数值分析题库及答案汇编

1、学习-好资料-，15-213、2.设 A =-210,x =-41-42 一<2 >则| A3.已知y=f(x)的均差(差商)8fXo,X2,X3 =33,那么均差 f X4,X2, X3=模拟试卷(一)、填空题(每小题3分，共30分)1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.fX0，Xi，X2罟，fXi，X2，xZ 罟，fX2，X3，小 15 ,更多精品文档4.已知n=4时Newton-Cotes求积公式的系数分别是：C04)罟C2吕则y'= f (x, y)5解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法；ly(x。)= y。5X1 3x? O.IX3 =36求解线性

2、代数方程组-2x, 6x2 O.7x3 =2的高斯一塞德尔迭代公式为 为 +2x2 +3.5x3 =1(0)(1)右取 x =(1,-1,1),则 x.7求方程X二f (X)根的牛顿迭代格式是 .& !'o(x), G(x)/'h, (n(x)是以整数点Xo, X1,|l(,Xn,为节点的Lagra nge插值基函数，则n、Xkf j (xk)=k =09.解方程组 Ax=b的简单迭代格式x (k1)= Bx(k) - g收敛的充要条件是 10 设f (-行 f, (=0 ) f 0 ,= ( 1f)1,则f (x)的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为 二、综合题(每

3、题10分，共60分)1求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1)=15 , p(1) = 20, p(1)=30p(2) =57 , p(2)=72.1 12.构造代数精度最高的形式为oxf(x)dx : Aof ) Af (1)的求积公式，并求出其代数精度X k Xk 183.用Newt on法求方程xl nx=2在区间（2严）内的根,要求-_< 10 .24用最小二乘法求形如y二a bx的经验公式拟合以下数据：Xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组6试用数值积分法建立求解初值问题v = f（x,y）的如下数值求解公式y（&#

4、176;） = y。0 10 1X2312 4 3X3170 10 3X4 一1一7 一hy十 y？（fn1 4fnfn），其中 £ = f (x，y)三、证明题（10分）设对任意的x ,函数f （x）的导数f （x）都存在且0 ： m冬（ x）乞M,对于满足0-的任意，迭代格式Xk 1二Xk - f （xj均收敛于f （x） = 0的根x*.M参考答案、填空题1.5;2.6.91 ；15=(3 3x2k) - 0.1x3k)/5 =(2 2才。O.7x3k)/6 , =(1-才 ° -2x2k 1)*2 /78, 9 ;3.4堕-455.二;(0.02 , 0.22, 0

5、.1543)7.xk f(xk) o"X启;8. Xj； 9.'(B) ：1;13*2110. x x x, 6 6二、综合题1.差商表：f ()(x 1)x(x-1)(x-2)/24(-1,2)11520115152071152214282573072257p(x) =15 20(x -1) 15(x-1)2 7(x -1)3 (x -1)3(x -2) =5 4x 3x2 2x3 x4其他方法:设 p(x) =15 20(x -1) - 15(x -1)2 7(x -1)3 (x -1)3(ax b)令 p(2) =57 , p (2) =72，求出 a 和 b.2取f（

6、x） =1,x，令公式准确成立，得:11111A0A ,Ao A ，人 ,A .22336213f (x) = X时，公式左右；f (x) = X时，公式左4公式的代数精度=2.公式右=5243.此方程在区间（2,：）内只有一个根s，而且在区间（2, 4)内。设 f (x) = x - In x - 2则 f '(x) =1 _丄,x” 1f (x), Newtonx2法迭代公式为Xk 1 Xkk 1 k 1 -1/xkXk -In Xk -2Xk(1 In Xk)xk 一1k =0,1,2,取 x0 =3，得 s ： x4 =3.146193221。4-pan1,x2，A：1；2 2

7、；130238219.032.349.0 73.3 .解方程组 At AC =At y，其中At A4_333033303416082解得：C =1.41665H0.0504305b =0.0501025.所以 a =0.9255577, 5解设10011_1”21l31J 41l32l42l43110u22u23u33u24u34U44 一由矩阵乘法可求出Uj和l ij解下三角方程组j0I1有 y1 = 5，y21121 01X2321X36-2一34 _1 i化ys02再解上三角方程组=1 , Xsx2得原方程组的解为 X1二1，=2，X4 二 2.X1l211011311321121I4

8、1I42l431i010 1一u22u23u241 01u33u3421-u44 一1 12j01j0102026 解 初值问题等价于如下形式y(x) = y(xnG + J f (x, y(x)dx，xn 1取 X = Xn 1，有 y(Xn 1) = y(Xn_j)f (x, y(x)dx，xn丄利用辛卜森求积公式可得yn .1、yn4 -(fn 1 4fnfnj) 3三、证明题 证明 将 f (x) = 0 写成 x = x -并 f (x) L (x),由于 (x)二X J f (x) =1 f (x)，所以 I(x) I 叩一咒 f (x) I： 1所以迭代格式xk彳=xk -，f

9、(xk)均收敛于f(X)= 0的根X .模拟试卷(二)一、填空题(每小题 3分，共30分)1分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和位；-1Q-21-n2 设 A =11Q,x = 3，则 IIA1=，II X23-82 一J 一2 Xi 5x2 = 13 对于方程组丿12, Jacobi迭代法的迭代矩阵是 Gj =JQxi 4x2 = 34设 f(x) =x3 +x1,则差商 f 0,1,2, 3】=, f IQ, 1, 2, 3,4 =_1 215已知A = I ,则条件数Co nd, A).LQ k一16为使两点的数值求积公式f (x)dx = f

10、(xo) f(xj具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 xQ=,x-1 =7 解初始值问题y =f(X,y)近似解的梯形公式是 yk 1 :ly(x。)= yo&求方程f(x)=Q根的弦截法迭代公式是 9计算积分xdx ,取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛卜乜.5生公式计算的结果是1Q任一非奇异矩阵 A的条件数Cond( A) =，其Cond( A) 一定大于等于 二、综合题(每题10分，共60分)1证明方程1-x=sinx在区间0,1有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过110,近似解，问要迭代多少次？22已知常微分方程的初值问题：史半1*1.2丿 dx y,(

11、1)=2试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长 h=Q.2.4用最小二乘法求一个形如 y的经验公式，使它与下列数据拟合a +bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1683 用矩阵的LDLT分解法解方程组lx 0.4y 0.4z =15设方程组 0.4x y 0.8z =2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代|o.4x 0.8y z =3法的收敛性。4-1按幕法求矩阵A = -13-1-21 1-2的按模最大特征值的近似值，取初始向量x(0) =(1,0,0)丁，迭代两步求得近似值即可.三、证明题(10分)已知求.a(a

12、0)的迭代公式为：1 aXk 1 (Xk )x° 0 k = Q1,22 Xk_证明：对一切k =1,2, I, x a ,且序列Xk是单调递减的，从而迭代过程收敛参考答案、填空题1.6,7;2.9,11 ;3 .0112.52.504.1,0;5.9;6.7.hyk hf(Xk,yk) f(Xk1,yk1);8.f(xQxkxk-f(Xk) -f (Xk4)(Xk-X；9. 0.4268, 0.4309; 10.1 1.3,3;I A1 A , 1、综合题1 解 令 f (x) =1 x sin x，则 f 0 1=0>,f (1) =sin1 ：0，且 f X)胡価0.故1

13、 _x = sinx在区间0,1内仅有一个根x .1利用二分法求它的误差不超过 -10*的近似解，则|xk1_x*|空4ln10解此不等式可得 k _ =13.2877In 2所以迭代14次即可.2、解:k1f(为，y)=0. 5 , k2二f (x ,yhi®0. 57 1 429,h /y0 2(k1 k)=20.(0. 50. 571429)2. 1 071429利用矩阵乘法可求得解方程组l21d11 l2117311l32d2d3d1 = 3， d2 = 2，d3=|，l21=1，l31313113210111621 13_xj11 2X2=1X3 一51再解方程组得 *1

14、-10,y2 = 6,4y3d2d31。164.3得 X| = 1,X2-1, X3 = 2.=故所求经验公式为 y =，则丫二a bx容易得出正规方程组 y，解得 a =-2.0535, b= 3.0265.9 a _ 16.971 <9 17.8 一 §5.3902一人 0.4 0.4(1) 由于 fj(财=0.4 九 0.8 =忙0.96丸 + 0.2560.4 0.8 人仃(一1)一1 0.98 0.2560 ,仃(一2) 一8 1.96 0.256 ： 0所以fj(=0在(_2, -1)内有根'i且|1，故利用雅可比迭代法不收敛.人 0.40.4(2) 由于

15、fG®) = 0.4k丸 0.8=扎仏0.832k+0.128)0.4X 0.8 九九所以：?(G) <0.832，故利用高斯赛德尔迭代法收敛.6 解 因为 x(0)二1,0,0T，故 L x(0) L：=1,且 y Ax 4, -1,1 ,= max( y )=4.从而得x二 y/L y ”1,-1,期,y(2 Ax"9,*,密,(2一 max(y(2)弓4 424 42三、证明题证明：由于 Xk1(Xk 旦) '、a, k =0,1,2,1112Xk故对一切k , Xk1 弓)-11) = 1Xk2Xk2所以Xk 1Xk，即序列 Xk是单调递减有下界，从而

16、迭代过程收敛.模拟试卷(三)、填空题(每小题3分，共30分)1设a =2.40315是真值x =2.40194的近似值，则a有位有效位数，相对误差限2. 若用二分法求方程 f(x)=0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。3. 有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4. 设(xxa(x2-5)，要使迭代格式Xk1=护(xQ局部收敛到x*=5 , 则a的取值范围是5 设线性方程组 Ax = b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差，就一定能保证解的相对误差一；IM1X16 .给定线性方程组9儿一 =8,则解此线性方程组的Jacobi迭代公式%

17、5x2 = -4是, Gauss-Seidel迭代公式是 7插值型求积公式n' Akf (xQ :k =0ba f (x)dx的求积系数之和是 2 110.设 A = 120 a-111一1/2 112 11,b =1/3,已知它有解X =-132 一1 1厂23 一L.0 jxk _xk* lxk如&数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9已知函数f (0.4) =0.411, f (0.5)= 0.578 , f (0.6)= 0.697,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2的系数是 01a ，为使A可分解为A= LLt，其中L是对角线元素为正的下三

18、角2矩阵，则a的取值范围是、综合题(每题10分，共60分)：10巴1.用Newton法求方程x-I nx=2在区间(2,：)内的根，要求1 02. 设有方程组 Ac=b，其中A= 22卫21 6果右端有小扰动岀10-，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simps on公式计算积分 彳e1/xdx的近似值，并估计截断误差4设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3(x)，使其满足卩3(0)=0尺(1) = 1,匕'(1) = 3巴(2) = 1,并写出误差估计式。25. A 二Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。,证明其近似

19、解为 yn二n,并证明当h > 0-1 0-12-1 ，给出用古典0-12V y = 06.用梯形方法解初值问题ly(0) =1时，它收敛于原初值问题的准确解-X y 二 e 。三、证明题(10分)n若f (x)二、aixi有n个不同的实根，证明id：kXjnzV f (Xj)0,k = n1参考答案2n-1；内。设 f(X)二 X -In X-2、填空题；cond (A);x：k1_(8x2k)/9屮(k °(k), k =°,1,HI,X)= (4*)/5x：k (8 x2k)/9(k d)(k 彳),k",1川x(k (4 x 1)/55b -a；8.

20、 O(h ) ；9. 2.4； 10 .- -3 - a ： 一 3、综合题2.10;3.5.6.7.1.此方程在区间(2,：)内只有一个根S，而且在区间(2, 4)4. -1 ；5 : a ： 0 ;1.3,0.5 10-3则f '(x) =1 -丄，f "(X)1 , Newton法迭代公式为XX2Xk1=Xk-XkInXkJ ,1-1/Xkxk T 0,1,2,取 x° - 3，得 s > X4 二 3.146193221。3.x：:1 - 1-11. 5 Cond(A) =22.5，由公式1 - 1-X10-622.5 2'3= 1.6875

21、10“:e1/xdx ： ¥(e 4eT5 e1/2) =2.0263, f max f(4)(x)| = f(4)(1)1空玄二 198.43，截断误差为|R2乞舗醍f(4)(x)eCond(催，有 (A 12 36 算e1/x ,x x x x,0.068905 3274由所给条件可用插值法确定多项式Ps(x)， F3(x)二-x3 7x2 -?x2(由题意可设R(x) = f (x) - P3(x)二k(x)x(x-1) (x-2)为确定待定函数k(x)，作辅助函数：g(t)二f(t)- P(t)- k(x)t(卜2)(卜2测g(t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个

22、零点t二x, t =0,1,2 (t =0为二重零点)，反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)，使g(4)( J-0，从而得k(x) f)。故误差估计式为4!1R(x) f ()x(x-1)2(x-2) ,(0,3)。4!15.首先取 i=1,j = 2,因 cot2= 0 故有 *=一，于是 co$ = si9 = 了=,442.12 19-ITv(121-2 0IJ-2rl丄血丄血1 -2 1-.2f( x, y)-,y 得h6.梯形公式为 ynyn - f(Xn,ynb f (Xn 1,yn 1),由h% 1 二 yn 2（yn -yn .1），用上述梯形公式以步2 -h2-h、2

23、2-h、ni2-h、ni所以An"（茹）八（茁）yn4H丙）（丙）长h经n步计算得到yn ,所以有hn =x ,所以2 - h)n2 h)2 -h2 h)h *三、证明题n的实根，故证明由于 f（x）八上农有 n 个不同i 二f(X)二an(X -Xi)(X -X2)(X -Xn)anWn(X),于是nkg(x) =x，则 7i吕再由差商与导数的关系知kXji =1kXjkXjy anWn(Xj)n g(Xj)1an y Wn(Xj)Xj°,f (Xj)anan i 吕 Wn(Xj)gXi,X2,|l|,Xn， an模拟试卷(四)、填空题(每小题 3分，共30分)为了减少运

24、算次数，应将算式2x 348(2x-3)2(2x-3)3，为减少舍入误差的影响，应将算式,80改写为2.-1 1 1，A1-3-2-1 _3.设在x=g(x)的根x附近有连续的二阶导数，且g' (x) <1，则时迭代过程xk1 =g(xk)是线性收敛的，则当时迭代过程Xk1二g(Xk)是平方收敛的。a 10k4设A = |，则当a满足时，有lim Ak = 0'01Y5用列主元消去法解线性方程组Ax = b时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元a(严，使得a/=。6已知函数 f(0)=1,f(1)=3 , f(2)=7，则 f0,1=, f0,1,2= , f(x

25、)的二次牛顿插值多项式 7.求解方程f(x) =0，若f(M 0 可以表成X =(x),则用简单迭代法求根，那么 (x)满足，近似根序列x,X2l(,Xn，川一定收敛。& n，1点插值型数值积分公式n、Ak f (Xk):k =0bf (x)dx的代数精度至少是 a次，最高不超过次。2xy = y 9写出初值问题$y 在0,1上欧拉计算格式 7(0110解初始值问题y 一 f(x,y)的梯形方法是 阶方法卜(冷)=y。二、综合题(每题10分，共60分)1.证明方程X -X -1 =0在区间1 , 2内有唯一根x* ,用牛顿迭代法求 x*(精确至3位小 数)。I 论x2x3 =32 用列

26、主元消去法解线性方程组人+3X2 - 2X3 = 2 ;2 x 2 x? + X3 = 13.给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为 y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。2 -10、4 .设有矩阵 A= -1 2 -1用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特2 -1. u = 2x3征向量(注：求迭代 4次即可)y = y25 .用改进的Euler方法求初值问题，(0乞x空1,取步长h=0.1).ly(0) =16 .给定数据 f (0.1) =5.1234, f (0.2) =5.3053, f(0.3) = 5.5684，求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题(

27、10分)设线性方程组为-Lai1 Xla12X2 b|I,a21 X1a22 X2 = b?a11a22=0(1)(2) 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；(3)(3) 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案y = (8u- 4)u2)u1 ,2. 6, 6;一、填空题3. g' (x*)hO, g' (x*)=O,g”(x*)式 0； 4. acl;5. maxaik ；6. 2, 1, x2+x+1; 7.®'(x)兰 L<1; 8. n , 2n+1;kynTn h(% 一经)9.yn10.二J y0

28、- 1二、综合题1.令 f(x) =xN3(x) =1 2x -3/ 2 X (x -1) X (x -1) (x -2) =x3 -4.5 x2 -5.5x 132或 L3(x) = x -4.5 X -5.5x 14 取U°二(1,1,1$ ，由乘幕法得，Vi = Auo = (1,0,1)T , ui = (1,0,1)T , V2 = Aui =(2,-2,2)T ,出=(1,T,1)TV3 = AU2 =(3,-4【3：3 ， = ( o. 7 5【1，人 0.37 5)1 4 X i 拓(一0.7071,1,0.7071)T5.改进的Euler方法2ffyn)二 yn ,

29、 yn 1 Tn h/2f(X.,h f 区皿) x1, f'(x)=3x21 >0, f (x)在(1 2 严格单增又f(2) 5, f(x)在(1 2 上有唯一根;3Xk2 -1由牛顿迭代公式 取 Xo=1.2，得 1. 2, 1. 342 1 7, 1. 32 5, 1. 3 2 47 3 2 417 32或取 Xo =1.0，1., 1.5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472,所以 X* =1.32472. 2r 1113、广2-211、广2-211 '(A,b)=13-22T13-22T04-2.51.5<2-21bI1113 >< 020.525