能够用矩阵形式写为Ax b(1)式中，A为mx n系数矩阵，x为n维向量空间Rn的列向量，b为m维向量空间Rm的列向量。如果方程的数目小于未知数的数目，即 mvn。我们假设A是行满秩的，即A的秩r等于m。由于方程 数m小于变量数n,方程组为欠定方程组。由线性代数可知，方程组的解不唯独，在所有的解向量中，有 一个解向量是最小范数解。其他的解能够认为是由那个解和线性方程组对应的齐次线性方程组Ax = 0通解之和。齐次线性方程的这些解组成了向量空间Rn中的一个子空间

16、，称为矩阵 A的零空间，或者称为A的核。它的维数是n - m。记作N(A)。如果矩阵A的秩r小于m,零空间的维数则为n-r。类似地，齐次线 性方程组ATx = 0的全体解组成了向量空间 Rm的一个子空间，称为矩阵A的左零空间。它的维数是m - r。记作N(AT)。如果矩阵行满秩，即r = m, N(AT)为零。A的r个线性无关列在m维向量空间中张成一个r维子空间，记作R(A)，称为矩阵A的列空间。A的 r个线性无关行在n维向量空间中张成一个r维子空间，它也能够看成是矩阵AT的列空间。定理1 任何mx n矩阵A，其左零空间N(AT)与列空间R(A)互为向量空间Rm中的正交子空间，同时 Rm= R

17、(A)N(AT)，样称为它们互为正交补空间。定理2 任何mx n矩阵A，其零空间N(A)与行空间R(AT)互为向量空间Rn中的正交子空间，同时 R n二R(AT)N(A)，样称为它们互为正交补空间综如上述内容可知，给出一个 mxn实矩阵A，与之相联系的有4个重要的子空间：A的列空间：它由矩阵A的线性无关的列生成，用 R(A)表示。A的行空间：它由矩阵A的线性无关的行生成，用 R(AT)表示。A的零空间：它由满足齐次方程组 Ax = 0的全体解组成，用N(A)表示。A的左零空间：它由满足齐次方程组 ATx = 0的全体解组成，用N(AT)表示。Rn中的两个子空间R(AT)、N(A) ； Rm中的

18、两个子空间R(A)、N(AT)。它们的关系为Rn 二 R(AT) N(A),且 R(AT)丄=N(A);Rm = R(A) N(AT),且 R(A)丄=N(AT);(2)那个地点，上标“丄”表示是正交补空间。 矩阵的广义逆。由对线性方程组Ax = b较完整的讨论，可知它可能无解，或有唯独的一组解，或有无穷多组解。初看 起来，无解的矛盾方程组没有任何意义，然而在实际工程咨询题中，常常会遇到矛盾方程组，或者叫作超 定方程组。尽管不能求得 Ax = b精确解，然而若能求得X,使Ax b最小，也是具有实际意义的，这确实 是矛盾方程组的最小二乘解。关于欠定方程组，在无穷多组解中常常需要求最小范数解。这两

19、个咨询题不 能用一样的矩阵逆的概念解决，这促使人们把矩阵逆的概念推广到长矩阵和非满秩的方阵，这确实是广义 逆产生的背景。1955年Pen rose建立了下面的命题：对任一个矩阵a Rm n,存在唯一的矩阵G,同时满足下面四个方程:(i) AGA = A; (ii) GAG = G; (iii) (AG)T = AG ; (iv)(GA) T= GA。(3)它是在 Moore 在 1922年发表的论文基础上提出的。 一样将同时满足上面矩阵方程的矩阵 G 称为矩阵 A 的Moore-Penrose逆，或简称为M-P逆，记为A+。它来源于线性方程组求解，目的是：线性方程组Ax = b对下述咨询题的解

20、能用矩阵形式给出。(i) 相容方程的解；(ii) 相容方程的最小范数解；(iii) 矛盾方程的最优近似解；(iv) 矛盾方程范数最小最优近似解。那个地点讨论的矩阵均为实矩阵。它确定一个Rn至Rm的线性变换y = Ax。A是mx n矩阵，x是n维向量，y是m维向量。前面已讲到，与矩阵A相联系的有四个重要子空间。Rn的两个子空间R(AT)和N(A); Rm的两个子空间 R(A)和N(AT)。它们的关系为 Rn二R(AT) N(A)，且R(AT)丄N(A) ; Rm = R(A) N(A T)，且R(A)丄N(AT)。换言之，R(AT)与N(A)互为Rn中的正交补空间，R(A)与N(AT)互为Rm中

21、的正交 补空间。关于广义逆，需要用专门多时刻讲清晰，那个地点不预备详细介绍。只考虑最理想的情形，即矩阵 A 是满秩的(行满秩或列满秩)。当m < n,矩阵A只可能是行满秩；当m > n,矩阵A是只可能列满秩。有 必要研究满秩矩阵的单边逆：左逆和右逆。它们是广义逆的特例。定义1 设A Rmx n,若存在G RnX m,使得AG = I (或GA = I),则称G为A的右逆(或左逆)， 记为ar1 (或al1 )。能够证明,如果矩阵 A Rmx n 行满秩,则必存在下列形式的右逆,AR1 AT(AAT) 1(4)如果矩阵A Rm x n列满秩，则必存在下列形式的左逆，AL1 (ATA)

22、 1AT(5)下面的两个定理给出了左逆和右逆的存在条件。定理3设A Rmx n,则下列的提法是等价的：A 是左可逆的；A 的零空间 N(A) = 0 , A 的行空间 R(AT) = Rn；m> n, Rank(A) = n，即是列满秩的。定理4设A Rmx n,则下列的提法是等价的：A 是右可逆的；A 的左零空间 N(AT) = 0 , A 的列空间 R(A) = Rm；m< n, Rank(A) = m，即是行满秩的。 矩阵的奇特值分解 矩阵的奇特值分解是矩阵理论的差不多知识,它关于广义逆的运算和冗余自由度机器人逆运动学的求 解都具有重要的应用价值。在线性代数中曾把 n 阶对称

23、矩阵 A 分解成如下的乘积形式A = PDPT(6)其中D为对角矩阵，其对角线元素为 A的实特点值，P为正交矩阵，其第j列为与D的第j个对角线 元素相应的特点向量(j = 1,2,n)。我们差不多看到，这种分解式是研究对称矩阵的有力工具，由它能够推 出一系列有用的结论。只有对称矩阵才有这种分解式。关于非对称矩阵，以至一样的长方形矩阵是否能够建立类似的分解式 ？ F面的定理回答了那个咨询题。定理5设A为任意mx n阶矩阵，其秩数为r,则有m阶正交矩阵P和n阶正交矩阵Q,使得A = P QT 或 PTAQ二其中为如下形式的m x n阶矩阵A °O O它的左上角的子块 r是r阶对角矩阵12

24、A>>r> 0其余几个子块是各自具有适当阶数的零矩阵，我们一律记为。，r称为矩阵A奇特r值。关于矩阵的其他概念，如向量和矩阵的范数，向量空间的基底与坐标，线性有关与线性无关等不介绍了。力学基础 刚体的质量参数G在刚体上的位置刚体的质量参数除了刚体的质量 m,还包括与刚体质量分布有关的量，即刚体质心 和刚体的惯性张量(惯性并矢)。在那个地点我们由刚体的动能引出刚体惯性张量的概念。ri确定，刚体上 而它在参考系中的位置由r确定。刚体的质心为Gi，质心在刚体 rei。质心应满足msGimsdm(8)mreimrdm,因此，mrdm, m刚体上元质量dm的动能dT = £r

25、2dm。由于r ri s，故r ri j s，其中j是刚体的角速度向量。整个刚体的动能应将元质量的动能 dT对整个刚体质量进行积分，即rcisei msdm m(9)如图1所示，刚体坐标系(即连杆坐标系)的原点为Oi，它在参考系中的位置可由其向径 任一元质量dm在刚体上的位置由s给定 上的位置向径是sei，在参考系中的向径是2 2 2T dT 0.5mrdm 0.5mVPi VPi ( i SGi)m 0.5m( i s)dm， 利用矢量数学可得2 2 2(i s) dm i (s E ss)idmi (s E ss)dm immm其中积分项是仅与刚体质量分布有关的量，给出如下定义 定义2刚体

26、对点Oi的惯性张量Joi (s E ss)dm(10)m如此刚体的动能为T 0.5mvoi voi ( i sei)m 0.5 i J°i i(11)若刚体作定点转动，因为Voi= 0，刚体动能为T 0.5 i Joi(11-1)若取质心G为连杆坐标系原点，因为Sg= 0, voi Vg,刚体动能为T 0.5mvGi 0.5 i J© i(11-2)这是一样理论力学教科书中的刚体动能公式。在连杆坐标系中,Joi的重量是个3 3矩阵，称为刚体在该连杆坐标系中对Oi点的惯性矩阵，记为JOi (stsE ssT)dmm式中，s s,S2,sJT22J11m (S2 S3)d m,

27、J22(12)，将它代入(17)式，可得Joi的各元素为2 2 2 2m(S1 sjdmJ33m(S1 S2)dm(13)愉体动能的矩阵形式为m$S3dm,J 23 J 32mS2S3dmT 0.5mvOi vOisGim 0.5 wTJ Oi wi(14) 刚体对参考系原点O的角动量和角动量定理质点对参考系原点O的角动量为LO r rm,同样，刚体上元质量dm对O点的角动量为dLO r rdm , 将元质量的角动量遍及整个刚体积分，可得刚体的角动量为Lor rdm (心 s)(v°ii s)dm a(v°iiSejm旨v°ims ( is)dm上式中第 3项积分

28、，用惯性张mmm量概念，可化简为Lo rdm g (voii sq )m sq VoE Joi(15)若P点不动，即voi= 0,贝SLo roi ( i sGi)m Joi(15-1)若取质心G为连杆坐标系原点，即Sei= 0和v°i vei，贝S下面我们引出一个刚体动力学的重要定理角动量定理，它在刚体力学中的地位相当于质点力学中的动量定理。角动量定理能够叙述为：对惯性参考系原点0的绝对角动量的绝对时刻导数等于所有外力对同一点的合力矩，即Lo Mo(16)由此式和角动量的定义可得(那个地点略去整个推导过程)口旨 roi JOi i i JOi i M Oi(17)这确实是向量形式的

29、Euler方程，MOi是作用在刚体i上的所有外力对Oi点的主矩。Euler方程和Newton定律构成了刚体系Newton-Euler力学的基础，是机器人动力学的要紧力学工具之一。在刚体连杆坐标系 Oixiyizi中，(17)式的重量矩阵形式为m?3i rOi J Oi wi *?iJ Oi wi M Oi(18)式中，wi 1, 2, 3i , M Oi n 1, n2 , n3 Oi。现在考虑几种专门情形：如果连杆坐标系的原点 Oi取刚体的质心Gi，即sGi= 0,贝卩JGiiiJGiiM Gi(18-1)连杆坐标系原点加速度&为零，或者©指向质心，则JOiiiJOiiM

30、Oi(18-2)M，在刚体连杆坐标系Oixi若略去式(18-1)和式(18-2)中的下角标，能够写成统一的公式 Jyizi中，此式的矩阵重量形式为J 3 (?JM。如果坐标系Oixiyizi的3个坐标轴为主轴，上式能够进一步(J22(J33J33)23J11)31n2在大多数力学专著中n3(19)Euler方程都采纳式(1.10.28)的形式，读者在使用时需注意其专门的使用条件 广义坐标和自由度、位形空间一q空间描述一个力学系统或机电系统的位形要用到一组坐标，这组坐标称为广义坐标，用q1, q2, qn表示，简称为q坐标。一个系统的重要特性是它的自由度，关于非自由系统，系统的状态会受到某些强加

31、的 限制，这些限制称为约束，约束的数学表达式确实是约束方程。系统的自由度等于系统的广义坐标数减去 这些坐标间的独立约束数。各种坐标都能够用作广义坐标，完全描述一个系统的位形。关于同一个系统，描述其位形不一定要有 相同数目的广义坐标，也不一定要求有相同数目的约束。只要广义坐标数减去约束数一样，即等于系统的 自由度。例如，关于定点转动的刚体，如果广义坐标采纳Euler角，只要3个坐标，没有约束。如果采纳 Euler参数，有4个坐标，这4个坐标之间存在一个约束，即4个Euler参数的平方和等于1。不管采纳Euler 角，依旧Euler参数，坐标数减去约束数都等于 3。一样广义坐标都具有显而易见的几何

32、意义，当所选的广 义坐标相互独立而不违抗约束时，广义坐标数确实是系统自由度数，这确实是什么缘故有时人们把独立的 坐标定义为广义坐标的缘故。实际上，“广义坐标”本身与“独立坐标”并没有必定联系。专门自然地，我们能够把系统的位形看成是那个坐标构成的n维空间中的一个点。这n维空间称为位形空间，简称q空间。那个点是系统的位形点。当系统随时刻改变其位形时，系统位形点在 q空间中描出一条曲线。如果所有的q坐标是独立的，这条曲线是连续的和不受任何约束的。然而如果存在对q的约束,这些约束是q空间中的一个超曲面，位形点将在那个超曲面上运动。约束的分类关于一个系统，能够用这n个广义坐标来描述其位形，任一时刻系统位

33、形及其速度是该系统在该时刻 的状态。假设对有m个约束，约束方程能够一样地表示为fi(qi,q2,q3,qn,qi,q2, qs,qn,t) 0，当约束方程中不显含时刻i 1, ,m(20)t时，称为定常约束，否则称为非定常约束。若约束方程中仅含运动变量，即fi(qi,q2,qs, qn) 0， i 1, , m 或(21)fi(qi,q2,qs, qn,t)0， i 1, ,m如此的约束称为几何约束。分形式的几何约束方程(22)几何约束的约束方程能够写成微分形式，只要将上式求微分，能够得到微nqj 0，i 1, ,mj qj或(23)nfLdqj 卫dt 0， i 1, ,m(24)j qjt

34、系统的速度也会受到约束，其约束方程如式(23 )或(24)，在此式中仅含运动变量、速度和时刻，而不含 加速度，如此的约束称为一阶约束。按照约束方程是速度的线性关系式或非线性关系式，能够把它们分为 一阶线性约束或一阶非线性约束。在机器人或大多数机械系统中，普遍存在一阶线性约束，只有欠驱动机 器人存在二阶线性约束。一阶线性约束能够表示为n 1 Ajdqj Aodt 0, i 1, ,m(25)式中，Aij和Ai0是坐标qj(j 1, ,n)及时刻t的函数，这种约束称为普法夫(Pfaff)约束。如果方程左边不 可积分，即不是全微分时，这类约束称为非完整约束(一阶非完整约束)。如果方程左边可积分，即是

35、全微分时，这类约束为完整约束。几何约束差不多上完整约束，能够表示成普法夫(Pfaff)形式。因此普法夫(Pfaff)约束方程是完整约束和非完整约束的统一形式。具有非完整约束的系统是非完整系统，全部约束为完整约束的系统是完整系统。大多数地面机器人系 统是完整系统，非完整的机器人系统的例子是机器人多指灵活手、轮式移动机器人等。而用于太空的空间 机器人多数是非完整系统。作为完整系统的一个例子，考虑图1.11.1所示的在x-y平面上运动的两个质点，这两个质点被一个长度 为I的无质量的刚性杆连接。对应的约束方程为(X1 x2)2 (y1 y2)2 l2 0，那个约束方程只含有坐标，因此是完整 约束。在这

36、种情形下，有4个坐标和1个约束方程，因此自由度为3。为了得到独立的广义坐标，能够利用图2无质量刚性杆连接的两个质点那个约束方程从运动方程中消去一个坐标。那个消去过程常常会遇到代数运算的困难，因此专门少采纳。 我们能够另外查找独立的广义坐标。例如能够取杆中点的直角坐标x, y和杆与x轴的夹角0这3个坐标, 它们是独立的。我们差不多假设杆长I是不变的，约束方程不显含时刻，如此的约束是定常约束。若长度 I 是时刻的函数，如此的约束为非定常约束。在一样意义下，非定常约束是时变约束。现在我们考虑一个非完整约束和系统，一个系统有m个约束，它们形如j 1 Ajdqj Aodt 0， i 1，m(26)然而是

37、不可积分的，式中，Aij和Ai0是坐标qj(j 1, ,n)及时刻t的函数。这种约束是非完整约束。由 于它们不可积，由(26)不能得到形如(21)或(22)的约束方程，如此也就无法消去不独立的变量，也就无法找 到一组独立的广义坐标。因此，非完整系统总是要求比自由度更多的广义坐标数来描述其位形。作为非完整系统的例子，我们再次考虑图 2所示的用无质量的刚性杆连接的两个质点，不同的地点在于 在两个质点上各附加一个刀口支撑(图3)，这种支撑只承诺质点沿垂至于杆的方向运动，因此杆中心的速度 必须垂直于杆的方向，这导致下列约束方程xyta n或者cos dx sin dy 0(27)那个式子左边不是恰当微

38、分(全微分)，即没有一个函数(x, y, 0 )存在，能使(27)式左边成为图3无质量刚性杆连接的两个刀口支撑的质 占八、d dx dy d x y进一步讲，方程（27）也不能被任何整数因子相乘，得到恰当微分，因此是不可积的。由数学分析理论可 知微分方程axdx aydy a d 0可积的充要条件是/ ay a 腆y 式中ax，ay (xax(28)ay, a0 是 x, y 禾口 B的函数。应用那个准则检查方程（27）,我们可知它是不可积的。用无质量杆连接的两个质点组成的系统能够讲明完整系统和非完整系统的重要区不。关于在平面上运动的两个质 点组成的系统（图2）,自由度是4,对应于4个独立坐标

39、的位形空间是4维的。加上一个刚性杆约束，使系 统的自由度减少为3,系统只有3个独立坐标，对应的位形空间是3维的。在位形空间中的任何位形点差不 多上可达的。现在考虑非完整约束的阻碍，在各质点上附加的刀口约束，使质点只能沿垂直于刚性杆的方向运动。系统的自由度减少为2,然而所需要的最少的广义坐标数仍旧为 3。从位形空间的角度来看，3维的位形空间中的任一位形点都能够由任何其他位形点到达。非完整约束的作用在于限制了在位形空间任一点承诺运 动的方向，然而这并不能减少位形空间的的维数。 虚功和虚功原理在分析力学中虚功是一个重要的概念，它与用能量方法推导系统的运动方程直截了当有关，同时是研 究系统稳固性的一个

40、重要概念。因为虚功的概念与虚位移的概念紧密有关，因此我们第一研究虚位移的本 质。为了引出虚位移的概念，我们考虑一个由N个质点组成的系统，其位形由系统在惯性系中的3N个直角坐标x1，x2,，x3N给定，这些坐标可能受有一些约束。在任一给定时刻，设诸坐标产生无限小的位移S x1,S x2, S x3N,它们是一些虚拟和假想的位移，因为我们假定这些位移不是发生在一个时刻过程中，同时不一定要与这些约束相一致.系统位形的这一微小改变Sx叫做虚位移。通常情形下，一个虚位移服从瞬时约束，即假定所有的动约束(时变约束)在虚位移过程中部停滞下来。例设那个系统受到m个完整约束(29)jXM 如)0 , (j =

41、1, 2, m)取j的全微分，可得d j3N_xi -Ldt 0, (j = 1, 2, m)(30)xit一个服从这些约束的虚位移的各个 Sx由下面k个方程关联，即3Ni 1(j = 1, 2,k)(31)那个地点我们用S x代替了在方程(30)中的dx，同时略去dt项，因为在虚位移期间时刻约束保持“固类似的，假设系统受到 m个非完整约束，约束方程为(32):a。apt 0, (j = 1, 2, m)各Sx由下列m个方程有关联，即3Ni 1 aji Xi0, (j = 1, 2,m)(33)这就显现一个咨询题，虚位移能否是实位移，实位移是由一组dx描述的，同时是在时刻增量dt内发生的。换句

42、话讲，在什么条件下，各S x能够用相应的dx替代？比较方程式(30)和(31)表明任何完整约束同时必须是时不变的，即条件亍。,(j = 1, 2, k)(34)必须适用。同样地，任何非完整约束必须满足条件ajt 0 , (j = 1, 2, m)(35)至此，对虚位移的讨论所采纳的是直角坐标。现在来考察一个系统，其位形是由最少数目的广义坐标 给定的。如此，任何约束都能够是非完整的，同时能够表示为ajidqi ajtdt 0 , (j =1, 2, m)或者以另一种形式表示为i 1 ajiqi ajt 0, (j =1,2, m)其中各个a差不多上q和t的函数。 任何与约束相容的虚位移必须符合条

43、件爲卩 qi 0, (j = 1, 2, m)现在我们在讨论虚功的概念。让我们再回到由(1.11.17)(1.11.18)(1.11.19)N个质点组成的系统，其位形由系统在直角坐标系中的3N个直角坐标x1, x2, x3N给定。假定力的重量F1, F2, F3N作用在对应坐标的正向。这些力在虚位移S x上的虚功S W为3NWj1FjXj(1.11.20)虚功表达式的另一种形式为NW Nj 1F j x j其中Fi是作月于第i个质点上的力,(1.11.21)ri 是该质点的位置向量，由向量表达式能够看出，虚功与所采纳 任何特定的坐标系无关，因此，这是假定运动是有关于惯性参考系来度量的在虚功的表

44、达式中，重要的是要认识到在虚位移过程中假定各力都保持不变，即使是实际的力由于无 限小位移而发生急剧变化时亦如此。力随位置而发生突变是可能的，例如在某些非线性系统中确实是如此。 值得注意的另一点是，虚功表达式被定义为对虚位移是线性的，换言之，虚功类似于一次变分。现在来考察有约束系统，我们把作用于第i个质点的合力分为主动力Fi和约束力Ri,约束力的虚功为WciN1 Ri ri(1.11.22)经常存在的多数约束隶属于所谓无功约束。能够如此来定义无功约束：无功约束是如此的双面约束， 关于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的虚功为零。能够看出，关于只受有无功约束的系统，虚功 S Wc等于零，即iN1

45、Ri ri 0(1.11.23)式中的虚位移 S ri 与瞬时约束相一致。无功约束的例子有 (1)质点间相互的刚性连接， (2)在无摩擦表面上的滑动，和 (3)无滑动的滚动接触，即 纯滚动。下面详细地来考察第一个例子。第一假定两质点由无质量的刚杆相连，如图 1.11.1所示，按照牛 顿第三定律.刚杆作用于质点 ml和m2上的力是大小相等、方向相反而且共线的。因而R2 = R2er = -R1(1.11.24)式中，er是沿着刚性杆方向的单位向量。进一步讲，由于杆是刚性的，二质点的位移在杆的方向的重 量必定相等，或er S r1 = er S r2(1.11.25)因此约束力的虚功为零。关于在无

46、摩擦表面上的滑动的物体，和无滑动的滚动接触的园盘，也可得到 相同的结论。除非作出相反的讲明，在以后凡是讨论约束时我们对约束力一词应讲明为无功约束力。在诸如有摩擦 的滑动约束情形，切向摩擦力归并到主动力Fi 一类，而法向重量则按通常的方式作为无功约束力来处理。单面约束不归入无功约束一类，因为能够找到如此一组许可的虚位移，单面约束力在这组虚位移中的 虚功不是零。在讨论虚功原理时，将进一步对此加以分析。虚功原理 虚功概念的重要应用之一是在力学系统的静平稳研究方面，假设所考察的是具有N个质点的平稳系统，如果该系统处于静平稳，则关于每个质点，有Fi + Ri = 0(1.11.26)因此，所有的力在与约

47、束相一致的任意虚位移中所作的功是零，即NNNi 1(FiRi)rii 1Fi riRj几 0如果我们假定所有的约束力是无功的，而且Ni 1Ri ri 0由式(1.11.27)和(1.11.28)可得到如下的结果:NWi 1Fi ri 0i 11 I(1.11.27)S ri是与约束相一致的可逆虚位移，因此(1.11.28)(1.11.29)这就证明了下述结论：如果受有无功约束的质点系处于静平稳，则关于与约束相一致的任意虚位移, 主动力的虚功等于零。现在假定，同一个质点系初始是静止的，但并非处于平稳。因此，在一个或更多的质点上必有净力作 用，同时按照牛顿运动定律，质点将开始沿净力的方向运动。由于

48、任何运动必定同约束(假定是固定的)相一致，我们总能够沿每点实际运动的方向选取一组虚位移。在此情形虚功是正的，亦即W ：尸 r-iNiRi ri 0(1.11.30)反向的诸Sr将导致关于该系统的负功。然而，不论是什么情形，如果系统不是处于平稳，总能够找到 一组与约束相一致的虚位移，它将使得主动力的虚功不是零。这些结果能够概括为虚功原理：关于受有无功约束而初始处于静止的平稳系统，其静平稳的必要和充 分条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的虚功为零。达朗伯原理再来考察只有N个质点的系统，并就每个质点写出如下形式的方程：F- R- m-r-0 (i = 1, 2, N)(1.11.31)和往常

49、一样，式中F-和Ri分不是施加在第-个质点上的主动力和约束力。m-r-项具有力的量纲，叫做作用于第-个质点的惯性力，其中mi是常质量，而r-是有关于惯性参考考系的加速度。与惯性力不同，适应地把F-和R-叫做真实力或实际力。因此，式(1.11.31)表明，作用于系统的每个质 点上的全部真实力和惯性力之和等于零。这一结果称为达朗伯原理。在每个质点上全部力的和等于零如此 一个要求，类似于静平稳的必要条件。由于虚功原理运用于处在静平稳的系统，因而能够将该原理应用于 那个包括惯性力在内的力系。全部力在任意虚位移中所作的总功是WN1(Fi R- m-r-) r- 0(1.11.32)那个方程即达朗伯原理的

50、拉格朗日形式，它是经典动力学的最重要方程之一。由于在虚功原理的上述应用中包括惯性力在内，该原理的正确性就和对静平稳系统一样，被推广到动 力学系统。要注意，方程(1.11.32)中不包括往往是末知的诸约束力，而仅仅要求主动力Fi和诸S r与瞬时约束相一致，则该方程既适用于平稳系统，也同样适用于非平稳系统。1.11.5广义力在上面关于虚功的讨论中差不多考察了主动力(或是与它们等效的各正交重量)在某一虚位移中所做的 功。例如，若给定作用于具有 N个质点的系统上的一组力F1, F2, F3N则这些力的虚功为(1.11.33),x3N经由变换式3NWi1Fi ii 1 II现在假定，3N个直角坐标x1,

51、 x2,x1 = x1(q1, q2, qn, t)x2 = x2(q1, q2, qn, t)(1.11.34)x3N = x3N (q1, q2, qn, t)与n个广义坐标q1, q2, qn有关。如果将此式微分，井令S t = 0 (由于我们考虑的是虚位移),Xj ；£qi(j= 1, 2,qix一样地讲，式中的系数2我们得到3N nXjj1F帀 qi,3N)(1.11.35)是各q和t的函数，将这些S xj的表达式代入式(33),得到w qi(1.11.36)我们用下式来定义广义力Qi,(1.11.37)3NXjQi21Fj- , (i = 1, 2, n)jqi然后把式

52、(37)代入式 (36)，改变求和次序，得到W in1Qi qi(1.11.38)比较一下虚功表达式 (1.11.33)和 (1.11.38)，我们能够看出它们在数学形式是相同的。前面我们差不多把各F定义为一样的力重量，它们沿各 x正向作用于对应的各X。由式(1.11.33)可见，Fj也等于所有其它S x 都为零时在每单位S xj位移中的虚功。类似地，我们能够把广义力 Qi看成作用于系统的所有F在每单位 S qi 位移中所做的虚功，但假定其它的 S q 差不多上零。那个地点我们通常假定虚位移足够小，对系统几 何形状的阻碍微不足道，且在虚位移过程中各力都保持不变。广义力的量纲取决于对应的广义坐标

53、的量纲，然而不管如何， QiS qi 必定具有功或能的量纲。因此， 若 qi 代表线位移，则对应的 Qi 是一样的力。另一种情形，如果 qi 是角度，则对应的 Qi 是力矩。在有些情 形，广义坐标可能用一种变异形式表示，在此变异形式中平动和转动都会在系统的不同部分显现。在此情 形，如果取 qi 为一无量纲化的比，则对应的 Qi 具有能量的量钢。通常选取广义坐标的方式是使这些坐标差不多上独立的。然而，若有约束存在，那么在所要求的虚位 移中仅有一个 S q 不等于零时，就要不计这些约束。这并不意味能够不计其约束力，因为在这些约束条件 下各力 R 也和 F 一样对广义力有所奉献。例如，在非完整系统情

54、形就有广义约束力显现，因为不可能选出 独立的广义坐标，这些广义约束力通常表示为拉格朗日乘子的形式。在论述虚功原理时，广义力的概念是专门有用的。假定所考虑的是无初始运动的完整系统，它受有定 常的无功约束。如果系统的位形是用独立的广义坐标来表示，则系统处于静平稳的必要与充分条件是主动 力产生的全部 Q 都等于零。这诱使人们查找广义惯性力的表达式，并在虚功原理中利用它们来导出动力学普遍方程，亦将运动微 分方程以广义坐标和广义力表示。这是一个能够用来导出拉格朗日方程的有效途径。1.11.6能量和动量势能 考虑一个质点，它的位置由直角坐标(x, y, z)给定，假设作用于该质点的合力 F具有以下重量:(

55、1.11.39)也确实是讲，它不是速度和时刻的函数。满足此条Fx卫 Fy上Fz 丄xyz式中的势能函数V(x , y, z)只是位置的单值函数，件的力众所周知为保守力。dW = F dr = Fxdx + Fydy + Fzdz将式(39)代入，可得dW = fx由此可见，得(1.11.40)VVVdxdydz dV(x, y, z)xyz现在来考虑力F在无穷小位移dr中所作的功。有(1.11.41)BW F drABAdV Va VbdW是恰当微分。下面来考察当该质点沿某路径由点A运动到点B时力F所作的功W。可(1.11.42)由于势能仅是位置的函数，因而可作出下述结论：对质点所作的功依靠于初始和终了位置，但与联接 这两点的特定路径无关.如果A和B两点重合，可进一步得到下面的结论：沿任何封闭路径所作的功是零。 因此，关于任何保守力F,有功和动能 关于功和动能，以及动能定理，我们假定读者差不多比较熟悉，因此不在赘述。需要指出的 是，力F可能是由任何来源所引起的。它不一定是保守的。此外，保持与质点速度相垂直的力重量都不作 功，因而在应用动能原理时能够