数学分析华东师大反常积分

1、第 十 一章反常积分§1反常积分概念一 问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性 .但在很多实际问题中往往需要突破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分” , 这便是本章的主题 .例 1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭(图 11-1 ), 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度 v0 至少要多大 ?设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律 , 在距地心 x( R) 处火箭所受的引力为F =mg R2x2.r ( > R) 处需作的功为于是火箭从地面上

2、升到距离地心为r221 mg Rd x = mg R-1.R2Rrx当 r + 时 , 其极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为+ 的“ 积分”:图 11-1+ 2r2mg R d x =limmgRd x =mg R .2Rr + R2x最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度vx至少应使0122 mv0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m6s/2 ) , R = 6 .371× 106 ( m) 代入 , 便得例 2v0 =2 g R 11 .2( km6s/) .圆柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为R

3、, 桶底有 一半径为r 的小孔(图11 - 2) . 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水, 共需多少时间?§ 1 反常积分概念265从物理学知道, 在不计摩擦力的情形下 , 当桶内水位高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速图11- 2( 单位 时间内 流过单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h-x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t内,桶中液面降低的微小量为d x , 它们之间应满足R22d t ,d x = vr由此则有R2d x , x 0 , h . r 2d t =2 g( h -x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积

4、分” :h2Rtf=0 rd x .22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 0 , h) 上的无界函数, 所以它的确切含义应该是u2tf=lim 2Rd xu h -0 r2 g( h - x)22=limRh -h - ugu h -· r22 hR2=.gr相对于以前所讲的定积分(不妨称之为正常积分 )而言,例 1和例 2分别提出了两类 反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f定义在无穷区间 a,+ ) 上 , 且在任 何有 限区间 a , u上可积 .如果存在极限limu f (x) d x =J,( 1)u + a则称此极限 J 为函数 f 在 a,

5、+ )上的无穷限反常积分 ( 简称 无穷积分 ) , 记作+ J =af ( x) d x ,( 1)+ + af ( x) d x 收敛 . 如果 极限 ( 1)a并称不存在, 为方便起见, 亦称f ( x) d x发散 .类似地 , 可定义f 在 ( - , b 上的无穷积分:266第十一章反常积分bb f ( x )d x=lim f (x) d x .( 2)- u - u对于 f 在 (- , + ) 上的无穷积分, 它用前面两种无穷积分来定义:+ a+ f ( x) d x +af ( x) d x ,( 3)- f ( x ) d x =- 其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边

6、两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注 1无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值, 都和实数a 的选取无关 .注 2由于无穷积分 ( 3)是由 (1 ) 、(2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在任何有限区间 v , u ì(-,+) 上,首先必须是可积的 .+ 注 3 af ( x ) d x 收敛的几何意义是 : 若 f 在 a , + ) 上为非负连续函数,则图 11- 3 中介于曲线y = f ( x), 直线 x = a以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J .例 3讨论无穷积分+ d x的收敛性 .p解 由于1upxx d=111x-p( ul

7、n u ,( 4)1 - p - 1 ) ,p 1 ,p = 1 ,1ulim d px =p - 1,p > 1u + 1x+p 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为1; 而当 p1 时发散于 + .p -1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大, 曲线 y =1 当 x > 1 时越靠近x 轴 , 从px而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大 .例 4讨论下列无穷积分的收敛性:+ d x+ d x1)p ;2)2 .x( ln x)2- 1 + x解 1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限图 11-

8、4来定义的,因此有关定积分的换元积分法和§ 1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说 , 就有+ d x+ d t=x ( ln x )pp .2ln 2t从例 3 知道 , 该无穷积分当p > 1 时收敛 , 当 p 1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分:+ d xadx和 a2 .- 21 + x由于1 + xad xlim2=lim( arctan a-arctan u )u - u1 + xu - v=arctan a + ,lim d x=lim22( arctan v-arctan a)v + a1 +xv + =-

9、arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛2.由定义 1 ,+ d xad xd x1 + x2 = .- 1 + x 2 =- 1 + x2 +a注 由于上述结果与a 无关 , 因此若取a = 0 , 则可使计算过程更简洁些.定义 2 设函数f 定义在区间 ( a , b 上 , 在点 a 的任一右 邻域内无 界 , 但在任何内闭区间 u , b ì( a , b 上有界且可积.如果存在极限limb f ( x ) d x = J ,( 5)u a+u则称此极限为 无界函数f 在 ( a , b 上的反常积分 , 记作bJ =a f ( x) d x ,( 5)ba不存在, 这时

10、也说反常积分并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5)baf ( x ) d x 发散 .在定义 2 中 , 被积函数f 在点 a 近旁是无界的, 这时点a 称为f 的瑕点 , 而无b界函数反常积分a f ( x ) d x 又称为 瑕积分 . 类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :bu f ( x) d x =lim-f ( x )d x .au ba其中f 在 a , b) 有定义 , 在点b 的任一左邻域内无界 , 但在任何 a , u ì a , b)268第十一章反常积分上可积.若 f 的瑕点c ( a , b) , 则定义瑕积分

11、bcbaacf ( x )d xf ( x) d x =f ( x) d x +ub=-af ( x) d x +vf ( x) d x .( 6)limlimu cv c其中 f 在 a , c) ( c, b上有定义, 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但在任何 a , uì a , c) 和 v , b ì( c, b上都可积.当且仅当 (6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的.又若 a、b 两点都是f 的瑕点 , 而 f 在任何 u , v ì( a, b) 上可积 , 这时定义瑕积分bcba f ( x ) d x =a f

12、 ( x )d x +c f ( x) d xcv=lim+uf ( x) d x +lim-cf ( x) d x ,( 7)u av b其中 c 为 ( a , b) 内任一实数.同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .1d x例 5计算瑕积分2的值 .01 -x解被积函数 f (x)=1在 0 , 1 ) 上连续 , 从而在 任何 0 , u ì 0 , 1)1 -x2上可积 , x = 1 为其瑕点.依定义 2求得1d xud x=lim-2201 -xu 101 -x例 6 讨论瑕积分=limarcsin u = .1u 1

13、 -2的收敛性 . d x( 8)0q ( q > 0 )x解被积函数在 (0 , 1 上连续 ,x = 0 为其瑕点.由于1 d qx=11 - q ) ,q 1 ,u x1 - q( 1 - uq= 1( 0 < u < 1) ,- lnu ,故当 0<q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且1d qx=lim1d qx=1;0 xu 0 +u x1 - q§ 1 反常积分概念269而当q1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + .上述结论在图11 - 4 中同样能获得直观的反映.如果把例3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分+ d x我

14、们定义p ( p > 0 ) .+ 0x 1d x+ d x0 xp =0xp +1( 9)d x xp ,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例 3与例6 的结果可知,这两 个 反 常 积 分 不 能 同时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何实 数p 都 是 发散的.习题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛+ 2( 1)- xd x ;0xe(3)+1d x ;0 ex+ d x( 5);2- 4 x + 4 x + 5+ x( 7)- e sin xd x ;2 . 讨论下列瑕积分是否收敛bd x( 1);( x -a)pa2d x( 3 );|x-1

15、 |0(5)1ln x d x ;01d x;( 7)20x-xb? 若收敛 , 则求其值 :+ 2(2)- xe- x d x ;+ d x(4)2x;1( 1 + x)+ (6)e- x sin xd x;0+ (8)d x2.01 + x?若收敛 , 则求其值 :1d x(2);201 - x1x(4)d x;01 -x21xd x;(6)01 -x1d x(8)0p .x( ln x)b3aaf2( x) d x 不一定收敛 . 举例说明 : 瑕积分f ( x ) d x 收敛时 ,4. 举例说明 :+ f ( x)d x 收敛且f 在 a , + ) 上连续时 , 不一定有 lim

16、f ( x) = 0 .ax + + 5 .证明: 若f ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim f ( x) =A,则A=0.ax + 270第十一章反常积分+ + f ( x )d x 都收敛 , 则 lim6 .证明:若f在 a, +)上可导且, f ( x) d x 与x + f ( x) = 0 .aa§ 2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ 由定 义 知 道 , 无 穷 积 分 f ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函数 F( u ) =auaf ( x ) d x 在 u + 时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛

17、的柯西准则.+ 定理 11.1无穷积分af ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 > 0 , 存在 G a, 只要 u1 、u2> G,便有uuu 2 f ( x ) d x - 1f ( x )d x= u2f ( x )d x < .aa1此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质, 导出无穷积分的一些相应性质 .性质 1+ + ( x) d x 都收敛 , k、k 为 任意 常数 , 则若af1 ( x) d x 与a f212+ a k1 f1 ( x) +k 2 f2 ( x) d x 也收敛 , 且+ kf ( x ) + kf+ f+ f2 (

18、x) d x . ( 1)a12( x ) d x = ka( x ) d x + ka12112+ 性 质 2若 f 在 任 何有限 区间 a , u 上可 积 , a < b, 则 f ( x ) d x 与a+ bf ( x) d x 同敛态 ( 即同时收敛或同时发散),且有+ b+ af ( x) d x =a f ( x )d x +bf ( x )d x ,( 2)其中右边第一项是定积分 .+ 性质 2 相当于定积分的积分区间可加性, 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件: 任给 > 0 , 存在G a , 当 u >G 时 , 总有+ uf

19、( x ) d x< .事实上 , 这可由§ 2 无穷积分的性质与收敛判别271u+ + f ( x )d x = f ( x ) d x + f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+ 性质 3若 f 在任何有限区间 a , u 上可积 , 且有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ af ( x) d x 亦必收敛 , 并有+ + aa( 3) f ( x) d x f ( x ) d x .+ 证由a>f ( x)d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 > 0 , 存在 G a , 当 u > u1G 时,总有

20、2uu2f ( x ) d x=2f ( x ) d x <.uu11利用定积分的绝对值不等式, 又有uuu2f ( x ) d x u2f ( x ) d x < .11+ 再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .uu又因af ( x) d xaf ( x )d x ( u> a) , 令 u + 取极限 , 立刻得到不等式 (3).+ + 当af ( x ) d x 收敛时 , 称af ( x )d x 为绝对收敛.性质 3 指出 : 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛.但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今后将举 例说 明 收敛的

21、无穷积分不一定绝对收敛.我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 .二比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.u+ 由于a|uf (x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此a| f ( x ) | d x 收敛的充要条件是 a|f ( x)| d x 存在上界.根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11.2 ( 比较法则 )设定义在 a , + ) 上的 两个 函数 f 和 g 都在任 何272第十一章反常积分有限区间 a , u 上可积 , 且满足f ( x) g ( x ) , x a, + ) ,+ + + 则当ag( x)

22、d x 收敛时a| f ( x) |d x 必收敛 ( 或者 , 当a|f ( x) | d x 发散+ 时,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ sin xd x 的收敛性 .例 1讨论01 + x2d x解由于sinx1+ 1 + x2 1 + x 2 , x 0 , + ) , 以及0为收敛1 + x 2 = 2+ sinxd x 为绝对收敛 .2(§1 例 4) , 根据比较法则 ,01 +x上述比较法则的极限形式如下:= c,> 0 , 且 lim |推论 1 若 f 和 g 都在任何 a , u上可积 , g( x )f ( x) |x + g( x )则有

23、:+ + ( i) 当 0 <|f ( x ) | d x 与+ g( x ) d x 同敛态 ;c < + 时 ,aa+ ( ii)当 c = 0 时 , 由ag(x) d x 收敛可推知af ( x)d x 也收敛 ;+ + aaf ( x ) d x 也发散 .(ii) 当 c = +时,由g( x ) d x 发散可推知当选用 +d x 作为比较对象 + g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其极限 形式 成xp1a为如下两个推论( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f定义于 a ,+ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 a , u 上可积

24、 ,则有 : 1 , x a , + ) , 且 p > 1 时( i) 当 f ( x)+ f ( x) d x收敛 ;ap( ii)当 f ( x) x1 , x a , + ) , 且 p 1 时 + f ( x)d x 发散 .xpa推论 3 则有 :( i) 当设 f 定义于 a , + ) , 在任何有限区间 a , u 上可积 , 且pf ( x ) = .lim xx + + af ( x ) d x 收敛 ;p > 1 , 0 < + 时 ,+ 当af ( x) d x 发散 .( ii)p1,0 <+ 时,§ 2 无穷积分的性质与收敛判别2

25、73例 2讨论下列无穷限积分的收敛性:+ - x+ 20x1x e d x;2 )d x .51)x+ 1解 本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1) 由于对任何实数 都有lim+ 2x + x2 · xe - x =limx x= 0 ,x + e因此根据上述推论3( p = 2 , = 0) , 推知 1 ) 对任何实数 都是收敛的 .2) 由于12lim2·x=1 ,x + x5x+ 1因此根据上述推论 3( p =1 , = 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于- f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行.三狄利克雷判别法与阿贝

26、尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.u定理 11.3 ( 狄利克雷判别法)若 F( u )=af (x ) d x 在 a , + ) 上有界 ,+ g( x) 在 a , + ) 上当 x + 时单调趋于0 , 则af ( x ) g( x ) d x 收敛 .limux + 由 条 件 设a f ( x) d x M , u a , + ) . 任 给 > 0 , 由于证g ( x ) =0 , 因此存在G a , 当 x>G时,有g( x )< .4 M又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值定理 (定理 9.10的推论 ) , 对于任何u2 >

27、 u1 > G , 存在 u 1 , u2 , 使得uu 2f ( x) g( x) d x = g ( u1)f ( x ) d x + g( u2 )2f ( x) d x .uu11于是有uuu 2f ( x ) g( x ) d x g( u 1 ) ·u f ( x ) d x +g( u 2 ) ·2 f ( x ) d x11u=g( u 1 ) · f ( x) d x -1 f ( x ) d xaa274第十一章 u反常积分+g( u 2 ) ·2f ( x ) d x -f ( x ) d xaa<4M ·2M

28、+4 M · 2 M = .+ 根据柯西准则, 证得 f ( x ) g( x ) d x 收敛 .a+ 定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel)判别法 )a收敛 , g( x ) 在 a , + )若f ( x) d x+ 上单调有界 , 则af ( x ) g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明 ( 留作习题 ) .x d x 与 + cos x例 3讨论+ sinp1xpd x ( p >0) 的收敛性 .1x解 这里只讨论前一个无穷积分, 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ sin x( i)当 p>1 时1d x 绝对收敛 .这是因为px而+ d xsin x1pp , x 1 , + ) ,xx+ sinxxp 当 p