数学模型spss解决食堂排队问题

1、成绩评定表学生姓名班级学号专业课程设计题目评组长签字：语成绩日期20年月日课程设计任务书学院专 业学生姓名班级学号课程设计题目实践教学要求与任务 :通过数学模型用数学解决一个实际问题并撰写成一篇研究论文。1. 命题：1）自选：课题来自日常生活、社会实践或其它学科。要求：选题新颖、实用2 ）老师指定几个参考题目，任选其一。仿做或自己创作：读懂他人的建模论文，模仿完成。若仿作，在论文第一页下方注明模仿的论文，例如本文仿做自刘来福的论文“数量性状的遗传距离及其测定”，遗传学报，Vol 6 ，No3， 1979要求：不许抄袭，在问题的提法或方法上有一定的改进或创新。2. 建模：要求思路清晰、处理恰当、

2、构思新颖。3. 分析：数学应用合理恰当，应用知识综合，内容丰富。4. 结论：要有一定的广度、深度、实用程度。5. 表达：文字通顺、语言流畅、论述简洁、推理严谨。工作计划与进度安排 :第一天 查阅资相关料；第二、三天模型建立；第四天 论文编写；第五天答辩指导教师：专业负责人：学院教学副院长：201年月日201年月日201年月日食堂排队问题摘要近年来，随着大学不断扩招， 大学在校学生人数不断增加，学生食堂用餐排队拥挤现象也日益严重。首先，从网上找到某一高校中午去食堂用餐人数的时刻表，利用 SPSS中的中心移动平均法，观察到学生进入食堂的人数近视服从正态分布。在此基础上研究了在权衡学校食堂和学生的利

3、益这两方面时，利用边际分析法得到了合理的窗口数为9 个。计算由窗口数变化而产生的平均等待时间，利用 SPSS中的曲线估计，得到窗口数与平均等待时间满足S 型曲线估计，对其做灵敏度分析发现灵敏度很高， 并且窗口数由 8 个增加到 9 个时平均等待时间变化很大，而继续增加时， 变化趋于平缓。所以认为食堂设置9 个窗口是合理的。在进一步的探讨中，由于每个窗口饭菜好吃与否不同，学生对其具有选择性，在假设上面9个窗口吸引学生的比例后， 求其平均等待时间为40.35 秒，是没有考虑这个因素的8 倍左右，所以这是造成学生平均等待时间增加并且浪费窗口资源的一个重要因素。关键词： 食堂排队，中心移动平均，曲线估

4、计，平均等待时间目录1.引言：.02.模型：.02.1问题的简化及分析 . .02.2模型假设 . .02.3符号说明 . .12.4模型建立 . .13.分析：.54.结论：.65.进一步的探讨： .66.模型的评价 .86.1模型的优点 . .86.2模型的缺点 . .87.结束语： .8参考文献.91. 引言：在学校或者大型企业里， 经常可以看到在午餐时间大量的人涌入食堂。 由于午餐时间相对固定， 导致在这个时间段内食堂的人数激增。 原本没有多少人的食堂顿时充满了人， 大家都在排队买饭。 买到的人就开开心心的去吃了， 买不到的还在那里排队等着买饭， 不时的传来几句怨言。 这是一个普遍的问

5、题， 有很多人对其进行研究， 希望找到更好的办法来解决这个问题。 食堂排队问题的解决可以减少人们的排队时间，所以对此研究具有一定的意义。在一些初中和高中， 有过一些解决这个问题的一些方法， 比如像分年级、 班级去吃饭，错开人们的吃饭时间， 从而解决这个问题。 但由于大学里， 学院很多，而且每个学生还有自己的选修课， 上课地点又不是固定的， 所以实行错开学生吃饭的方法在这里就不在适用了。 对此我们提出解决食堂排队问题的其它方法， 对其进行研究。2. 模型：2.1 问题的简化及分析食堂排队问题实际上就是排队论问题， 对学生而言食堂增加卖饭的窗口， 学生的等待时间就会减少， 而食堂的成本就会相应的增

6、加。 而减少食堂窗口的数量，食堂的利益会增加， 但学生的等待时间就会相应的增加。 所以我们要权衡这两个方面，对其进行研究。利用边际分析法，求得其合理的窗口数。后又考虑到学生对每个窗口的饭菜喜爱程度不同这个因素， 对前面得到的窗口数进行研究， 求得其平均等待时间， 和之前的平均等待时间进行比较， 得到增加这个因素对平均等待时间的影响。2.2 模型假设1. 由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生又大都集中在 11：30至13：30这一时间段赶去食堂吃饭， 故可认为在该时间段中学生源是无限的， 且学生单独到来且相互独立。2. 学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都是一样的。3. 食堂实行先

7、来先服务原则， 且学生可自由在队列间进行转移， 并总向较短的队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去， 故可认为排队方式是单一队列等待制。4. 由于每个窗口服务员的工作效率是随机的， 很难对其进行精确的分析。 所以由一般统计规律， 认为其满足指数分布， 平均每个学生的服务时间是 15秒，且服务员之间无差异。2.3 符号说明s卖饭窗口数p窗口服务强度每十分钟进入食堂的人数每个窗口每十分钟服务的人数M t1一次移动平均数M t2二次移动平均数Lq平均等待队长Wq平均等待时间c1每个窗口的单位时间成本c2每个学生在食堂中逗留损失费用s到达每个窗口的人数比例2.4 模型建立对学生在食堂进餐的情形进行研

8、究，根据食堂进餐排队的特点， 选择排队模型，进行研究。学生进餐可以分解成三个部分，第一部分：学生进入食堂；第二部分：学生在窗口买饭；第三部分：吃饭或打包离开。具体流程图如图一所示：进餐学生排队离开图一：学生进餐流程图打包从网上得到查找得到某一高校的食堂进餐人数随时间变化如表一所示：表一：某一高校的食堂进餐人数随时间变化表时间10：4010：5011： 0011：1011：2011： 30人数1321355281103时间11：4011：5012： 0012：1012：2012： 30人数177245296279235137时间12：4012：5013： 0013：1013：2013： 30人数

9、85616346199对上面的数据进行处理，利用EXCEL画出食堂进餐的人数随时间的变化图，如图二所示：图二：食堂进餐人数随时间变化图观察上图可以发现食堂进餐人数在10：40 至 13：30 这个时间段内有呈现正态分布的特点。为了使这个特点更加明显，我们对人数做移动中心平均处理。设一次移动平均数为M t1 ，则二次移动平均数M t2 的计算公式为：M t2M t1M t1M t1N 1M t2 1M t1M t1N（1）NN对表一中进餐人数分别做一次移动平均和二次移动平均，结果如图三所示：图三：进餐人数一、二次移动平均图在利用 EXCEL对第二次移动平均数作图，得到食堂人数随时间变化的趋势图。

10、如图四所示：图四：食堂人数随时间变化趋势图观察上图，发现食堂人数随时间的变化服从正态分布，其函数为：ta 212（2）F (t)e 22利用边际分析法建立模型，求窗口数。窗口服务强度：p（3）s由于不希望等待的学生人数越来越多，所以p 小于等于1。经研究认为15秒的平均服务时间对于服务员来说已经是极限了，如果再加快速度反而可能手忙脚乱，增大出错的可能性， 到时反而会降低效率， 故认为平均服务时间不可改变，是个常数，所以为 40。表示的是每十分钟进入食堂的学生数，它的取值与上面的食堂进餐人数随时间变化的关系有关。所以的值可以表示为：ta 212F (t )e 2（ 4）2所以得到 p 等于：1F

11、 (t )e2p40 sst a 22 2（ 5）由状态流图可列出K 氏代数方程并求出相应的平稳分布：spkk!p0 0 k sk ss p ks!p0ks（ 6）由正则性条件k1 ，当 p <1 时，有k0s 1sp kss p kp0s 1 sp ksp s1p0（7）1k!k ss!k!s!1pk 0k 0于是空闲概率：s 1sp ksp s11（8）0k!s! 1pk 0于是平均等待队长：Lqp(sp) sjpj1p( sp) s（9）j s js!0s!(1p) 20j 0j 1平均等待时间：WqLq（ 10）为了权衡学生与食堂的利益这两者的关系，建立如下目标：min f c1

12、 s c2 Lq（ 11）其中 c1 为每个窗口的单位时间成本，c2 为每个学生在食堂中逗留损失费用。约束方程为：s.tp1（ 12）c1, c2 , s, Lq 0根据边际分析法，最佳的满足条件：f ( s* )f (s*1)（ 13）f ( s* )f (s*1)将上面的约束方程代入到最佳满足条件里得：c1s*c2Lq (s* ) c1(s*1) c2Lq ( s*1)c1s*c2Lq (s* ) c1( s*1) c2Lq ( s*（ 14）1)于是有，c1c2 Lq ( s*1) L q (s* )（ 15）c1c2 Lq ( s* )Lq (s*1)整理得，Lq ( s* ) Lq

13、(s*1)c1Lq ( s*1)L q (s* )（ 16）c2取 c11.8 , t9 时，此时296 ，采用边际分析法， 求得 s* ，如表二所示：c2表二：人数最多时边际分析法求窗口数812.108792.54571.6260,9.5630100.91970.5430,1.6260110.3767取 c11.8 , t 18 时，此时9，采用边际分析法，求得 s* ，如表三所示：c2表三：人数最少时边际分析法求窗口数10.007120.00150.0010,0.005630.00050.0004,0.001040.0001由于进入食堂的学生数服从正态分布， 所以所需的窗口数也应近似的服从

14、正态分布。窗口在学生数最多时为 9，在学生数最少时为 1 个。c1根据边际分析法可以求出每个时间点在1.8 时，需要的窗口数目，利用c2EXCEL作出窗口数随时间的变化图，如图五所示：图五：窗口数随时间变化图由于一定，所以影响平均排队时间的只有窗口数s ，利用 SPSS对平均排队时间及窗口数进行多种模型曲线估计，得到下图：图六：窗口数与平均等待时间的多模型曲线估计观察上图发现窗口数与平均等待时间的曲线估计最接近S 模型，对其做 S模型曲线估计得到下图：图七：窗口数与平均等待时间的S 模型曲线估计观察上图发现当窗口数从8 个增加到 9 个时，平均等待时间迅速下降， 后增加窗口数，平均等待时间趋于

15、平缓。得到模型汇总和参数估计值表，见表四：表四：得到模型汇总和参数估计值表模型汇总和参数估计值因变量 : 平均等待时间模型汇总参数估计值方程R 方Fdf1df2Sig.常数b1S.998960.63712.001-9.526101.265自变量为窗口数。从上表中可以看出Sig 值为 0.001 ，说明 S 模型曲线估计效果很好，参数估计值中常数值为 -9.526 ， b1 值为 101.265 。所以模型曲线方程为下面再分析在学生数最多时平均排队时间对窗口数的灵敏度：Wq /s（ 17）QWq / s由于窗口数为整数，所以求得如下数据，见表五：表五：平均排队时间对窗口数的灵敏度分析891011

16、24.215.081.830.74灵敏度33.8217.6515.97从上表可以看出，平均排队时间对窗口数十分敏感，灵敏度均达到了15 以上，其中在窗口数从8 变到 9 时，平均排队时间由24.21 秒变为了 5.08 秒。3. 分析：通过上面的灵敏度分析得到，当食堂的窗口数超过9个时，即使增加再多的窗口数，其平均排队时间变化的绝对值也只在5秒左右，而这么小的时间间隔对学生造成的影响是很小的。 但是每增加一个窗口就会花费很大的成本，他们自然也不可能增加。但小于 9个窗口时，从表四中可以看出，平均排队时间会大大增加，这将会引起学生的极大不满，当然也是不合理的。至此可看出，最佳的窗口设置是 9个。

17、对于学生来说，当然是窗口数越多越好。而对于食堂来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加， 另一方面会缩短排队时间， 即意味着它能为更多学生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。4. 结论：本文在把握学生进餐人数随时间变化规律的情况下， 以动态变化的人流量来研究窗口数的随时间的变化情况， 改进了原来研究固定人流量的模型， 使得研究的结果更加接近实际。在权衡减少学生平均等待时间和增加食堂利益这两方面时，给出合理的食堂窗口数。5. 进一步的探讨：由于食堂每个窗口的饭菜口味都不相同，学生去每个窗口买饭的人数也会出现很大的差别。基于这个条件，对其进行研究。设每个窗口到达的人数比例分别

18、为 1 , 2 , , s ，由于每个窗口的工作人员能力相同。所以每个窗口的服务强度为，1sF (t)seps2ss40st a 2 2 2（ 18）此外，通过网络的投票调查得到同学们在就餐排队时，排队人数在多少时会选择离开队伍，重新寻找队伍排队甚至离开食堂，见下表：表六：排队人数影响选择排队表队伍人数5-67-89-1011-1213-1415 及以上票数3930324从上表可以看出排队人数在15 人及以上的人数最多，说明学生可以等待的时间较长，也就是说学生在选择食堂饭菜的时候很有可能都愿意去同一家吃，导致这一家排队人数很多。 而相对的饭菜味道不好的， 学生去的少， 也就导致了窗口资源的浪费

19、。在上面求得在人数最多时的窗口数应该为 9 个，现在假设依据饭菜的可口程度给这 9 个窗口附上去买饭的学生数比例，分别 0.4 ，0.3 ， 0.1 ，0.07 ，0.05 ， 0.03 ，0.02 ，0.02 ，0.01 。由此可得在学生人数最多的时候去 9 个窗口的人数分别 118，88， 30，21，15，9，6，6，3，因为每个窗口每十分钟服务的人数是 40 人，所以可以看出前两个窗口将有大量的学生排队， 而后面的几个窗口都有空闲时间。这就造成了学生平均等待时间的大量增加。由于只有前两个窗口有等待的学生， 所以研究平均等待时间只需要研究前两个窗口即可。根据上面的比列可以得到在每个时间段

20、前两个窗口在学生用餐的人数，见表七所示：表七：前两个窗口的学生人数时间10:4010:5011： 0011:1011:2011:30窗口口 24611162431时间11:4011:5012:0012:1012:2012:30窗口 171981181089455窗口 2537498847141时间12:4012:5013:0013:1013:2013:30窗口口 22618191463由于每个窗口每十分钟可以为40 人服务，所以当人数超过40时就开始排队，从上表可以看出窗口 1 从 11:30 就开始排队，窗口 2 在 11:40开始排队。排

21、队人数会随着时间逐渐积累，具体积累数据如表八所示：表八：两个窗口排队人数积累表时间11:3011:4011:5012:0012:1012:2012:3012:40窗口 113258136204258273266窗口 201347105149180181167时间12:5013:0013:1013:2013:3013:4013:5014:00窗口 1242227205173137975717窗口 2145124986427000根据上表画出这两个窗口的排队人数随时间变化图，如图八所示：图八：两个窗口排队人数随时间变化图所以总等待人数为 3683 人次，每人等待时间为 15 秒，所以等待总时间为55245秒，平均等待时间至少为 40.35 秒。而上面计算得到的平均等待时间为 5.08秒，所以学生对窗口饭菜的喜好对平均等待时间有很大的影响，并且这还会造成学校窗口资源的浪费。所以为了使食堂窗口资源得到合理利用，并且减少学生的平均等待时间，食堂应增加每个窗口的饭菜种类，提高饭菜的口感。 这样不仅可以解决因学生对窗口饭菜喜爱程度不同而导致的平均排队时间增加，而且可以提高学生对食堂的满意度。6. 模型的评价6.1 模型的优点1、在问题的求解中，充分运用了表格和图，使结果明了清晰。2、本文采用了多种专业软件对模型