数列求和中常见放缩方法和技巧含答案

1、数列求和中常见放缩方法和技巧、放缩法常见公式:(1)1 1 12n n 1 n n n1(2) 2 n - n -1,n n 1. n n , n , n 、n1n n 1(3) n ： n n 1 :2(4) 2n .2n 7 (二项式定理)（5）ex x 1， In x ： x1 （常见不等式）常见不等式：1、均值不等式；2、三角不等式；3、糖水不等式；4、柯西不等式；5、绝对值不等式;若欲证不等式含有与自然数 n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.111l已知 n N*,求 1v2*.； n。<2V3Jn证明：因为n 2*n 、n ，n1.2HI什1<n：1

2、2 - 2 -12 3 - - 21(12、n -，羔1:2、. n -仁：2、n，证毕。3 : an2例5.已知n N且an =訂22 3 . n(n1)，求证:n(n 1)所有正整数n都成立。证明：因为 n(n - 1). n2 = n，所以an .1 2川An又.n(n 1)一3，立。所以 a叫J 仝.52 2(n 1)2,综合知结论成6、求证:12 22 32n27<4证明:1 1<=n(n -1)n -1 n1111 122冷 1 J冷（丄-112 22 32n222 2 3此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，具体题型分另U对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到

3、恰倒好处。2丄2小2川 n -1 n放缩拆项时，不一定从第一项开始， 须根据11.2：ln(n 1) ： 1 1-1 21 .丄33n.11. 1112345611 1 789丄丄<2n 2n+13n J6918(3n-J 4<2 33n4 '+ 3n丿5n6In 23In 45+ + Inn v n(n-1) n + 14(n N*, n 1)例6.已知函数f(x) = 2 _12*n证明：对于n三N且n _ 3都有f (n)n +1证明：由题意知：f n注亠12n - 1 n Tn - J2n - 1n 12n - 2n 1厂n 121又因为n N且n _ 3 ,所以只

4、须证2n 2n T , 又因为 2n =(1 +1)n =Cn° +C： +C： +IH=1 n - n n _1|l( n 1 2n 1,2所以f (n) 亠。n +1例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1vb、c为正数，所以bc又a,b,，所以乱c为三角形的边，故+cab+c > a,b > a+ b+ c + a + b+ c抚为真分数，则2，同理2ba b c'2c2b , 2ca b c a b c-2.综合得1V抚1 14、证明： 明:210210 j1 1证明：证明 : 210 210 V2'0 2丄21。讦'2 -110211

5、11 +2" -11 -11 1 1<+2102101 210 - 2+ +-2210-1:尹1 1 1210 1 210 - 2'T10Tio ；22-1:尹2：_12" 2101 12101 210 - 25、求证:111-+1 1 2 12 31: . 1 211 一1:2n!n! 1 2 2. 22n1+12 12 31111+ < + + +n!12222n：26、若n N，求证:、1 2、2 3 n (n 1)(n 1)2证明：n(3 2n 1)"亍3门"2 22n 1n(n 2)n2 2n(n 1)22n n 1 2n

6、1一、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式， 如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即 可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可. 还可利用真分数的分子和分母加上同一 个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩.1、若a, b, c, d是正数.求证:1 :22、求证:2 n32:23、求证:2( n 1 -1) ：11 1 12 J.，. In:2、- n4、证明:+211 -1<1【练习】求证:：1(m 1)2m5、求证:1 1 1一 +1 1 2 12 3n!:、放缩法常见技巧式：（数列求和中常见放

7、缩方法和技巧-放缩后能求和如放缩后是等比或可裂项求和）1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知an =2n -1(nN*).求证:a n*(n N ).an 1证明: ak _ 2k -1，0T7_ 2k 1 -11 12 _2(2k 1 _1)1 1 13.2k 2k -22 3j，k"，2，.，n，a2 a3ann1 111n11n1>一(.+ )-(1-n)> an 123 22223223-a :(n N*).an 12色电2 3 a?83若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加

8、一些项，使不等式一边放大或缩小， 利用不等式的传递性， 达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k -2，从而是使和式得到 化简.例2、函数f （x）4x1 4x，求证:f (1) +f (2) +f (n)>n+-丄(n N*).2丄-丄2 222 2n证明：由f(n)=丄=1-丄.1-丄1+4n1 + 4n2 2ng(11 1_)2 42n4此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一 变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。 如需放大，则只要把分子放大或分母 缩小即

9、可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。n x/k例3、已知an=n ,求证：g葛厂v3.n证明：g7=1ak1(k 1)k(k+ 1)V1 + g_ 2= (k 1)( k+ 1) (k+ 1+：k 1 )心(k1)(k1)=1 +ngk=21.(k 1)=1 +1 +¥ - /n1(n+ 1)本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标三.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。 例 10.已知a,b R,求证_a' b 空a_. b_。1+|a+b| 1 +|a 1 +|bx证明：构造函数f(x)(x_

10、0)，首先判断其单调性，设0X1 ：X2，因为1 +xf (X1) -f(X2)=X11 X1X21 x2x1 - x2(1 X1)(1 X2)：0,所以 f X1 :：: f X2 ,所以f(x)在0,七上是增函数，取 x1=|a + b , x2=a + b，显然满足0兰x1 Wx2,所以 f(a b)M(|a| |b|),即 la b| ja| |b| =|a|.迅.。证毕。1 |a b| 1 |a| |b|1 |a| |b|1 |a| |b| r |a|1 |b|、函数放缩例8.求证：ln2 ln3 ln4応 3n_56(n N*)23436解析：先构造函数有in“x_1 = 1_1，

11、从而一 x x2=1+叮=5!3n 6所以 In 2 In 3 ln4 . + 障 <3n343n_1_5n=3n 5n 66：ln(n1) ：1 1 12 n解析:提示:m(n -1) =lnn 1 nn n 12 =ln n 1 ln1 n n -1函数构造形式：ln x :x,ln x 1x当然本题的证明还可以运用积分放缩如图，取函数f(x)=1,x首先:nSabcfd /n1 ,从而,1nIE=ln x|nIn n _ln(n _i)取 i 二1 有,1 dn n -ln(n _1)'n所以有R2,1汕3ln2,<ln n ln(n -1) , cln(n +1)

12、-ln n ,相加后可以得 n +1到：1 丄-,-1： ln(n 1)n亠1另一方面sSabde1 ,从而有1n -i1In x |n 丄=ln n -In(nT) i x-cause所以有 ln(n 1) ：1 -1取i =1有，11,所以综上有1 .丄 L ,ln(n .1) J n23 n 1，"2 n例 但 证明：ln2 .103 .竺.凹：.空if. N*,n 1)345n 14解析：构造函数f (x) =ln(x-1)-(x1)亠1(x1),求导，可以得到：f'(x)V =2 亠,令 f'(x)0 有 1 ：X ：:2,令 f'(x) ：:0 有

13、 x 2,x -4 x -4所以 f(x) _ f(2)二0,所以 ln(x -1) _x 2,令 x 二n2 1 有，lnn2 冬n2 T 所以 lnn ” 二,所以 ln 2 +ln 34 十 _ + lnn n(nT en* n)匸 1 一亍345412例3 (武汉市模拟)定义数列如下： 印=2,an.i =an -an 1,nN 证明：(1)对于n N ”恒有an 1 - an成立。(2) 当 n 2且门 N "，有 an “ = ananJ.a2a1 - 1 成立。1 1 1:1。(3) 1 _2006a20062a 2分析：(1)用数学归纳法易证。2(2)由 an 1 =

14、 anan 1 得：an 1 _ 1 = an (an - 1)an -1 二 an4(anV _1)a? _1 = a1(a1 -1)以上各式两边分别相乘得：an 1 - = an an 4a2a1(a1 -1)，又 a = 2an 1= ananf，a?a11(3)要证不等式12 2006a a2a2006可先设法求和:丄丄，再进行适当的放缩。a1 a2a2006an 1 -1 = a*(a* -1)1 1 1 an 1 -1an -1 ana1a2a200611 1anan Tan 1 T七)(1a2 -1)+(1a2 -1a3 -1ai -1 a2007 - 1=1 -a1a 2 a

15、2006又 a£2 a2006 y 2006 = 2 20061ay?a200612 2006原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。数列不等式证明中的一些放缩技巧1. 放缩为裂项求和41n 11 2*例1.设数列an的前n项的和Snan2 ,n N .3332n *'3(1)求首项a1与通项an ；(2)设Tn,nN ,证明：v T .Sny 2n n*解:(1)a2,a4 -2 , n N ；Sn =為 -3 2n1 |=3(2n1 -1)(2n -1),3333n 3113所以，：尸3 土一2. 放缩为等比求和例 2.已知数列 an满足 a 1,an2an 1(

16、n N )(1) 求数列an的通项公式；(2) 证明： n _丄：直 色 -a : - (n N*)2 3 a2a3an 十 2解: (1) an =2n 一1(n N*)；(2)先证不等式的右边:k .-ak _ 2-1* =2k d -1k .2 -11込，k "2，汕再证不等式的左边：(先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和)a1aana2a3an 1.i » ak2k -111"2k 1 -11111 1 , 一->k ,k =1,2，n23 2k 2k-2 23 2k2 _ 2(2k 1 _1)a2a3an 1n1 111n11、

17、 n1> (- -2r(1 n)23 222_ 232n 23也亚.旦_2例 3.设数列 an满足 an 1 二 an -n an1,n =1,2,3,(1)当印=2时，求a2,a3,a4,并由此猜想出a“的一个通项公式;当印_3时，证明对所有的n _1，有(i)an - n 2 ；1.1. . 11a11a21 - an<1证明：(ii)由(i ) a* _ n，2,下面考虑对1+an进行缩小2an 1 1 = an -n an 2 - an (n 2) - n an ' 2 = 2(an 1),an 1 1 2(an 1)-22(令二 1) 一 一 2n 1) 一 2n

18、 21空尹，k =1,2,3,11a11a21 - an1 1 1 1 1 1< + + . +T- < - + 十一-T23“123j 12 2 2 2 2 2 .,_2112(无穷递缩等比数列，其部分项和Sn :所有项的和5=旦)1-q3. 奇偶相邻问题捆绑求和放缩例4.已知数列 an的前n项和Sn满足& =2an (-1),n -1.(1)写出数列 a.的前3项ai,a2,a3 ； (2)求数列 an的通项公式; 证明：对任意的整数 m>4,有 丄丄1 :：:a4 a5am2解: (2) an 二2心-(-1)2;3311由(2)不等式左边=一厂32 2 -1 23+11尹RJ，分母-1与1交错出现，容易尝试知：1 1- T，因此，可将23 24m进行分类讨论：12-保留，再将后面2 -1想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，1 1 111 1(4) +> + + )22 -1 23 1 22 23