无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)

1、精品文档无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识， 本节通过介绍反常积分， 加深学生对积分的了解， 使同学对积分的了解更加系统化， 并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。二、学情 / 学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛， 使学生充分掌握本节课的内容。三、学习内容分析1. 本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分

2、的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。2 本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则随意编辑精品文档4. 条件收敛与绝对收敛3. 重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。4. 课时要求： 2 课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解， 引导

3、学生互动，相互讨论解决问题。六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义 1设函数定义在无穷区间 a,)上，且在任何有限区间 a, u 上可积如果存在极限limu()a fux dx J则 称 此 极 限 J 为 函 数 f在 a,)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作Jf ( x)dx ， 并 称f ( x)dx 收 敛 如 果 极 限 limuf ( x)dxJ 不存在，亦称aaau随意编辑精品文档a f ( x)dx 发散 f 在 (bb类似地，可定义,b 上的无穷积分：f ( x) dx lim u f (x)dx.u对 于 f在 (,)上

4、的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：f ( x) dxaf (x)dx, 其中 a 为任一实数， 当且仅当右边两个无穷积分都收f (x)dxa敛时它才是收敛的注：af ( x)dx 收敛的几何意义是：若f 在 a, 上为非负连续函数，则介于曲线y f (x) ，直线 xa 以及 x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J 例 1讨论无穷积分 1)dx 2 .， 2)dx 2 . ， 3) 0xe x2dx.的收敛性01 x1 xdxdx例 2讨论下列无穷积分的收敛性： 1)1x p ，2)2x(ln x) p ;二、无穷积分的性质f ( x)dx 收敛与否，取决于积分上限函数 F (u

5、)u由定义知道，无穷积分f ( x)dx 在aau 时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则定理11.1 无穷积分f (x)dx 收敛的充要条件是：任给>0 ，存在Ga ，只要au1 ,u2G ，便有u2u1u2af ( x)dxf ( x) dxf ( x)dxau1此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质性 质 1若af1 ( x)dx 与af2 ( x)dx 都 收 敛 ， k1 , k2为任意常数，则k1 f 1 ( x)k2 f 2 ( x) dx 也收敛，a且k1f1 ( x) k 2f2( x) dx k1af 1(

6、x) dx k 2af2 (x)dx a性 质2若 f 在任何有限区间 a,u )上可积，且有f ( x) dx 收敛，则f ( x)dx 亦aa必收敛，并有随意编辑精品文档af (x)dxf (x) dx a证：af ( x) dx由收敛，根据柯西准则( 必要性 )，任给0 ，存在G a ，当u2 u1G 时，总有u2f ( x)dxu2u1f ( x) dx . 利用定积分的绝对值u1u2u 2.不等式，又有f (x) dxf ( x) dxu1u1再由柯西准则 (充分性 )，证得f (x)dx 收敛auf ( x)dxu又因f (x) dx ，令 u取极限，立刻得到不等式 .aa当f (

7、x) dx 收敛时，称f ( x)dx 为绝对收敛 性质 3 指出：绝对收敛的无穷积分，aa它自身也一定收敛但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛性质 3若 f 在任何有限区间 a, u 上可积， a b ，则f ( x)dx与f ( x)dx 同敛abbf ( x)dx +f ( x) dx ,态( 即同时收敛或同时发散)，且有af ( x) dx =ab性质 2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出f ( x)dx 收敛的另一充要条a件：任给> 0，存在 G0 ，当 u >G 时，总有f (x)dx. a事实上，这可由f ( x) dxuf (x)dx

8、f ( x) dx 结合无穷积分的收敛定义而au得三、比较判别法uf ( x) dx 关于上限 u 是单调递增的， 因此首先给出无穷积分的绝对收敛判别法由于auf ( x) dx 存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较af ( x) dx 收敛的充要条件是a判别法：定理 11.2 ( 比较法则 )设定义在 a,) 上的两个函数 f和 g 都在任何有限区间 a,u 上可积，且满足f ( x)g(x), x a,),则当g( x)dx 收敛时f ( x) dx 必收敛 (或当f ( x)dx 发散时，g(x)dx 必发散 )aaaa随意编辑精品文档例 3讨论sin x dx 的收敛性01 x2解

9、：由于sin x12 , x 0, ，而dx为收敛，故sin x1 x21 x1 x20 1 x2 dx 为02绝对收敛当选用dx作为比较对象g( x) dx 时，比较判别法有如下两个推论(称为 柯西判别法 )xp1a推论 1设 f 定义于 a, ( a0 )，且在任何有限区间 a, u 上可积，则有：(i) 当 f ( x)1 a,) ,且 p1时 ,xp , x(ii) 当 f ( x)1a,) 且 p1时 ,xp , xaaf ( x) dx 收敛 ;f (x) dx 发散 .推论 2设定义于 a,)，在任何有限区间 a,.u 上可积，且lim x p f ( x)则x有：(i) 当p1

10、,0时 ,f(x dx收敛;a)(ii) 当 p1,0时 ,af (x) dx 发散 .推论 3若 f 和 g 都在任何 a,u )上可积， g ( x)0 ，且 limf ( x)c, 则有xg (x)(i) 当 0 c(ii) 当 0 c时，由g ( x)dx 收敛可推知f ( x) dx 也收敛；aa时，由g( x)dx 发散可推知f ( x) dx 也发散 .aa四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理 11.3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F (u)u)上有界， g( x) 在 a,)f ( x) dx 在 a,a上当 x时单调趋于 0 ，则无穷

11、积分af (x) g( x)dx 收敛定理11.4 ( 阿贝尔 (Abel) 判别法 )若f ( x)dx 收敛， g ( x) 在 a,)上单调有界，a则无穷积分f ( x) g( x)dx 收敛a用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法随意编辑精品文档例 5讨论sin xdx 与1cos xdx( p 0) 的收敛性1xpxp解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种情形来讨论：(i) 当 p >1时sin xsin x1, x a,), 而dx当xpdx 绝对收敛这是因为xpxp1xp1p >1时收敛，故由比较法则推知sin x1xpdx 收敛

12、.(ii) 当 0p1 时1sinpxdx条 件 收 敛 这 是 因 为 对 任 意 u1，有x1p 当 pucosu2 ，而0时单调趋于 0( x) ，故由狄利克雷判sin xdx cos11xsin x别法推知时总是收敛的1xpdx 工当 p 0另一方面，由于sin xsin 2 x1cos 2x , x1,)，其中x px2x2xcos2x dx1cost dt 是收敛的，而dx 是发散的，因此当0p 1时该无穷积12x2 2t12x分不是绝对收敛的所以它是条件收敛的例 6证明下列无穷积分都是条件收敛的1sin x 2 dx,cos x 2dx,1x sin x4 dx1证：前两个无穷 积分经换元 tx2得到sin x 2 dx1sin t dt ,cos x2 dx1cost dt.12t12t由 例 5知 它 们 是 条 件 收 敛 的 对 于 第 三 个 无 穷 积 分 ， 经 换 元