冀教版（2024）八年级上册数学期末复习：第十二章~第十七章 全册重点知识清单填空练习版（含答案）

第第页冀教版（2024）八年级上册数学期末复习：第十二章~第十七章全册重点知识清单填空练习版知识点一、分式及其性质一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如x2x知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件对于分式A/B来说条件分式有意义分母不等于，即B≠0分式无意义分母等于，即B=0分式值为0A=0且B≠0注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.知识点三、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的，不变.字母表示：AB=A•CB•C分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0.知识点四、分式的约分分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的，不改变分式的值，这样的分式变形叫做.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到知识点五、分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。最简公分母：①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。确定最简公分母的方法：1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母；③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.知识点六、分式的加减法1）同分母分式相加减：，把分子相加减；符号表示为：2）异分母分式相加减：先，变为同分母的分式，再；符号表示为：注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。知识点七、分式的乘除法

①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。知识点八、分式的混合运算运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先，再，最后；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.知识点九、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做．分式方程的重要特征：①；②；③分母中含有.注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。知识点十、分式方程的解法解分式方程的基本思路：将分式方程转化为.解分式方程的一般步骤：1）找最简公分母，当分母是多项式时，先；

2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去，化为整式方程；

【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．3）解这个整式方程，求出整式方程的解；

4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【注意事项】1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.知识点十一、用分式方程解决实际问题的步骤：：理解并找出实际问题中的等量关系;：用代数式表示实际问题中的基础数据;：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;：求解方程;：考虑求出的解是否具有实际意义;1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.：实际问题的答案.关键：分析题意寻找等量关系，列方程第十三章全等三角形知识点01定义与命题定义1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义命题判断一件事情的语句，叫做．许多命题都是由和两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．注意：1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论，真假命题1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做2.说明假命题的方法：要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做.其中一个命题是另一个命题的.注意：(1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。(2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。知识点02全等图形全等图形的概念能够完全重合的图形叫做，简称.1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是；2.图形是否全等与它们所在的无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是.全等图形的性质全等图形的性质：①，②.1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系；2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形.3.判断两个物体是否为全等图形的方法：（1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合；（2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同.几何变换与全等图形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等.1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等.2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合.知识点03全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫，重合的边叫，重合的角叫.3.全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点04全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的，.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的，对应边上的，对应角的；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：知识点05全等三角形的判定边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“”或“SAS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“”或“ASA”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“”或“AAS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“”或“SSS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“”或“HL”.如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知.知识点06尺规作图1、作一条线段等于已知线段a求作线段0A，使OA等于a作法1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA即为所求依据圆上的点到圆心的距离等于半径.2、作一个角等于已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.3、作已知角的已知∠AOB求作射线OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.4、过一点作已知直线的已知直线AB和AB上的一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.已知直线AB和AB外一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.依据1）等腰三角形“三线合一”；

2）两点确定一条直线.5、作线段的已知线段AB求作线段AB的垂直平分线作法1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.第十四章实数知识点一、平方根1.平方根：如果，那么x叫做a的，也叫做.（1）在中，因为，所以；（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”.3.一个数的平方根平方后仍然等于4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求.平方根的性质1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为；2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；3.负数没有；4.；5..开平方求一个数的平方根的运算叫做.1.开平方时，被开方数a必须是非负数；2.开平方是求一个非负数的平方根.3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.知识点二、算术平方根1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的；2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个，0的平方根也叫做0的算术平方根，没有算术平方根.4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即.5.平方根与算术平方根的区别与联系平方根算术平方根区别个数一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个表示方法非负数a的平方根表示为非负数a的算术平方根表示为取值范围正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系包含条件平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.存在条件平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.知识点三、立方根1.一般地，如果，那么x叫做a的.2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.立方根的性质正数的立方根是，负数的立方根是，0的立方根是0.1.平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别个数不同正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在中，a是非负数，即在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.2.立方根等于本身的有0和.3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为.4.，.开立方求一个数的立方根的运算叫做.求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.知识点四、无理数1.无理数：无线不循环小数叫做.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.2.常见的无理数三种形式（1）开方开不尽的数的方根，如等；（2）及化简后含的数，如，等；（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.知识点五、实数及分类1.有理数和无理数统称为.2.实数的分类（1）按分类：（2）按分类：PS：0既不是正实数，也不是负实数.实数与数轴上点的关系…有理数集合…有理数集合…无理数集合2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.实数的有关概念在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.比较实数的大小有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.3.比较两个实数大小的常用方法：（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.知识点六、近似数1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的，也叫做.2.准确数：与实际完全符合的数值称为.3.常见的近似数（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果；（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；（4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁.近似数的精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的.1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.3.其他近似数的取法（1）：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16；（2）：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆.第十五章二次根式知识点一、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式.2.二次根式满足条件：（1）必须含有；（2）被开方数必须是.3.二次根式有无意义的条件①二次根式有意义：被开方数为，即；②二次根式无意义：被开方数为，即；4.二次根式的性质①二次根式（）的（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．②二次根式的性质：（）③二次根式的性质：知识点二、最简二次根式与同类二次根式1.最简二次根式（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数，（2）被开方数中2.同类二次根式（1）同类二次根式概念：化简后的二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式的方法：把，合并的依据式乘法分配律，如知识点三、二次根式的运算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）（2）二次根式的乘法法则的推广:①②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.（3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）（2）二次根式的除法法则的推广：.3.二次根式的加减法（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成，再将的二次根式进行合并。（2）二次根式加减运算的步骤：①：将各个二次根式化成最简二次根式；②：找出化简后被开方数相同的二次根式；③：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。4.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：，，，有括号的先算（或先去掉括号）第十六章轴对称和中心对称知识点01轴对称图形1．轴对称图形（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．【注意】（1）对称轴是，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做．轴对称和轴对称图形的区别与联系名称关系轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的特殊一个形状特殊的图形图形个数图形图形对称轴的位置不同可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）一定经过这个图形对称轴的数量有或联系（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称3．轴对称和轴对称图形的性质（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段），对应角（对折后重合的角）．（4）成轴对称的两个图形；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．4．轴对称变换一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系．（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴．【注意】的．（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的．5．画轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．画轴对称图形的方法：（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；（3）连——依次连接各对称点．知识点02线段垂直平分线1．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）判定：与线段两个端点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．知识点03角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到的距离相等。2.判定定理:到距离相等的点在角的平分线上。知识点04中心对称1.中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做。注意以下几点：中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个；绕对称中心旋转180°两个图形能够。2.作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成。3.中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过，并且都被对称中心；（2）关于中心对称的两个图形能够，就是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段（或共线）且。4.中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点，如果旋转后的图形能够与原来的，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。知识点05图形的旋转1.旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内转动，就叫做图形的旋转，点O叫做，转动的角叫做。我们把、、称为旋转的三要素。2.旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；（3）旋转前后的图形。理解以下几点：图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。3.利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；（2）对应点到旋转中心的，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。第十七章特殊三角形知识点一、等腰三角形1．等腰三角形定义：有相等的三角形叫做等腰三角形。2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的；等腰三角形的对称轴有．3．等腰三角形的性质定理：性质定理1等腰三角形的两个底角相等，简称。性质定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形．4.等边三角形三个角都等于，三边均存在“三线合一”．5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称.6.等腰三角形判定的其他方法：①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形；②“三线合一”的逆应用：当三角形一边上的高线和这边的重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形；当三角形一内角的与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形；7.等边三角形的判定定理①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形②有一个角是的等腰三角形是等边三角形③相等的等腰三角形是等边三角形④有两个角是的三角形是等边三角形知识点二、直角三角形1．直角三角形的定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形2．直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角（2）直角三角形斜边上的中线等于（3）30°角所对的直角边等于3．直角三角形的判定定理：有两个角的三角形是直角三角形4.判定直角三角形的其他方法：（1）定义法；（2）一边上的中线等于这边长的的三角形可以证的是直角三角形；（3）勾股定理的；知识点三、勾股定理1．勾股定理：直角三角形两条直角边的等于斜边的；如图则有：在Rt△ABC中，.2．勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；如图：若，则有△ABC为直角三角形，∠C=90°3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形知识点四、直角三角形全等的判定1．直角三角形全等的判定方法——HL对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式：例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90°AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中AC=DF，AB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）知识点五、反证法先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。附：尺规作图考点1、基本作图1.作一个角等于已知角2.作已知角的平分线3.作线段的垂直平分线4.经过一点作已知直线的垂线（点在直线外、点在直线上两种情况）5.作已知角的平分线（已知∠AOB）5.经过直线外一点作已知直线的平行考点2、基本作图的应用(三角形）1.利用基本作图作三角形（1）已知三边作三角形SSS；（2）已知两边及其夹角作三角形SAS；（3）已知两角及其夹边作三角形ASA；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形。基本作图作图步骤作图痕迹作一个角等于已知角(已知∠α)【注意】本质是通过“SSS”构造全等证角相等(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB边于点P，Q(2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A'于点M(3)以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，交第(2)步中所作的弧于点N(4)过点N作射线O'B'∠A'O'B'即为所求作的角作线段的垂直平分线(已知线段AB)(1)分别以点A，B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；

(2)作直线CD.直线CD即为线段AB的垂直平分线基本作图作图步骤作图痕迹作已知角的平分线（已知∠AOB）(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。(2)分别以点M、N为圆心，大于12(3)连接OC。射线OC即为所求过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l)【注意】本质是垂径定理的推论，过圆心的直线垂直于弦且平分弦点在直线外(1)在直线l另一侧任取一点M；(2)以点P为圆心，PM的长为半径作弧，交直线l于点A，B；

(3)分别以点A，B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于点N；

(4)作直线PN直线PN即为所求作的垂线点在直线上(1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A，B；(2分别以点A，B为圆心，大于1/2AB的长为半径向直线l两侧作弧，交点分别为M，N；(3)作直线MN直线MN即为所求作的垂线过直线外一点作这条直线的平行线(已知直线l，点P)【课标新增】(1)过点P作直线m与直线l交于点O；(2)在直线m上取一点A(OA<OP)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点B；(3)以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；(4)作直线PD.直线PD即为所求作的平行线三角形全等（SSS\SAS\AAS）SSS如图，已知线段a，b，c.求作:△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.SAS如图，已知线段a，b，∠α.求作:△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α.作法:(1)作∠C，使∠C=∠α；(2)在∠C的一边上截取CB，使CB=a；(3)在∠C的另一边上截取AC，使AC=b，连接AB△ABC即为所求.ASA如图，已知∠α，∠β，线段a.求作:△ABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.作法:(1)作射线AM(2)在射线AM上截取AB=a(3)作∠EAB=α，∠FBA=β(4)射线AE交射线BF于点C△ABC即为所求.特殊三角形（等腰、直角）等腰三角形已知底边及底边上的高已知线段a，h．请用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，使这个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h．要求保留作图痕迹．作线段作出线段的垂直平分线，交于点D在上截取连接、得△ABC直角三角形已知直角边和斜边已知：如图线段，，求作：△ABC，使，，作射线，在射线上取，过作【注意：此处参考“过一点作已知直线的垂线（点在直线上)”】以为圆心，为半径画弧交于，连接.冀教版（2024）八年级上册数学期末复习：第十二章~第十七章全册重点知识清单填空练习版·答案版第十二章分式和分式方程知识点一、分式及其性质一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如x2x知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件对于分式A/B来说条件分式有意义分母不等于零，即B≠0分式无意义分母等于零，即B=0分式值为0A=0且B≠0注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.知识点三、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.字母表示：AB=A•CB•C分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0.知识点四、分式的约分分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到知识点五、分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。最简公分母：①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。确定最简公分母的方法：1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母；③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.知识点六、分式的加减法1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为：2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。知识点七、分式的乘除法

①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。知识点八、分式的混合运算运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.知识点九、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。知识点十、分式方程的解法解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.解分式方程的一般步骤：1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．3）解这个整式方程，求出整式方程的解；

4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【注意事项】1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.知识点十一、用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.关键：分析题意寻找等量关系，列方程全等三角形知识点01定义与命题定义1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．注意：1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论，真假命题1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题2.说明假命题的方法：要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.注意：(1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。(2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。知识点02全等图形全等图形的概念能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形.1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形；2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形.全等图形的性质全等图形的性质：①形状相同，②大小相等.1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系；2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形.3.判断两个物体是否为全等图形的方法：（1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合；（2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同.几何变换与全等图形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等.1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等.2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合.知识点03全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点04全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：知识点05全等三角形的判定边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”.如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知.知识点06尺规作图1、作一条线段等于已知线段已知线段a求作线段0A，使OA等于a作法1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA即为所求依据圆上的点到圆心的距离等于半径.2、作一个角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.3、作已知角的角平分线已知∠AOB求作射线OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.4、过一点作已知直线的垂线已知直线AB和AB上的一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.已知直线AB和AB外一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.依据1）等腰三角形“三线合一”；

2）两点确定一条直线.5、作线段的垂直平分线已知线段AB求作线段AB的垂直平分线作法1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.第十四章实数知识点一、平方根1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根.（1）在中，因为，所以；（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”.3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数.4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.平方根的性质1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；3.负数没有平方根；4.；5..开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方.1.开平方时，被开方数a必须是非负数；2.开平方是求一个非负数的平方根.3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.知识点二、算术平方根1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根.4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即.5.平方根与算术平方根的区别与联系平方根算术平方根区别个数一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个表示方法非负数a的平方根表示为非负数a的算术平方根表示为取值范围正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系包含条件平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.存在条件平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.知识点三、立方根1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根.2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.1.平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别个数不同正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在中，a是非负数，即在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.2.立方根等于本身的有0和.3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.4.，.开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方.求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.知识点四、无理数1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.2.常见的无理数三种形式（1）开方开不尽的数的方根，如等；（2）及化简后含的数，如，等；（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.知识点五、实数及分类1.有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类（1）按定义分类：（2）按性质分类：PS：0既不是正实数，也不是负实数.实数与数轴上点的关系…有理数集合…有理数集合…无理数集合2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.实数的有关概念在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.比较实数的大小有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.3.比较两个实数大小的常用方法：（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.知识点六、近似数1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.3.常见的近似数（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果；（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；（4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁.近似数的精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.3.其他近似数的取法（1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16；（2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆.第十五章二次根式知识点一、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式.2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.3.二次根式有无意义的条件①二次根式有意义：被开方数为非负数，即；②二次根式无意义：被开方数为负数，即；4.二次根式的性质①二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．②二次根式的性质：（）③二次根式的性质：知识点二、最简二次根式与同类二次根式1.最简二次根式（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.同类二次根式（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点三、二次根式的运算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）（2）二次根式的乘法法则的推广:①②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.（3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）（2）二次根式的除法法则的推广：.3.二次根式的加减法（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。（2）二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。4.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）第十六章轴对称和中心对称知识点01轴对称图形1．轴对称图形（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．【注意】（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．轴对称和轴对称图形的区别与联系名称关系轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的特殊位置关系一个形状特殊的图形图形个数两个图形一个图形对称轴的位置不同可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）一定经过这个图形对称轴的数量只有一条有一条或多条联系（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称3．轴对称和轴对称图形的性质（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．4．轴对称变换一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系同．（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【注意】的．（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的．5．画轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．画轴对称图形的方法：（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；（3）连——依次连接各对称点．知识点02线段垂直平分线1．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．知识点03角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。知识点04中心对称1.中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。2.作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。3.中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。4.中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。知识点05图形的旋转1.旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。2.旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。3.利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距