【经典线代】线性代数第五章§3相似矩阵ppt课件

1、一、类似矩阵与类似变换的概念一、类似矩阵与类似变换的概念二、类似矩阵与类似变换的性质二、类似矩阵与类似变换的性质三、利用类似变换将方阵对角化三、利用类似变换将方阵对角化 1定义定义.,., , 11的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对进行运算进行运算对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设BAPAAPPABAABBAPPPnBA .,为为正正整整数数相相似似与与则则相相似似与与若若mBABAmm证明证明,相相似似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP

2、1PEAP 1.EA ,1BAPPP 使使得得存存在在可可逆逆阵阵., 的的特特征征值值亦亦相相同同与与从从而而多多项项式式相相同同的的特特征征与与则则相相似似与与阶阶矩矩阵阵若若BABABAn定理定理3推论推论 假设假设 阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn 利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的的多多项项式式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1

3、 PPB1 PPB1 PPB1 k个个,1为为对对角角矩矩阵阵使使若若可可逆逆矩矩阵阵特特别别地地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对对于于对对角角矩矩阵阵, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上述结论可以很方便地计算矩阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式的多项式 .)(A .)(,)(OAfAf 则则的的特特征征多多项项式式是是矩矩阵阵设设 定理定理., 1对对角角化化这这就就称称为为把把方方阵阵为为对对角角阵阵使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵阶阶方方阵阵对对AAPPPAn .)( 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是

4、的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵nAAAn定理定理4阐明阐明 假设假设 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，那么那么 与对角阵类似与对角阵类似推论推论nAAn假设假设 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但假设能找到对角化，但假设能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnAA与对角阵类似的充分条件与对角阵类似的充分条件例例1 1 判别以下实矩阵能否化为对角阵？判别以下实矩阵能否

5、化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得得方方程程组组代代入入将将, 02121 xEA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得根底解系解之得根底解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由对对求得根底解系求得根底解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 20133521

6、2)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代代入入把把解之得根底解系解之得根底解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能否对角化？假设能对角能否对角化？假设能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得根底解系解之得根底解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P例例 3 3设设 00111100 xA问问x为何值时，矩阵为何值时，矩阵A能对角化？能对角化？解：解： 11)1(011110 xEA)1