武汉工程大学工程电磁场第三章恒定电场

1、第三章第三章 恒定电场恒定电场23-1 3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场导电媒质中的恒定电场、局外电场3-2 3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔电流密度、欧姆定律及焦尔- -楞次定律的微分形式楞次定律的微分形式3-3 3-3 恒定电场的积分形式定理恒定电场的积分形式定理3-4 3-4 媒质分界面上的边界条件媒质分界面上的边界条件3-5 3-5 恒定电场中基本定理恒定电场中基本定理的微分形式与拉普拉斯方程的微分形式与拉普拉斯方程3-6 3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟比拟3-7 3-7 接地电阻的计算接地电阻的计算 第第3 3章章 恒定

2、电场恒定电场恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中各处电流密度的分布是不随时间而改变的。各处电流密度的分布是不随时间而改变的。3 要在导线中维持恒定电流，必须要在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将依靠非静电力将B B极板的正电荷抵抗电极板的正电荷抵抗电场力搬到场力搬到A A极板。极板。这种提供非静电力将这

3、种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电其它形式的能量转为电能装置称为电源。源。1.电源电源恒定电流的形成恒定电流的形成3-1 3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场导电媒质中的恒定电场、局外电场 恒定电流场恒定电流场是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷流动的物理过程。流动的物理过程。2.恒定电流场恒定电流场qE4 电源电动势与有无外电路无关，它是电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。且与搬移电荷的表示电源本身的特征量。且与搬移电荷的数量无关，即与电源的电流大小无关。数量无关，即与电源的电流大小无关。3.电源电动势与局外场强电源电

4、动势与局外场强设局外场强为设局外场强为电源电动势与局电源电动势与局外场强外场强 Vl dEBA0dqFdqFEqlim00电源电动势为电源电动势为BAeleldEldE 因此局外场因此局外场 E E0 0 是非保守场。是非保守场。 局外场只存在于电源之中局外场只存在于电源之中5dSdISIslim0 (3-3)(3-3) 3-2 3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔楞次电流密度、欧姆定律及焦尔楞次定律的微分形式定律的微分形式1 电流密度矢量电流密度矢量 其方向为该点正自由电荷运动的方向，即该点电场强度矢其方向为该点正自由电荷运动的方向，即该点电场强度矢量量 的方向。的方向。E2 欧姆定律的微分形式

5、欧姆定律的微分形式E (3-4)(3-4) ：媒质的电导率，单位为西门子每米（媒质的电导率，单位为西门子每米（S/mS/m）SSdI 63 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式 导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗，其功率的体密度为导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗，其功率的体密度为Ep（W/m3）焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式 电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即RIUIP2（W）焦耳定律的积分形式焦耳定律的积分形式7RE2120lnRRRRUEo12ln222121RRdRREdRURRRRo12lnRRRUEo例例3-13-1 圆柱形电容器内导

6、体的外半径为圆柱形电容器内导体的外半径为R1 1，外导体的内半径为，外导体的内半径为R2 2，其间电介质并非理想的绝缘介质，其电容率为，其间电介质并非理想的绝缘介质，其电容率为，电导率为，电导率为，若于内导体至外导体间施以恒定电压，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0 0，求单位长度上流，求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。过介质的电流及功率消耗。 解解 设内导体单位长度上电荷为设内导体单位长度上电荷为，则其所激发的电场强度为，则其所激发的电场强度为120120ln22lnRRURRRRUSdIS81220212020ln22ln21RRURdRRRRUdVEdVPPVVRR2ln1200R

7、RIUR单位长度上所消耗的功率单位长度上所消耗的功率单位长度上的绝缘电阻单位长度上的绝缘电阻 （3-103-10）9StqISd（3-113-11）3-3 3-3 恒定电场的基本定理恒定电场的基本定理1 电流连续性方程电流连续性方程 在任意恒定电场中，作任意闭合曲在任意恒定电场中，作任意闭合曲面面S，由电荷守恒定律得，由电荷守恒定律得 图图3-3 3-3 穿过闭合曲面穿过闭合曲面的电流密度线的电流密度线在恒定电流场中，在恒定电流场中，0tqSSd0（3-123-12）恒定电场的电流连续性方程的积分形式恒定电场的电流连续性方程的积分形式1000dVSdVS高斯公式恒定电场是一个无源场，电流线是连

8、续的。恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。0电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的微分形式 电流的连续性方程说明了恒定电流场具有电流的连续性方程说明了恒定电流场具有什么性质？什么性质？11 在恒定电场中，电场的分布恒定，它的能量状态亦是恒定在恒定电场中，电场的分布恒定，它的能量状态亦是恒定的。的。2 环路定理环路定理0 E环路定理的微分形式环路定理的微分形式ll dE0恒定电场的环路定理的积分形式恒定电场的环路定理的积分形式0)(0SdEl dEsl斯托克斯公式 环路定理说明了恒定电流场具有什么性质？环路定理说明了恒定电流场具有什么性质？恒定电场能否引入电位函数？恒定电场能否引入电位函数？

9、 上式中的电场强度能否包括局外电场？上式中的电场强度能否包括局外电场？12 恒定电场是无源无旋场。恒定电场是无源无旋场。小结：恒定电场（电源外）的基本方程小结：恒定电场（电源外）的基本方程0Sds0l dEcE00 EEp(1)(1)恒定电场中是否存在泊松方程？恒定电场中是否存在泊松方程？(2)(2)恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？1302E当媒质均匀时 则得 0023 恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场的拉普拉斯方程通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯方程。而满足拉普拉

10、斯方程的位函数，则称之为调和函数。方程。而满足拉普拉斯方程的位函数，则称之为调和函数。14nn21 (3-14 )(3-14 )ttEE21(3-15)(3-15)不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理：不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理：3-4 3-4 媒质分界面上的边界条件媒质分界面上的边界条件1.不同导电媒质交界面上的边界条件不同导电媒质交界面上的边界条件(1)(1)边界条件边界条件设有媒质电导率分别为设有媒质电导率分别为 的交界面，可得的交界面，可得21, 上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的法线分量连续。的法线分量连

11、续。 在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度 的切线分的切线分量连续。量连续。E2121tantan12n121215图图3-4 3-4 电流由电导率电流由电导率大的媒质流入电导率小大的媒质流入电导率小的媒质的媒质 在实际问题中，经常存在两在实际问题中，经常存在两种媒质的电导率数值相差极大的种媒质的电导率数值相差极大的情形，这时当电流由电导率大的情形，这时当电流由电导率大的媒质区域流向交界面时，不管其媒质区域流向交界面时，不管其与界面的交角如何，离开交界面与界面的交角如何，离开交界面进入电导率小的媒质区域的电流进入电导率小的媒质区域的电流密度线几乎与界面垂直，

12、这是因密度线几乎与界面垂直，这是因为当为当 之故。之故。2121,(2)(2)分析分析16图图3-5 3-5 电流由导体电流由导体流入土壤流入土壤 在电力工程中，为了保证设备及人在电力工程中，为了保证设备及人身安全，必须设置专门的金属接地装置，身安全，必须设置专门的金属接地装置，图图(3-5)(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其为简单的接地棒接地装置。若其材料为钢，则其电导率约为材料为钢，则其电导率约为5 5106S/m106S/m，如取地的土壤电导率为如取地的土壤电导率为2 210-2S/m10-2S/m，当，当钢中电流密度钢中电流密度与交界面法线的交角与交界面法线的交角118989595

13、9时，得时，得2323。由此可见，。由此可见，当电流从电导率高的接地体流入电导率当电流从电导率高的接地体流入电导率低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎完全垂直于接地体表面，这时可以近似完全垂直于接地体表面，这时可以近似认为接地体表面为等位面。认为接地体表面为等位面。(3)(3)边界条件的应用边界条件的应用171.具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件(1)(1)非理想介质非理想介质 在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要考虑其特有的介质性能。考虑其特有

14、的介质性能。 在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在，在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在，因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即nnDD12 几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（们在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。）。E18交界面处才不存在自由面电荷。交界面处才不存在自由面电荷。(2)(2)边界条件的推导边界条件的推导nnnnnnnnttEEEEDDEE11222211122121可见只有在下式成立的情况下可

15、见只有在下式成立的情况下n11122（3-223-22）1122（3-233-23）19图图3-6 3-6 架空输电线的电场架空输电线的电场3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件导电媒质与理想电介质交界面的边界条件 在通常情况下，导体表面电在通常情况下，导体表面电场强度的法线分量场强度的法线分量EnEn比切线分量比切线分量EtEt大得多，因而在绝缘媒质中，大得多，因而在绝缘媒质中，电场强度线仍然近似垂直于导体电场强度线仍然近似垂直于导体表面。因而，导电媒质与理想电表面。因而，导电媒质与理想电介质交界面的边界条件为：介质交界面的边界条件为：021nn(3-24)(3-24)ttEE21(3-2

16、5)(3-25)nnED22(3-26)(3-26)20图图3-7 3-7 例例3-23-2图图例例3-23-2 同轴电缆其内导体外半径为同轴电缆其内导体外半径为R1R1，填充有两层非理想电介质，填充有两层非理想电介质，介质分界面的半径为介质分界面的半径为R2R2，它们的电容率分别为，它们的电容率分别为11及及22，电导率，电导率分别为分别为11和和22，外导体的内半径为，外导体的内半径为R3R3。设内外导体间加电压。设内外导体间加电压U0U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷面密度。试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷面密度。 解解 设同轴电缆单位长度由内导体流到外设同轴

17、电缆单位长度由内导体流到外导体的漏电流为导体的漏电流为I0I0，由电流的连续性可知，由电流的连续性可知流过单位长度上任一半径为流过单位长度上任一半径为R R（R1R1R RR3R3）的圆柱面上电流均为的圆柱面上电流均为I0I0，又由同轴电缆的，又由同轴电缆的对称性，知同一圆柱面上各点电流密度矢对称性，知同一圆柱面上各点电流密度矢量应为径向，且大小相等。量应为径向，且大小相等。21内外导体间电压为内外导体间电压为RI202（R2RR1）Enn,211012RIE 2022RIE （R1RR2)（R2RR3)2123112202010110lnln22232213221RRRRIdRRIdRRId

18、REdREURRRRRRRRRI201因此因此 （R1RR2）R=R2222311220210lnln2RRRRUI于是，可由已知的电压于是，可由已知的电压U0U0求出求出I0 I0 代入上式得到代入上式得到RRRRRUE231122021lnlnRRRRRUE231122012lnln（R1RR2)（R2RR3)22311221221011122lnlnRRRRRUn23图图3-8 3-8 例例3-33-3图图例例3-33-3 厚度为厚度为h=4=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置和的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置和电位如图所示，若钢的电导率为电位如图所示，若钢的电导率为5 510106

19、 6S/ /m，R1 1=30mm=30mm，R2 26060mm，求电极之间的电阻。，求电极之间的电阻。0111222222222ddrdzdddrrrrr解解 用拉普拉斯方程来求解。选用拉普拉斯方程来求解。选用圆柱坐标系，用圆柱坐标系， 仅与坐标仅与坐标 有关，有关，而与而与r、z坐标无关，拉普拉斯方坐标无关，拉普拉斯方程简化为程简化为 24边界条件边界条件0200，U02012UCUC21CC直接积分得直接积分得002UUerUergradE0211200ln2221RRhUhdrrUSdISRR通过薄钢片截面的电流通过薄钢片截面的电流erUE02电流密度为电流密度为25120ln2RR

20、hIUR433361013. 110301060ln1041052R因此电极之间的电阻因此电极之间的电阻最后，代入已知数据最后，代入已知数据26dEdl dEU0dUE dUEDdxl dEdxdUsSDSSdDdSqdUSq图图3-9 3-9 平板电容器平板电容器电介质中的电场电介质中的电场3-6 3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟中静电场的比拟1.静电场与恒定电场的相似关系静电场与恒定电场的相似关系 实例：一面积为实例：一面积为S的平板电容器，如果两板间电压为的平板电容器，如果两板间电压为U，就，就能够求得其中的电场强度能够求得其中的电场强度 ，

21、电位函数，电位函数 ，电位移矢量，电位移矢量 以及以及极板电荷极板电荷q的表达式。的表达式。ED27图图3-10 3-10 平行电极间导平行电极间导电媒质中的电场电媒质中的电场dEdl dEU0dUE dUEdxl dEdxdUsSSdIdUSI 若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介质，换以电导率质，换以电导率很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与板面垂直，在两极板间仍然施以电场板面垂直，在两极板间仍然施以电场U，则可求得极板间恒定，则可求得极板间恒定电场的场量电场的场量 、 、 与与I。E2

22、8表3-1 静电场与恒定电场的主要对应关系无自由电荷分布区域的静电场无自由电荷分布区域的静电场无局外场区域恒定电场无局外场区域恒定电场积分积分形式形式sBABAlSdDql dEl dE0SBABAlSdIl dEl dE00002EDDdivgradEErot微分微分形式形式0002EdivgradEErot边界边界条件条件nnttDDEE2121nnttEE212129静电场的主要静电场的主要物理量物理量恒定电场的主恒定电场的主要物理量要物理量EEDIq表3-2 静电场与恒定电场主要物理量的对应关系因而在均匀媒质情况下，当两种场的边界条件（边界形状因而在均匀媒质情况下，当两种场的边界条件（

23、边界形状及边界赋值）完全相同时，它们的及边界赋值）完全相同时，它们的 场与场与 场是完全相同的，场是完全相同的，而而 场与场与 场则是彼此相似的。场则是彼此相似的。ED30图图3-11 3-11 静电场图（静电场图（a a）与）与恒定电场（恒定电场（b b）类比示意）类比示意2.静电场与恒定电场的类比静电场与恒定电场的类比332211（3-483-48） 在非同一媒质情况下，若在非同一媒质情况下，若静电场中的电介质与恒定电场静电场中的电介质与恒定电场中导电媒质是分区均匀的，且中导电媒质是分区均匀的，且有同一相应的分布区域，此时有同一相应的分布区域，此时若两场中的导体边界条件亦相若两场中的导体边

24、界条件亦相同，欲使两场的场强相等，由同，欲使两场的场强相等，由场的连接条件得场的连接条件得 若上述条件中，若静电场与恒定电场的场强及电位的分布虽若上述条件中，若静电场与恒定电场的场强及电位的分布虽然彼此不完全相同，但仍然是相似的。运用它们彼此间的相似关然彼此不完全相同，但仍然是相似的。运用它们彼此间的相似关系，将一种场的求解方法过渡到另一种场中来，这种方法称之为系，将一种场的求解方法过渡到另一种场中来，这种方法称之为场的场的比拟法比拟法。31图图3-12 3-12 两平行输电两平行输电线间的漏电导线间的漏电导LsLSl dESdEl dESdDUqC0(3-50)(3-50)LsLSl dESdEl dESdUIG(3-4