数学思想的渗透的范例教学微积分基本公式

1、微积分基本公式教学章节： 定积分§ 5.2 微积分基本公式教学目标： 掌握微积分基本公式 .教学要求：（1）学会用变限积分的方法构造所需函数；（3）能运用变限积分性质解决问题；（3）深刻体会牛顿 - 莱布尼兹公式。教学重点：变限积分，牛顿 - 莱布尼兹公式 .教学过程：引言定积分bf ( x) d x 的计算，当目前为止我们只能由定义计算极限ann在知 f (x) 可积情况下按某一方式划分和选取后计算f ( i ) xi ，再求极限。通常f ( i ) xi 很难i1i 1计算，即使在等分区间和选取边界点情况下亦是如此。例在直线运动的速度为 v(t )C a, b 运动的路程为 s(

2、t ) ，注意到 s (t)v(t ) 亦即 s(t ) 是 v(t) 的一个ba, b 时间段的位移，故原函数 。由定积分的定义可知v(t) dt 表示直线运动在a亦即 “该定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量”。这具有普遍性，从而许多定积分的计算就可以转化为不定积分的计算，而避免了计算恼人的注：这体现了数学的研究方法：观察- 猜想- 证明 - 应用。一变限积分（一）变（上）限定积分一般地，若函数f ( x) 在 a,b 上可积 , 则可定义a,b 上的一个函数称它为变上限的定积分 ，或变上限函数 。可积函数用定积分的方法 -变（上）限的定积分法 可以构造函数 ：且x 11为底边

3、的曲边梯形的“面积”。显然例 F ( x)dt ，则 F ( x) 是以 y为曲边，以 1, x1tt（ 1） F (x) 在 1,有定义，且（2）当 0x 1 时 F ( x)0; 当 x 1 时 F (x)0; 当 x1 时 F ( x) 0 。（ 3） F (x) 在 1,严格增，故有反函数。 yy1t事实上用 变下限 的定积分法也可定义a, b 上的一个函数更一般的若x ,x 在 c , d 连续，且值域在a,b 内，则用变上下限 的定积分法也可定义 c , d 函数注：函数是微积分的研究对象，如何已知函数构造新函数是一个重要的问题，之前我们有初等方法四则运算及符合的方法、 极限的方法

4、求导， 今又有用积分变限的方法事实上也是极限的方法来构造函数。 这是一个极为重要数学思想方法， 而且按此方法函数获得了几何意义， 体现分析与几何相互渗透。（二）变限函数性质我们研究函数 F (x)xf (t ) dt 性质a定理 1若函数 f ( x) 在 a, b 上连续 , 则变上限函数 F ( x)xf (t ) dt 在 a, b 可导，且它的导函a数证明取 x 使得 xx a , b ，则有limf () xlimf () f ( x) ， 其中介于 x 与 xx 与之间。x 0xx 0由于 F (x)xf (t ) dt 可导，自然 F (x) 在 a, b 上也连续。定理表明连续

5、函数的原函数是存在的，axF ( x)f (t)dt 就是其一个原函数。ax 1dt 由定理 1 可知 F ( x) 是1一个原函数，由不定积分可知 F (x) 形如 ln x c ，又例函数 F ( x)x1 t由 F(1)0可知 F (x)ln x ；又 F (x) ln x 有反函数 y ex ，故 e2 有几何意义：当如图曲边梯形面积为 2时， x 的取值。注：利用变限积分思想构造函数成功给出连续函数原函数的存在性，而且把定积分bnlim f ( xx)f ( x) 这两个完全不同的极限联系起来， 体f ( x)d x limf ( i ) xi 与导数 f ( x)a0i 1x 0x

6、现数学对希望在不同事物之间建立联系的思想。例如又体现在积分中值定理亦是微分中值定理其中 F (x)xf (t ) dt ，且有 F ( x) f ( x) 。ax例 1 设 fx 在 0,内连续，且 fx0 ，证明 F ( x)0t f (t)dt在 0,xf (t)dt0内为单调递增函数。x f ( x)xf (t )dtxf ( x)xx tf (t)dt0f (x)t f (t )dt证明F ( x)00x2x20f (t)dt0f (t )dtf ( x)(x) f () x0 ，其中 (0x) ， 故 F ( x) 在 0,内为单调递增函数。x2f (t )dt0例 2设 f (x)

7、, g( x) 在 a, b上连续，且 g(x)0 ，试证至少存在一点(a ,b) 使baf ( x)d xf ()bg()g( x)d xa证明法一令F (x)xbf ( x)d xxbg( x)d x ，g(x)d xaaf ( x)dxaa因 f ( x), g( x) 在 a, b 上连续，则 F (x) 在 a,b 可导，且 F (a)0F (b) ，故由罗尔定理知少存在一点( a, b) 使 F ()0, 即g()bf ( x)dxf ()b0（ * ）ag (x)dxabg()ba 0 ，其中(a, b) ，故由（ * ）可得又 g( x)d xa()x)d,xx(Gx)g t)

8、dt则显然有F (x)、在 a,b可导，又G ( x) g( x) 0,法二 令Ff tta(,G(x)a故由 Cauchy 定理知至少存在一点(a , b) 使即二牛顿 - 莱布尼兹公式定理 2 （牛顿 - 莱布尼兹公式） 设 f (x) 在 a, b 上连续， F ( x) 是 f (x) 在 a, b 上的任一个原函数，则证明 由定理 1知x在 a, b 上的一个原函数，故f (t )d t 也是 f ( x)a从而有baf (t )dtcF (b)f (t )dt c ， F (a)aa故注：在未有牛顿 - 莱布尼兹公式之前要计算像1x2 d x 现在看来极为简单问题也耗费阿基米德这0

9、样天才的不少心血。 而有牛顿 - 莱布尼兹公式后计算一大类定积分bx dx ，转化为求 fx 的原函数，fa亦即求fx dx ，而计算fx dx 有一系列计算方法，体现数学对算法的追求，体现了人类智慧的荣耀，从而定积分n中恼人的和式 limf ( i)xi及极限运算。例0 i 11nsinii1esin x cosx d xlime n cos困难，现在0n0i 1nn在牛顿 - 莱布尼兹公式之前， 微分和积分是各自独立发展的，牛顿 - 莱布尼兹公式向我们展示微分学中微分的逆运算不定积分和积分学中的积分有如此紧密 ( 这也是为什么我们把微分学中微分的逆运算称为不定积分的原因 ) ，微分和积分不

10、再各自发展而是统一在一起成为数学分析，体现了数学对事物内在联系和统一的追求。例3计算（1）3dx2 ,1 1xe21dx，（3）x ln xdxe3arctan x3arctan解（1）1 x211（2） 2 cos5 xsin xdxcos6 x |0206e21dxe2（3）ln ln x |ln 2ex ln xe（2） 2cos5 xsin xdx ，0（4）11dx 。x x03 arctan(1)(7)341216（ 4）x x 1dx25x 1 210523|102 8 4x 1 2315利用牛顿 - 莱布尼兹公式公式我们可以获得变限函数的求导公式：设 f ( x) 在 a, b

11、 上连续，x , x 在 c , d 可导，且值域在a, b 内，则( x)f (t)d t 可导，( x)且特别地dbf (x) ，dxf (t) dtxd( x)f ( x) ( x) ，d xf (t )d ta事实上设 F ( x) 是 f ( x) 一个原函数，则故1 e t 2 dt例 4 求 limcos xx2x 0解 令 F ( x)1e t 2dt , 则 F (x) 是连续函数，故cos x1e t2dt0 型，故由洛必达法则可得即 limcosx2是x0x0例 5确定常数a, b, c 的值 ,使xt 2 )d txln(11 0 0解limln(1t 2 )d tlimb