同余与子结构

1、同余与子结构目录中文摘要 01英文摘要 02引 言 03基本定义 04群 05环 08模 11半 群 15参考文献 19致 谢 20中文摘要本文讨论了群上的同余与正规子群之间、环上的同余与理想之间、模上的同余与子模 之间的一一对应关系 . 但是对于半群 , 所有理想都能对应到相应的同余 , 相反却不成立 . 本文构造了一个交换幺半群 , 得到了泛半群上同余与理想之间不一定存在一一对应的结 论.关键词 : 半群, 群, 环, 模, 同余, 子结构，双射ABSTRACTIn this paper, we study the relationships between congruences and

2、 normal subgroups on a group, congruences and ideals on a ring, congruences and submodules on a module. For a semigroup, we could just prove that an idea is corresponding to a congruence, however on the contrary it 's not ture. In this paper, we construct a commtative monoid and prove that there

3、 is no bijective mapping between the set of all congruences and the set of all ideals of this monoid.Keyword: semigroup, group, ring, module, congruence, substructure, bijection function、引言同余作为代数系统上保持所有运算的等价关系 , 在每一个代数系统的研究中都占据 着重要的地位 . 而本文研究的主要是群、环、模、半群等代数系统上的同余与子结构的关 系 . 涉及到的内容主要有以下几点 :1关于群 , 本文主要

4、参考文献 1及文献 4, 详细研究了群的正规子群 , 同余关系及 关于同余生成的商群等 , 并仿照文献 4 中已有结论得到本文定理 3.4, 即可以根据给定的 一个正规子群 , 构造出一个相应的同余 ; 相反可以根据给定的一个同余 , 构造出一个正规 子群 . 这样便初步得到群上的同余与正规子群之间的对应关系 , 而进一步地通过定理 3.5 补充证明群上的同余与正规子群之间存在一一对应的关系 .2关于环 , 总体思路与群上的类似 . 环的特殊子结构是理想 , 所以本章着重讨论环上 的同余与理想的关系 . 仿照定理 3.4, 给出并证明了定理 4.5, 表明在环上可以根据给定的 任意一个理想构造

5、出相应的一个同余 ; 相反可以根据给定的一个同余 , 构造出一个理想 . 而通过定理 4.6 进一步补充证明了环上的同余与理想之间存在一一对应的关系 .3关于模 , 由于模本身与环非常类似 , 所以仿照定理 4.5, 我们给出定理 5.6, 凭此证 明了在模上可以根据给定的任意一个子模而构造出一个相应的同余 ; 相反可以根据给定 的一个同余 , 构造出一个子模 . 而通过定理 5.7 进一步补充证明了模上的同余与子模之间 存在一一对应的关系 .4关于半群 , 通过定理 6.4, 我们证明了半群上任意给定一个理想 , 都可以构造出一 个与之对应的同余 ; 而命题 6.5 则证明了交换幺半群上只要

6、给出一个子半群 , 便可以构造 出一个同余 ; 并在此基础上 , 本文构造出一个交换幺半群 , 且根据该半群的一个子半群构 造出的同余 , 是无法找出任何理想与之对应 . 并进一步探究发现 , 该半群所有同余与理想 分别组成的集合具有不同的阶 . 通过此反例反驳了半群上同余与理想之间存在一一对应的 关系.、基本定义等价关系是集合上一类重要的二元关系.定义如下：定义2.1 设A为一个集合,是A A的一个子集,若满足：(1) 自反性:对任意a A ,有(a, a)三*;(2) 对称性:对任意a, b A,若(a, b)*,则(b, a)w P;(3) 传递性:对任意 a, b, c A,若(a,

7、b) 且(b, c)；-,则(a, c) 二则称是集合A的一个等价关系.若集合中的元素定义了运算(本文只讨论二元运算)，并且满足某些运算规律，就做成了一个代数.而同余就是代数上保持所有运算的等价关系.本文讨论具有有限多个二元运算的代数系统，设(A, <)是一个代数，其中“1”是A上一个二元运算，i =1, 2,n, r是a A的一个非空子集合，称J是A上的一个同余，若(1) 是A上的一个等价关系，(2) 对任意的a, b, a, b A,(a, b), (a , b)(a i a , b i b) ' (i =1, 2, n).我们也把(2)称为，关于运算“ J”(i =1, 2

8、，n)是相容的.在各种代数系统中，同余往往会跟某种特殊的代数子结构一一对应，下面我们将分别讨论群、环、模、半群等代数系统中同余及其子结构的关系.三、群上同余与子结构在群上，正规子群是群上一类特殊子群，而同余却是关于运算满足左右相容的特殊等 价关系那么群上所有同余与所有正规子群之间是否有特殊的关系，这一章我们便来讨论这一点.定义3.1 设(G,)为一个群，H是群G的一个子群，H称为G的一个正规子群,若 -a G ,有 aH =Ha .定义3.2设r是群(G,)的一个同余,对集族G/二aja- G,其中a亠b G | b :-a,定义一个运算“”：-a, b G, ab- ab，.则GM关于运算“

9、 ”构成一个群.定义3.3 设T是群(G,)的一个同余，则我们把GZ称之为G的商群.下面我们来讨论一下群上同余与正规子群之间的关系.定理3.4 设(G,)为一个群，则有下面结论：(1) 若H为群G的一个正规子群，那么有 订=(a, b)G G |abJ H为群G的一 个同余；(2) 若'是群G的一个同余，则H二( e为单位元)为群G的一个正规子群.证明：(1)首先证明 讣二(a, b)G G |ab4 H是一个等价关系：a. (自反性)由于H为群G的一个子群，所以有G, aaJ H，即(a,a)?h ；b. (对称性)-a, bG,若(a, b) /，则abJ H ,由于H为群G的一个

10、子群，所 以 ba' =(abj 4 H ,所以(b, a)订；c. (传递性)-a, b, G,若(a, b)，订,(b, c) ,即 h, h?，H ,使得 ab，二 h, be" =h2,由于H为群G的一个子群，所以ac4 =abbc4 =hh H ,所以(a, c)注.F面只需再证明:-H是相容的即可：-a, b, c, d G ,若(a, c)三！：h， (b, d)三H，即 Hhl, h2 H ,使得 acJ = h1, bd 二 h2.由于H为群G的一个正规子群，则有aH = Ha ,所以h H ,使得ah = hsa .则ab(cd)1 =abd'c，

11、=ah2c = hac，= hh- H ,即(ab, cd) ?h .所以讣是群G的一个同余.(2)由于t为群G的一个同余，由定义3.3可知，G/ r为G的商群，特别对于e这个 集合，由于e是群G/的单位元，所以我们有ab| a, b e® =e，故e-关于G的运算圭寸闭.-a，e：、，则由a：e, a'a，得，aa'ea，即a'，e,所以aJ e，.因此e? 是 G 的一个子群.再由-a G ,有 a(e")aJ - a- e-，a二(aea)匸=e.故知e t是群G的一个正规子群.定理3.5 设G为一个群，表示G上所有正规子群组成的集合，1 2表

12、示G上所有同余组成的集合，则与门2之间存在一个双射.证明:首先我们定义：(1) 1 1 2 ; H T PH , PH 訴2 :宀宀(2) ; pt eP, FPwQ2显然，由定理3.4可知,1, ；：2是良好定义的则要证1与门2之间存在一个双射，只须证J二id小id 口.(1)要证二idi2,只须证一厂2,节2('),即证匚 即?ep= P(a, b)三；订亍二(a, b)二 G G | ab J e-二(abJ, e)二匸=(a, b)所以订,即J =id,2.(2)要证 id,只须证-H ,”(H)=H,即证(n,即e?H = H .a. a e?H 二a G |(a, e) 6

13、,由于;?h 二(a, b) G G |abJ H,所以有a 二 ae ° H ,即 e H .b. a H ,有 aeH ,即(a, e)三 PH ,所以 a eH ,即H -讥.所以 e 二H ,即% -二 id,所以，由定理3.4及定理3.5可知：在群上，所有同余与所有正规子群分别组成的集 合之间存在对应的关系.四、环上的同余与子结构在群上同余与正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系在环上，对应与群上正规子群类似性质的结构则是理想 .那么环上是否也有相应的结论呢？即在环上，是否所有同余与其所有理想有对应的关系？这章我们便来讨论这一点.定义4.1 设(R,)为一个环，I称为

14、R的一个理想,若(1) I是R的一个子加群；(2) -r R, i I , ri I 且ir I .定义4.2 设t是环(R,)的一个同余,对集族R/R,其中2定义为r - =a R | ar,在 R/ :7上定义一个运算“ ” , “ ” , -a, b Rb=(a b)；ab二(ab).则有定理4.3 R/关于运算“ ” ,“ ”构成一个环.定义4.4 设t是环(R,)的一个同余，则我们把R/T称之为R的商环.下面我们来讨论一下环上同余与理想之间的关系.定理4.5设(R,)为一个环，则有下面结论：(1) 若I为环R的一个理想，那么有-二(a, br R R|a-b 1为环R的一个同余；(2

15、) 若是环R的一个同余，则丨-卄(二为加法零元)为环R的一个理想.证明：(1)首先证明几=(a, br R R|a-b 1是一个等价关系：a. (自反性)由于I为环R的一个子环，所以有-aR, a-a - " I ,即(a, a)几；b. (对称性) p b，R,若(a, b) ?i ,则a -bI，由于I为环R的一个子环，所以b -a 二-(a -bp I ,所以(b, a)-；c. (传递性)-a, b, c R,若(a, b) 几,(b, c)订，即 h, i I ,使得 a-b=h, b -c = i2,由于 I 为环 R 的一个子环，所以 a - c = (a - b) (

16、b - c)二 ii i2 I ,贝U(a, c)下面只需再证明q是相容的即可：-a, b, c, d R,若(a, c) , (b, d)几，即 ii, i I ,使得 a - c 丸，b - d = i?. 由于I为环R的一个理想，有a I = I a ,所以T ,使得a ii3 a .则 (a b)-(c d)二a (b-d)-c = a i2-c=i3 a-c = i3 ii I ,即(a b, c d)三片.而 ab -cd = ab -cb cb -cd 二(a -c)b c(b -d)二 i1b ci2,由于 I 是理想，所以hb I , ci2 I .则 ab _cd =2 c

17、i2I ,即(ab, cd)三片.所以I是环R的一个同余.(2)由于为环R的一个同余，由定义4.4可知，R/T为R的商环，特别对于并这 个集合，由于片是环R/'的加法零元，所以我们有：a b | a, b2 2 -亦及ab |a, b 川川亦-亦，故分关于R的两个运算封闭.飞 介,则由a, (-a)(a)得,(a-a)pa),即 (-a)宀,所以-a 二这样便证明了介是环R的一个子加群.再由-a，R, i ",有ar a【P二(aU<故知并是环R的一个理想.定理4.6 设R是一个环，-1表示R上所有理想组成的集合，2表示R上所有同余组 成的集合，则与门2之前存在一个双射

18、.证明：首先我们定义：(1)显然，由定理4.5可知，二=2 只须证2 二 id，1 二 id.码：01 T 02I T ：- , 申2 ： 02 T 01三：. 2 '是良好定义的则要证1与门2之间存在一个双射(1) 要证2皿2,只须证心：2, T2()'，即证d，即而(a, b)j： (a, b) R R|a b -=(a_b, R =:二(a, b) = ：?.所以匚即2 =id.(2) 要证心,只须证T J,； 1(I) = I ,即证2('i)“ ,即站二I .a. -a V 二a R|(a,对三气,由于:? =(a, b) R R|a_b I,所以有a = a

19、 -八I ,即I .b. a I,有a - " I ,即(a,旳三叫,所以a ” ,即I 二 I 片.所以并I =丨，即 2; 1 =id所以，由定理4.5及定理4.6可知：环上所有同余与所有理想分别组成的集合之间存 在双射，即有对应的关系.五、模上的同余与子结构定义5.1 设R为有恒等元1r(=0)的环,M是一个加法交换群,定义一个从R M到M的倍数乘法：:R M > M(r, m) 一 rm, - r R, m M .且“ ”满足：(1)k(a b)二 ka kb,(2)(k 丨)a = ka la ,(3)(kl)a =k(la),(4)Ra = a ,其中k, L R

20、, a, M ,那么就称M做成环R上的一个左R-模.类似的也可以定义右R-模.下面我们只讨论左R-模上同余与子结构的对应关系,且左R-模简称为R -模.定义5.2 设M是一个R-模，K是M的非空子集，如果K关于M的加法和倍数乘 法本身也做成R上的模，则称K是M的一个子模.类似与前面讨论，我们有设M是一个R -模，是M M的非空子集，且是M上的一个等价关系，若一(a, b), (c, d)三匕 r R,有(a b, c d)三匕 r R, (ra, rb)三 P ,则称为 M 的一个 同余.设M为任意一个R-模，K是M任意的一个子模.于是，M作为交换群来看，K自然 是M的一个关于加法的正规子群.

21、令M /K =a =a K |a M.在M/K中定义加法：a b=厂K -a, b M /K .及倍数乘法：ka 二ka, k R, a M /K ,则M/K关于规定的加法做成一个商群，且a = b= a - b = K = k(a - b) = ka - kb = K 二 ka = ka = kb = kb.这样，容易得到下述的结论.即命题5.4 设M是R -模,K是M的一个子模.那么,按如下的运算：a b 二 a b, ka 二 ka, -a, b M / K , k R .商集合M / K做成一个R-模,并称之为M关于子模K的商模.下面我们来讨论一下模上同余与子模之间的关系.定理5.6设

22、M是R -模，则有下面结论：(1) 若K是M的一个子模，那么有二(a, b)M M |abK为M的一个同余；(2) 若t是M的一个同余，则K -(二为M上加法零元)为M的一个子模. 证明：(1)首先证明 讣二(a, br M M |a_bK是一个等价关系：a. (自反性)由于K为M的一个子模，那么对于-a，M ,有a-a K ,即 (a, a)山；b. (对称性)-a, M ,若(a, b)匚，则a-K ,由于K为M的一个子模，所以 b -a 二-(a -b) K ,所以(b, a)匚；c. (传递性)-a, b, c M ,若(a, b) G , (b, c) ; , 即卩 ki, k K

23、,使得 a - b 二 ki, b -c = k?,由于 K 为 M 的一个子模，所以 a - c = (a - b) (b - c)二匕 k? K ,所以(a, c)-?K .下面只须再证明匚是相容的即可：-a, b, c, d M ,若(a, c)讣,(b, d)匚，即 ki, k K，使得 a-c=ki , b-d二k2.由于M加法交换群，则M的任意一个加法子群必定关于加法成正规子群.而K为M的一个子模，所以K关于加法成正规子群，有a K a .则k K ,使得 ak2= k3a.则(a b) -(cd) =a(b -d) -c = ak2 -c =k3a -c =k3kK ,即(a b

24、, c d)匚.由于K为M的一个子模，则r R,有ra - rc 二 r(a - c)二 rkK ,(ra, rc) 6 所以讣是M的一个同余.(2)由于'为模M的一个同余,特别考虑亦- aM |a这个集合,由于M关于 加法是一个群，显然可以看成是加法群M上的一个同余，由定理3.7第(2)结论可知， 关于M的加法运算构成一个正规子群；而对-卄，r R,有a：4 ,所以(ra)(r 巧=(ra)宀.即ra .由定义5.2可得弁为M的一个子模.定理5.7设M是一个R-模，-Ji表示M上所有子模组成的集合，I 表示M上所有同余组成的集合，则J与门2之间存在一个双射.证明：首先我们定义：3 J

25、 “ 二2(1) 、 ;KT Pk, FK”1®2 ：怎笥(2) ;'，三二2显然，由定理5.6可知,：1, -：2是良好定义的.则要证1与门2之间存在一个双射，只须证2 -id.2，2 1-id.i.(1)要证2二idi2,只须证心：2, T2CJ二匚即证1(")=匚即P - P .T _ .(a, b)冷(a, b) M M |a-b 并=(a_b, T二(a, b). 所以：二:',即2 =id2.(2)要证idy,只须证-K：2, 2i(K)二 K,即证 2k) = K,即讥二K.a. -aI% =a M | (a, R 讣,由于 -(a, b) M

26、 M|a-b K,所以有a = a -厂K ,即卅K K .b. K,有a - K ,即(a, )；-K,所以 a，”K ,即K 二 I !-：k .故 XK 二K ,即 2 -二 id所以由定理5.6及定理5.7可知：模上所有同余与所有子模分别组成的集合之间存在 一个双射，即有对应的关系.六、半群上的同余及其子结构群、环、模上的同余都会与某种特殊的子结构一一对应， 那么在更泛的代数如半群中， 这种类似的结论是否也成立呢？前面都是讨论特殊的子结构，所以这一章我们只讨论半群上的同余及理想之间的关系.定义6.1S是一个非空集合，是S上的一个二元运算，若满足(1) -a, b S, a b S;(封

27、闭性)(2) -a, b, c S, (a b) c 二 a (b c).(结合律)则称S关于构成一个半群，记为(S,).定义6.2 设(S,)为一半群，A为S的一个非空子集，若A关于“”封闭，则称A 为S的一个子半群.定义6.3 设(S,)为一半群，称S上的一个非空集合I为S的一个左(右)理想，若SI I ( IS I );若I既是左理想，又是右理想，则称I是S的一个理想.对于半群上同余及其子结构的关系，我们有以下结论：定理6.4设S为一个半群，若I是S的一个理想，则0 =(|) 一 1s是S的一个同余.证明：(1)首先证=(1 I) 一 1s是一个等价关系：a. 自反性：由于1s - &q

28、uot;i ,满足自反性；b. 对称性：若(a, br ?|, a, S，那么若(a, b) 1s，显然(b, a)，仏乂;若(a, b) I I ,则 a, b l,所以(b, a) I I 三;c. 传递性：(a, b), (b, c) ;?|, a, b, S，假设(a, c) 叫,则 a = b = c ,所以由(a, b) I I 得 a, b I ,由(b, c) I I 得b, c I ,所以(a, c) I 心| (矛盾)，所以(a, c).因此 "(I I) _ 1s是S的一个等价关系;(2)下面证明几的相容性：设(a, b), (c, d) J , a, b, c

29、, d S,a. 若(a, b), (c, d)都不属于 I I ,即 a 二 b, c 二 d ,则 ac 二 bd ,显然：(ac, bd) 1s 二':i .b. 若(a, b), (c, d)至少有一个属于I I ,不妨设(a, b I I ,由于I是一个理想,所以 ac, bd, ca, db = I ,即(ac, bd), (ca, db) I I 二.所以A是半群S的一个同余.由定理6.4可知，在半群上，一个理想对应着一个同余；但是反过来，结论却不一定成 立，即一个同余可能找不到一个理想与其对应.我们先来看看下面一个命题:命题6.5设S是一个交换幺半群，A为S的一个子半群

30、，令匚二(a, b) | a, b S,和 足 A,使得 ag 二 .则匚为S上的一个同余关系.证明：(1)首先证匚是一个等价关系：a. 自反性：由;?a定义显然满足；b. 对称性：由匚定义显然满足；c. 传递性：设(a, b), (b, c)a,a, b, c S,$,s?,S3,S4, A,使得asbs2,bS3二CS4.而由于S是一个交换半群，有a(&S3)= (bs2)s3二(bsg)s c(S4sO,且由A为S的 一个子半群得,s1s3, s4s2A,即(a, c):?A.因此;?a二(a, b) |a, b S, 3, A使得as = by是S的一个等价关系；(2)下面证明

31、匚的相容性：设-a, b, c, d S,若(a, b), (c, d) 匚，贝U $, sz,岂，S4J A,使得as 二 bsz, CS3 二 dS4.由于S是一个交换半群，因此有3)(謂)=(asOd =屣)亦)=站),由于A为S的一个子半群,所以s1s3, S2S4 A,即(ac, bd J 因此订是半群S的一个同余由命题6.5可知，给定半群的一个子半群，我们就可以构造出一个同余那么我们来看 看下面一个例子.例6.6令S二e, a, b;定义S上一个乘法运算“” ,其乘法表如下：eeeaabbababbaab则有:(1) 从乘法表显然可得S关于“ ”封闭且交换；(2) 下面只须证：-a

32、, b, S, (ab)c=a(bc).首先，若a, b, c中至少有一个是单位e,显然满足上述等式；那么我们只须考虑全部元素都不是单位的情况，则有以下两种：a. a = b = c ,显然(ab)c 二 a(bc)成立;b. a, b, c 中有两个相等，若 a=b 且(ab)c = a(bc),贝 U (ca)b = b(ca) = a(bc) = (ab)c= c(ab).而若a=c,贝U (ab)c = (ab)a = a(ba) = a(bc).所以只须验证以下两条： (aa)b = bb = b = aa = a(ab); (bb)a 二 ba = a = ba 二 b(ba);因此S关于“ ”构成一个有幺的交换半群.注意到S的子集A二e, b关于“”圭寸闭，根据定义6.2, A为S的一个子半群.由命题6.5可得:=(a, b)|a, b S, ®, S2e, b,使得 a$ = bs?;为S的一个同余.那么我们不难推得S/ 匚二e, b, a.显然，无论是e, b还是a,都不是S的理想.由例6.6可知，不与群、环、模等代数系统相同，幺半群上的同余所确定商集中，单位 元所在的集合不一定是理想而要反驳半群上所有同余与所有理想分别组成的集合之间 ， 不存在一一对应的关系，我们仍须对例6.6再进行深入分析.下面我们令-12分别表示例6.6的所