双缝干涉条纹间距公式的推导

1、双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导yddx·2O·2如图建立直角坐标系，其 x 轴上横坐标为d2 的点与 d2的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍n （零除外）的双曲线簇。其中d ,0、 d ,0 为所有双曲22线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为：x 2y 21222ndn222y·2O·2xdd用直线 yl 去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将y l 代入双曲线簇的方程，有：x 2l 212d22nn222解得：x n4l 22n2 2d上式中， d 的

2、数量级为 104 m ， 为10 7 m 。故 d 2n22d 2 ，x 的表达式简化为：x nl242d0m ， d4l 24， x 的表达式简化为：其中 l 的数量级为 10的数量级为 10 m 。故d 210l 2n lx n2dd可见，交点横坐标成一等差数列，公差为l，这说明：d（ 1）条纹是等间距的；（ 2）相邻两条纹的间距为l 。d至此，证明了条纹间距公式：xdl 。杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的海军航空工程学院李磊 梁吉峰选自物理教师 2008 年第 11 期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：x L/d ，其中 L 为双缝与

3、屏的间距，d 为双缝间距，对单色光而言，其波长为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。设定双缝 S1、S2 的间距为 d，双缝所在平面与光屏P 平行。双缝与屏之间的垂直距离为 L，我们在屏上任取一点 P1，设定点 P1与双缝 S1、 S2 的距离分别为 r121212点为 P0和 r ， O 为双缝S 、S 的中点，

4、双缝S 、S 的连线的中垂线与屏的交10，设 P与 P 的距离为 x，为了获得明显的干涉条纹， 在通常情况下 L>>d，在这种情况下由双缝 S12发出的光到达屏上1点的光程差 r 为、SPS2M r2 r1 dsin，（1）其中 也是 OP0 与 OP1 所成的角。因为 d<<L， 很小，所以xsin tan L（2）x因此 rdsindLx当r dL± k时，屏上表现为明条纹， 其中 k0，1，2， ，（3）x1当r dL±（k2）时，屏上表现为暗条纹， 其中是 k 0，1，2， 。（3）我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。L当 x

5、7; kd 时，屏上表现为明条纹，其中 k 0， 1， 2， 。1 L当 x±（ k ） 时，屏上表现为暗条纹， 其中 k0，1，2， 。2 d我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为x xxL（5）kd 。1k（ 4）（ 4）至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第 1 次是在运用公式rr2r1dsin的时候，此式近似成立的条件是 S1P1S2 很小，因此有 S1M S2P1，S1M OP1，因此 P0OP1 S2S1M ，如果要保证 S1P1S2 很小，只要满足 d<<L 即可，因此 rdsin是满足的

6、。第 2 次近似是因为 d<<L，很小，所以 sin tan。下面我们通过表 1 来比较 sin与 tan 的数值。表 11°2°3°4°5°6°7°sin tan 8°9°10°11°sin tan 从表 1 中我们可以看出当6°时， tan sin %。因此当 6°时，相 sin对误差就超过了 %，因此我们通常说 sintan 成立的条件是 5°，当 5°时，sintan就不再成立。 而在杨氏双缝干涉实验中， 很小所对应的条件应该

7、是 x<<L，这应该对应于光屏上靠近 P0 的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。而当 x 较大时，也就是光屏上离 P0 较远的点所对应的 角也较大，当 5° 时， sintan 就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了， （ 2）式就不能再用了。此时 sinxL2x 2所以， rdsin2dxx2 ± k，屏上表现为明条纹， 其中 k 0，1，2， ，Lrdsindx1L2x2±（k 2 ），屏上表现为暗条纹， 其中 k 0，1，2， 。因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x±d 2 k 2 2，屏上表现为Lk明条纹，其中k 0， 1，2， ，L (k1)，屏上表现为暗条纹，其中k0，1，2， 。x±2d 2(k1)2 22则相邻的明条纹中心问距为x 明 xk 1 明一 xk 明 L(k 1)Lk2(k 1)2 22k2 2dd邻暗条纹中心间距为L(k 11 )L( k1)x 暗 xk 1 暗一 xk 暗 22d 2(k 11)2 2d 2(k1)2 222由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。例 1：用氦氖激